Lý thuyết Vật Lí 12 Động lực học vật rắn

Lý thuyết Vật Lí 12 Toàn tập 
Biên soạn: Nguyễn Tất Thành; email: thanhvl9@gmail.com Page 1 of 9 
P0 
P 
O 
 
+ 
ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 
I. CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 
I.1. Tọa độ góc 
 Xét một vật rắn quay quanh một trục cố định Oz 
o Với một điểm bất kì trên vật rắn: quay quanh trục Oz và nằm trên mặt phẳng vuông góc với 
Oz, bán kính quay bằng khoảng cách tới trục Oz, tâm quay thuộc trục Oz 
o Tất cả các điểm thuộc vật rắn đều quay cùng một góc trong cùng một thời giai 
 Tọa độ góc 
o Xét mặt phẳng cố định P0 (chứa điểm M) chứa trục Oz 
o Mặt phẳng thứ hai P có thể quay quanh trục Oz 
o Nếu ban đầu P trùng với P0, và sau một thời gian t mp P quay đi thì P tạo với P0 một góc  , 
được gọi là tọa độ góc của vật (tất cả các điểm trên P đầu quay được một góc  , hay có tọa độ  ) 
o Đơn vị tọa độ góc: rad 
 Dấu của  
o  > 0: nếu vật quay theo chiều dương lượng giác (chiều ta chọn, chiều ngược kim đồng hồ) 
o  < 0: nếu vật quay ngược chiều lượng giác 
 Giá trị biến thiên của  theo thời gian sẻ thể hiện quy luật chuyển động quay của một vật rắn 
quanh trục 
I.2. Tốc độ góc 
 Xét điểm M quay quanh trục Oz 
o Tại thời điểm t bất kì tọa độ góc được xác định là  , tại thời điểm tt  tọa độ được xác định 
là   
o Tốc độ trung bình trong khoảng thời gian t : 
ttb 



 
o Nếu xét trong một khoảng thời gian t vô cùng nhỏ  0t thì tỉ số 
t
 trở thành đạo hàm 
của tọa độ đối với thời gian: 
dt
d
  hay  t,  gọi là tốc độ góc tức thời 
 Tốc độ góc tức thời: là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh hay chậm của chuyển động quay 
của vật rắn quanh một trục ở thời điểm t và được xác định bằng đạo hàm của tọa độ đối với thời gian. 
 Đơn vị: rad/s 
I.3. Gia tốc góc 
 Xét chất điểm M quay quanh trục Oz 
o Tại thời điểm t bất kì tốc độ góc được xác định  , sau đó một khoảng thời gian t tại thời 
điểm tt  gia tốc là   
o Gia tốc góc trung bình trong khoảng thời gian t : 
ttb 



 

Lý thuyết Vật Lí 12 Toàn tập 
Biên soạn: Nguyễn Tất Thành; email: thanhvl9@gmail.com Page 2 of 9 
v 
r 
O 
na
 
v 
ta
 
na
 
a 
 O 
o Nếu xét trong khoảng thời gian t vô cùng nhỏ  0t thì tỉ số 
t
 trở thành đạo hàm của 
tốc độ góc đối với thời gian: 
dt
d
  hay  t,  gọi là gia tốc tức thời 
 Gia tốc góc tức thời: là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của tốc độ góc ở thời điểm t là đại 
lượng đặc trưng cho sự biến thiên của tốc độ gốc ở thời điểm đó và được xác định bằng đạo hàm của tốc 
độ góc theo thời gian 
 Đơn vị: rad/s2. 
I.4. Phương trình động học của chuyển động quay. 
 Tốc độ góc không đổi: const 
o Khi đó vật rắn chuyển động quay đều 
o phương trình (quay quanh một trục cố định): t.0   (nó tương tự như phương trình 
trong chuyển động thẳng biến đổi đều tvxx .0  ). 
 Gia tốc góc không đổi: const 
o Vật rắn chuyển động quay biến đổi đều. 
o Phương trình (trục cố định): 
 0202
2
00
0
2
.
2
1.
.






tt
t
 Nếu : 0 là chuyển động quay nhanh dần đều 
 Nếu : 0 là chuyển động quay chậm dần đều 
I.5. Vận tốc và gia tốc của các chất điểm trên vật quay 
 Vận tốc dài và tốc độ góc (vận tốc góc): 
o Biểu thức: rv . 
o r: là bán kính chất điểm 
 Gia tốc và tốc độ góc: 
o Vật rắn quay đều: 
 Véctơ vận tốc dài: 
 Có hướng luôn thay đổi (luôn tiếp tuyến với quỹ đạo) 
 Độ lớn không thay đổi 
 Gia tốc hướng tâm: 
 Phương trùng với bán kính 
 Chiều hướng vào tâm quay 
 Độ lớn: r
r
vaa nht
2
2
 
o Vật rắn quay không đều: 
 Véctơ vận tốc dài 
 Có hướng luôn thay đổi 
 Độ lớn thay đổi tại mỗi điểm 
 Gia tốc (tại mỗi điểm có hai thành phần an và 
at) 
 Gia tốc hướng tâm (gia tốc pháp tuyến) 
- Phương trùng với bán kính (vuông góc với vận tốc) , chiều hướng vào tâm 
- Đặc trưng cho sự thay đổi về hướng của vận vận tốc dài v 
- Độ lớn: ran
2 
Lý thuyết Vật Lí 12 Toàn tập 
Biên soạn: Nguyễn Tất Thành; email: thanhvl9@gmail.com Page 3 of 9 
 Gia tốc tiếp tuyến 
- Phương trùng với v , chiều cùng với v nếu là chuyển động quay nhanh dần và 
ngược lại 
- Đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của v 
- Độ lớn: .r
dt
dvat  
 Gia tốc của chất điểm 
- Biểu thức véctơ: tn aaa

 
- Chiều hướng vào trong đường tròn quỹ đạo, véctơ a hợp với bán kính tại điểm 
quay một góc  , được xác định bởi: 
2tan 

 
n
t
a
a 
- Độ lớn của gia tốc: 22 tn aaa  
I.6. 
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 
II.1. Mối liên hệ giữa gia tốc và momen lực 
 Momen lực đối với trục quay 
o Lực F

 tác dụng lên một điểm làm chất điểm quay quanh một trục Oz, (với F

 nằm trong mặt 
phẳng vuông góc với trục quay) thì gây nên một momen: M = F.d 
o d : là khoảng cách từ tâm quay đến giá của lực 
o Đơn vị: N.m 
o Dấu của momen: 
 M > 0: nếu momen có tác dụng làm vật quay theo chiều dương lượng giác (quy ước). 
Bạn có thể thay đổi điều này 
 M < 0: nếu momen có tác dụng làm vật quay theo chiều âm lượng giác 
 Gia tốc góc và momen lực 
o Xét vật rắn như một chất điểm 
 Xét vật rắn là một quả cầu nhỏ khối lượng m, gắn trên thanh có chiều dài r (bỏ qua kích 
thước và khối lượng) 
 Vật quay trong mặt phẳng ngang tâm O (trục quay thẳng đứng) 
 Khi vật quay với gia tốc a thì ta có hai gia tốc thành phần an và at, tương ứng với hai 
lực tác dụng lên chất điểm: Fn hướng tâm (không gây ra momen vì giá của lực đi qua 
tâm quay), lực pháp tuyến Ft (gây ra momen): Ft = m.at 
 Momen của lực Ft gây ra với tâm quay: M = Ft.r = m.at.r 
mặt khác ta có: .rat  
Suy ra:    ..... 2rmrrmM  
 Mỗi chất điểm chịu tác dụng một momen như vậy nếu có nhiều chất điểm tập hợp gần 
nhau thì như thế nào? 
o Xét vật rắn gồm nhiều chất điểm 
 Vật rắn gồm nhiều chất điểm có khối lượng và khoảng cách tới trục quay lần lượt là: 
,..., ji mm và ,..., ji rr 
 Momen tác dụng lên mỗi chất điểm là:  .2iii rmM  
Do đó tổng momen tác dụng lên vật rắn là (vì chuyến động quay cùng gia tốc góc): 
    ....... 222 iiijjiiii rmrmrmMM  
II.2. Momen quán tính 
 Đại lượng 2iii rm đặc trưng cho mức độ quán tính của vật quay và gọi là momen quán tính. Nó 
đóng vai trò như là khối lượng trong định luật II Newton 
Lý thuyết Vật Lí 12 Toàn tập 
Biên soạn: Nguyễn Tất Thành; email: thanhvl9@gmail.com Page 4 of 9 
R 
 R 
 
R 
 
l 
 R2 
 
R1 
R 
 
l 
 Biều thức: 2iii rmI  
 Tính chất: 
o Phụ thuộc vào khối lượng 
o Phụ thuộc vào sự phân bố khối lượng đối với trục quay 
o Đơn vị: kg.m2 
 Một số giá trị momen: 
o Vòng (vành) tròn mỏng, bán kính R, trục qua tâm: I = m.R2 ; hình 2a 
o Hình trụ đặc (hoặc cái đĩa) bán kính R, quay quanh trục giữa: 2.
2
1 RmI  ; hình 2b 
o Thanh mỏng quay quanh trục đi qua tâm vuông góc với thanh: 2.
12
1 lmI  ; hình 2c 
o Hình ống trụ trục quay ở giữa:  2221.2
1 RRmI  ; hình 2d 
o Hình trụ đặc, trục quay qua đường kính ở giữa: 22 .
12
1
4
1 lmmRI  ; hình 2e 
o Thanh mỏng, trục quay đi qua đầu thanh và vuông góc với thanh: 2.
3
1 lmI  ; hình 2f 
o Quả cầu đăc, trục quay qua đường kính bất kì: 2.
5
2 RmI  ; hình 2g 
o Quả cầu rỗng, trục quay qua đường kính bất kì: 2.
3
2 RmI  ; hình 2h 
o Vòng (vành) tròn mỏng, bán kính R, trục quay qua bán kính bất kì: 2.
2
1 RmI  ; hình 2i 
o Thanh mỏng hình chử nhật, trục quay qua tâm vuông góc với mặt phẳng:  22.
12
1 bamI  ; 
hình 2j 
 Hình 2a Hình 2b 
 Hình 2c 
 Hình 2d 
 Hình 2e 
Lý thuyết Vật Lí 12 Toàn tập 
Biên soạn: Nguyễn Tất Thành; email: thanhvl9@gmail.com Page 5 of 9 
 
l 
 
R 
 
R 
 
R 
b 
a 
 
M 
O R 
,T

T

gmP 

. 
M 
m 
 Hình 2f Hình 2g Hình 2h 
Hình 2i Hình 2j 
II.3. Phương trình động lực của vật rắn quay quanh một trục cố định 
 Với phương trình:  .2iii rmM  , với 2iii rmI  
 Ta có: .IM  gọi là phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố đinh. Hay 
còn gọi là định luật thứ II Newton cho sự quay 
II.4. Phương pháp bài tập 
 Ví dụ 01. 
o Đề: 
Một cái đĩa đồng tính có khối lượng M bằng 2,5kg và có bán kính R = 20cm, lắp trên một cái 
trục nằm ngang cố định. Một vật nặng có khối lượng 1,2kg treo vào một sợi dây không trọng 
lượng quấn quanh mép đĩa. Tìm gia tốc của vật năng khi rơi (giả thiết rằng nó rơi), gia tốc góc 
của đĩa, và lực căng của sợi dây. Dây không trượt và không có ma sát ở trục 
o Hướng dẫn: 
Vật nặng chuyển động hướng xuống dưới, do đó trọng lực P phải lớn hơn lực căng T. Theo định 
luật II Newton cho chuyển động tịnh tiến của vật nặng: 
amTP 

. hay T – mg = ma 
Momen do lực căng T’ tác dụng lên đĩa: M = R.T’ = R.T (1) vì (T = T’) 
Lý thuyết Vật Lí 12 Toàn tập 
Biên soạn: Nguyễn Tất Thành; email: thanhvl9@gmail.com Page 6 of 9 
Mặt khác: M = - I. , với momen của đĩa là: 2.
2
1 RMI  vậy ..
2
1 2RMM  (2) (dấu âm vì 
momen quay ngược chiều dương lượng giác) 
Từ 1 và 2 ta có:  ..
2
1..
2
1. 2 RMTRMTR  (3) 
Ta có mối liên hệ giữa gia tốc góc và gia tốc dài: Raat . suy ra: R
a
 , thay vào (3) 
aM
R
aRMT .
2
1..
2
1
 
Vậy mgmMamamgaMmamgT 




 
2
1.
2
1 
  mgmMa 22  g
mM
ma .
2
2

 
 2/8,4
2,1.25,2
2,1.2.8,9 sma 

 
- gia tốc góc của đĩa:  2/24
2,0
8,4 srad
R
a
 
- Lực căng của sợi dây: )(0,68,4.5,2.
2
1.
2
1 NaMT  
 Ví dụ 02 
o Đề: 
Để quật ngã một đối thủ 80kg bằng động tác Judo cơ bản quăng qua hông, bạn dự định kéo áo 
anh ta bằng một lực F

 và một cánh tay đòn d1 = 0,30m, từ một điểm tựa (trục quay) trên hông phải 
của bạn, và bạn mong quay anh tròn anh ta quanh trục đó với gia tốc góc bằng – 12rad/s2 nghĩa là 
theo chiều kim đồng hồ (ngược chiều dương lượng giác). Giả sử rằng quán tính quay I của của anh 
ta đối với điểm tựa là 15kg.m2. 
a. Cường độ của lực F

 phải bao nhiêu, nếu đầu tiên, bạn kéo gập anh ta về trước để đặt khối 
tâm của anh ta trên hông bạn? 
b. Cường độ lực F

 phải bao nhiêu nếu anh ta vẫn đứng thẳng và véctơ trọng lực của anh ta có 
cánh tay đòn d2 = 0,12m, tính từ điểm tựa? 
o Hướng dẫn: 
a. Nếu khối tâm của anh ta ở trên trục quay, thì trọng lực của anh ta không tạo nên momen quay 
nào quanh trục đó. Và momen quay độc nhất tác dụng vào anh ta là lực kéo F

của bạn: 
- Momen do lực tác dụng: M = - F.d 
- Mặt khác: .IM  
- Vậy: 
d
IFdFI  ...  
- Lực cần tác dụng là: )(600
30,0
)15.(12. N
d
IF   
b. Trường hợp này đối thủ của bạn tạo ra một momen quay dương (ngược lượng giác) chống lại 
momen của bạn, và để bạn vẫn quay anh ta với gia tốc )/(12 2srad thì lực kéo phải tăng 
lên: 
- Tổng momen: ..2
'
1 IgmdFdM  
- Do đó: mg
d
d
d
IF
1
2
1
' .   hay mg
d
dFF
1
2'  
Lý thuyết Vật Lí 12 Toàn tập 
Biên soạn: Nguyễn Tất Thành; email: thanhvl9@gmail.com Page 7 of 9 
- Lực cần tác dụng: )(6,9136,3136008,9.80.
3,0
12,0600
1
2' Nmg
d
dFF  
Kết quả cho thấy bạn phải kéo mạnh lực hơn lúc đầu (tăng 50%), nếu bạn không kéo gập 
được người đối thủ để đưa khối tâm anh ta lên hông bạn 
II.5. 
III. MOMEN ĐỘNG LƯỢNG. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MOMEN ĐỘNG LƯỢNG 
III.1. Momen động lượng 
 Dạng vi phân của phương trình động lực học vật rắn. 
o Ta có: 
dt
dIIM  ..  
o Xét vật rắn có momen quán tính không đổi 
Ta có:  
dt
IdM  đặt .IL  suy ra 
dt
dLM  (1) 
o (1) gọi là phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục cố định 
 Momen động lượng. 
o Đại lượng: .IL  gọi là mô momen động lượng của một vật rắn đối với trục quay 
o Đơn vị: kg.m2/s 
o Momen động lựợng là một đại lượng véctơ, chiều tuân theo quy tắc bàn tay phải 
III.2. Định luật bảo toàn momen động lượng 
 Nếu: 0
dt
dLM thì L = const (2) (hệ cô lập) phương trình này biểu diễn định luật bảo toàn 
momen động lượng 
 Định luật: Nếu tổng momen các lực tác dụng lên một vật rắn (hay hệ vật) đối với một trục bằng 
không thì tổng momen động lượng của vật rắn (hay hệ vật) đối với một trục đó được bảo toàn. 
(SGK.12.NC) 
 Cách phát biểu khác: Nếu không có momen quay toàn phần bên ngoài tác dụng vào hệ thì 
momen động lượng L của hệ được giữa không đổi, dù trong hệ có thay đổi gì. (cơ học: DAVID-
HALLIDAY) 
III.3. Phương pháp bài tập 
 Ví dụ 01 
o Đề: 
Hãy xác định momen động lượng liên kết với sợ quay của Trái Đất quanh trục nó, là bao 
nhiêu? Biết khối lượng m = 5,98.1024kg, R = 6,37.106m, chu kì tự quay T = 8,64.104s. Momen 
động lượng liên kết chuyển động trên quỹ đạo quanh mặt trời, biết khoảng cách trung bình tới mặt 
Trời d = 1,5.1011m, chu kì 3,16.107s 
o Hướng dẫn: 
 Momen tự quay 
Ta có: .IL  
- Với Trái Đất xem như một quả cầu đặc đồng tính thì momen là: 2.
5
2 RMI  
- Tốc độ góc tự quay của Trái Đất: 
T


2
 
Do đó: 
T
RMILtq


2..
5
2. 2 
Vậy:   )/.(10.1,7
10.64,8
14,3.2.10.37,6.10.98,5.
5
2 233
4
2624 smkgLtq  
 Momen trên quỹ đạo 
Khi Trái Đất chuyển động trên quỹ đạo quanh Mặt Trời thì xem như một chất điểm (bỏ 
qua kích thước) nên có momen quán tính: I = M.d2, chu kì quay T’ = 3,16.107s (1 năm) 
Lý thuyết Vật Lí 12 Toàn tập 
Biên soạn: Nguyễn Tất Thành; email: thanhvl9@gmail.com Page 8 of 9 
Momen quỹ đạo: ,
2 2...
T
dMILqd

  
Giá trị:    smkgLqd /.10.7,210.16,3
14,3.210.50,1.10.98,5 2407
21124  
Véctơ qdL

 vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo của Trái Đất, vì trục Trái Đất nghiêng, 
nên véctơ momen động lượng quỹ đạo và véctơ momen động lượng tự quay làm một góc 
2305. Cả hai véctơ đều không đổi cả về hướng lẫn độ lớn khi Trái Đất chuyển động trên 
quỹ đạo 
 Ví dụ 02 
o Đề: 
Một nghễ sĩ đu bay phải lộn 3 vòng, trong cú bay tới bạn diễn, kéo dài 1,87s. Trong phần tư 
vòng đầu và cuối cùng, anh ta ở tư thế duỗi người, với quán tính quay I1 = 19,9 kg.m2 đối với khối 
tâm của anh ta. Trong thời gian còn lại của chuyến bay, anh ta ở tư thế gập người với quán tính 
quay I2 = 5,50 kg.m2. 
a. Tốc độ góc ban đầu 1 là bao nhiêu? 
b. Nếu anh ta cố gắng lộn 4 vòng với tốc độ góc 1 và cùng thời gian trên, bằng cách cuộn 
người chặt hơn thì quán tính quay I2 lúc cuộn người là bao nhiêu? 
c. Lộn 4 vòng thì chu kì quay T (thời gian lộn 1 vòng) lúc ghập người là bao nhiêu? 
o Hướng dẫn: 
a. Anh ta ở tư thế duỗi người trong một góc tổng cộng (một phần tư vòng đầu và cuối cùng) 
1 = 0,500 vòng, trong thời gian tổng cộng t1. Và trong tư thế gập người một góc quay 2 = 2,5 
vòng, trong thời gian t2 được xác định bởi: 
- ta có: 
2
2
2
1
1
1 ; 



 tt (1) trong đó 2 là tốc độ góc lúc gập người. Theo định luật bảo 
toàn momen động lượng: 2211  II  
Suy ra: 1
2
1
2  I
I
 (2) 
Thời gian bay tổng cộng: t = t1 + t2 (3), thay 1 vào 3 ta có 







1
2
21
111
22
1
1
2
2
1
1 1
I
I
I
It 







 (4) 
Vậy:  svg
I
I
t
/637,06369,0
9,19
50,5.5,2500,0
87,1
11
1
2
211 











  
b. Bây giờ nếu anh ta cố gắng lộn bốn vòng cùng với tốc độ góc 1 trong thời gian t, bằng 
cách cuộn người chặt hơn, thì quán tính I2 của anh ta phải bằng bao nhiêu? 
Do đó góc quay lúc cuộn người bây giờ là vong5,3,2  (thêm một vòng) từ 4 ta có: 







1
,
2
21
111
,
2
,
2
1
1
,
2
,
2
1
1 1
I
I
I
It 







 
,
2
11
1
,
2
1
,
2,
211
1
,
2,
21
1
.
.1












t
I
I
I
It
I
It 
Hay:  21,
2
11,
2 .93,3929,39,19.5,3
500,06369,0.87,1.. mkgItI 

 
Giá trị nhỏ hơn của I’2 này cho phép anh ta quay nhanh hơn khi cuộn người, và đây có thể 
xem là giá trị nhỏ nhất của một vận động viên đu bay. Nếu anh ta muốn tăng lên bốn vòng rưỡi 
Lý thuyết Vật Lí 12 Toàn tập 
Biên soạn: Nguyễn Tất Thành; email: thanhvl9@gmail.com Page 9 of 9 
L 
  
L 
thì buộc phải tăng tốc độ quay hay thời gian quay, nhưng trong hai cách này đều gây khó khăn 
cho người bạn diễn của anh ta, sẻ khó tóm được tay của anh ta 
c. Chu kì quay khi anh ta thực hiện gập người (lúc thực hiện 4 vòng quay), là thời gian của 
một vòng lộn: 
Tốc độ góc lúc gập người: từ 2 ta có  svg
I
I /226,36369,0.
929,3
9,19
1,
2
1,
2   
Do đó thời gian một vòng quay: )(310,0
226,3
11
1
svgT 

IV. ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 
IV.1. Động năng của một vật rắn quay quanh một trục cố định. 
 Xét vật rắn (gồm vô số chất điểm tạo thành) quay quanh trục cố định Oz 
o tốc độ góc  
o các chất điểm quay cùng tốc độ góc, và có vận tốc dài: ii rv . 
o động năng của mỗi chất điểm: 222
2
1
2
1
iiii rmvm  
 Vậy động năng của vật rắn bằng tổng động năng của các chất điểm tạo nên vật rắn 
o Ta có:  
i i
iiii rmrm
2222
d 2
1
2
1W  mặt khác 
i
iirmI
2 là mômen quán tính của vật 
quay 
o Biểu thức: 2d 2
1W I là động năng quay của vật rắn 
V. ĐỊNH LÍ TRỤC SONG SONG 
I.1. Định lí trục song song 
 Định lí: 
o Quán tính quay của một vật quanh một trục bất kì, thì bằng quán tính quay (M.h2) mà nó có 
với trục đó, nếu toàn bộ khối lượng của nó tập trung vào khối tâm của nó, cộng với quán tính quay 
(Ikh.t) của nó đối với trục song song, đi qua khối tâm đó. 
 Biểu thức: 
o biểu thức: I = Ikh.t + M.h2 
 với M là khối lượng của vật 
 h là khoảng cách vuông góc giữa hai trục song song 
 Ikh.t là quán tính quay quanh trục đi qua khối tâm của vật đó 
I.2. Ví dụ: 
 Momen quán tính của một thanh mỏng quanh trục đi qua tâm và vuông góc với thanh: 
2.
12
1 LMI  hình a 
 Hình aHình b 
 Momen quán tính của thanh mỏng quanh một trục đi qua đầu thanh và vuông góc với thanh: 
2.
3
1 LMI  hình b 
 Theo định lí trục song song ta có thể tính mômen quán tính của hình b thông qua hình a 
Ta có: 2.hMII ab  với Lh 2
1
 
Suy ra: 222
2
22 .
3
1.
12
4
4
1
12
1.
2
1.
12
1. LMLMLMLMLMhMII ab 




 




 (đpcm)