Luyện tập Hình học 8 - Bài 7: Hình bình hành

Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
BÀI 7: HèNH BèNH HÀNH 
1. Đinh nghĩa 
 Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. 
 Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song. 
2. Tính chất 
Trong hình bình hành: 
 Các cạnh đối bằng nhau. 
 Các góc đối bằng nhau. 
 Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 
3. Dấu hiệu nhận biết 
 Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. 
 Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hàng. 
 Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. 
 Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. 
 Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. 
4. Bài tập 
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở M. Tia phân giác của góc C cắt AB ở 
N. Chứng minh rằng AMCN là hình bình hành. 
Giải 
Cách 1: Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành 
ABCD là hình bình hành   
 

1 1
2 2
A C
A C A C     
 
1 1C N (hai góc so le trong) 
  
1 1 1A C N   mà 
 
1 1 và A N là hai góc đồng vị với nhau AM // CN 
Tứ giác AMCN có: AM // CN và AN // CM AMCN là hình bình hành. 
Cách 2: Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành 
  
 

2 2
A C
A C DAM BCN     
Xét ADM và CBN có:  
 
 
 
D B
AD CB ADM BCN g c g
DAM BCN


      

 
 và AM CN DM BN   
AB CD
AB BN CD DM AN CM
BN DM
 
     
 
Tứ giác AMCN có: AM = CN và AN = CM AMCN là hình bình hành. 
1 1
1
M
N B
D C
A
1 1
1
M
N B
D C
A
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Cách 3: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành 
   
 
 
1 2 1 2
2 2
A C
A C A A C C       
   1 1 hai góc so le trongC N 
    
1 1 1 1 1 mà và là hai góc đồng vịA C N A N   
AM // CN 
Xét ADM và có:BCN  
 
 
 
2 2A C
AD CB ADM CBN g c g
D B


      

 
AM CN  . Tứ giác AMCN có: AM // CN và AM = CN AMCN là hình bình hành. 
Bình phẩm: Một bài toán có thể có nhiều cách chứng minh, nhiệm vụ của học sinh là phải tìm cách chứng 
minh nào tối ưu nhất. Vậy theo các em ba cách trên cách nào là tối ưu nhất? 
Bài 2: Trên hình 2, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AECF là hình bình hành. 
Giải 
AE // CF
AE BD
CF BD
 

 
 ADE CBF (hai góc so le trong) 
Xét ADE và CBF vuông tại E và F:  
 
 ch - gnhọnADE CBF ADE CBF
AD CB
 
   
 
AE CF  
Tứ giác AECF có: AE // CF và AE = CF AECF là hình bình hành 
Bài 3: Tứ giác ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là 
hình gì? Vì sao? 
Giải 
E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC 
 là đường trung bình của ABCEF  
1
AC và EF // AC
2
EF  (1) 
G là trung điểm của CD, H là trung điểm của AD 
 là đường trung bình của ACDGH  
1
 và GH // AC
2
GH AC  (2) 
Từ (1) và (2) và EF // GH là hình bình hànhEF GH EFGH   
2
2
1 1
1
M
N B
D C
A
Hình 2
F
E
C
A B
D
H
G
F
E
A
B
C
D
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, 
CK theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng DE = EF = FB. 
Giải 
ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD 
2
2
AB
AK
AB CD AK CI
CD
CI

 

  



Tứ giác AKCI có: AK // CI và AK = CI AKCI là hình bình hành CK // AI hay IE // CF và KF // AE  
Tam giác ACF có: IC = ID và IE // CF DE EF  (1). Tam giác ABE có: AK = BK và KF // AE 
BF EF  (2). Từ (1) và (2) DE EF FB   (đpcm) 
Bài 5: Cho hình 5, ABCD là hình bình hành, BE = DF. Chứng minh rằng AE // CF. 
Giải 
Gọi và O AB AC OA OC OB OD     . Ta có: OB = OD, BE = DF OF OE  
 là trung điểm của EFO 
Tứ giác AECF có hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 
 là hình bình hành AE // CFAECF  (đpcm) 
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của 
AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng: 
a. EMFN là hình bình hành. 
b. Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy. 
Giải 
ABCD là hình bình hành nên ta có: AB = CD, AB // CD 
AE BE
AB CD AE CF BE DF
CF DF
 

    
 
Tứ giác AECF có: AE // CF và AE = CF AECF là hình bình hành AF // CE hay MF // NE  
Tứ giác BEDF có: BE = DF và BE // DF BEDF là hình bình hành BF // DE hay NF // ME  
Tứ giác EMFN có: MF // NE và NF // ME là hình bình hànhEMFN 
F
E
K
I C
A B
D
Hình 5
O
E
C
E
C
A B
DD
BA
FF
O
N
M
F
E
C
A B
D
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
b. Gọi là trung điểm của EFO MN EF O   (1). Tứ giác AECF là hình bình hành AC EF O   (2) 
Từ (1) và (2) AC, EF, MN đồng quy tại một điểm. 
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh CD lấy điểm F sao cho AE = CF. 
Trên cạnh BC lấy điểm G, trên cạnh AD lấy điểm H sao cho BG = DH. Chứng minh rằng: 
a. EGFH là hình bình hành. 
b. Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy tại một điểm. 
Giải 
a. Theo giả thiết ta có: AB = CD, BC = AD,     và A C B D  
AB CD
AE CF
BE DF
BE AB AE
DF CD CF
 
 
 
  
  
Xét và có:BEG DFH     , , BE DF B D BG DH BEG DFH c g c         EG FH  
   Xét AEH và CFG có: , , AE CF A C AH CG AEH CFG c g c EH FG             
Tứ giác EGFH có: EG = FH và EH = FG EGFH là hình bình hành. 
b. Gọi O AC EF  . 
     Xét AOE và COF có: , , OAE OCF AE CF AEO CFO AOE COF g c g           
 và O là trung điểm của AC và EFOA OC OE OF    (1) 
ABCD là hình bình hành nên AC BD O  (2), EGFH là hình bình hành nên EF GH O  (3) 
Từ (1), (2) và (3)AC, BD, EF, GH đồng quy tại một điểm. 
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Qua C kẻ đường thẳng xy chỉ có một điểm chung C với hình bình hành. 
Gọi AA’, BB’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, D đến đường thẳng xy. 
Chứng minh rằng: AA’ = BB’ + DD’. 
Giải 
OH
F C
A
B
D
E
G
xy
O'
O
B'A'D' C
A
B
D
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Gọi O AC BD  , kẻ 'OO xy . Ta có: DD’ // AA’ // OO’ // BB’ (cùng vuông góc với xy) 
Tứ giác BB’D’D có: BB’ // DD’ 'DD' là hình thangBB . Lại có O là trung điểm của BD và OO’ // BB’ // 
DD’ nên OO’ là đường trung bình của hình thanh BB’D’D 
' '
'
2
BB DD
OO

  (1) 
Tam giác AA’C có: OO’ // AA’ và OA = OC nên OO’ là đường trung bình của tam giác AA’C 
'
'
2
AA
OO  (2). Từ (1) và (2) ' ' 'AA BB DD   (đpcm) 
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, 
BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm mối liên hệ giữa AA’, 
BB’, CC’, DD’. 
Giải 
Gọi O AC BD  , kẻ 'OO xy . Ta có: DD’ // AA’ // OO’ // CC’ // BB’ (cùng vuông góc với xy) 
Tứ giác BB’D’D có: BB’ // DD’ nên BB’D’D là hình thang. Lại có OB = OD và OO’ // BB’ // DD’ 'OO là 
đường trung bình của hình thang BB’D’D
' '
'
2
BB DD
OO

  (1) 
Tứ giác AA’C’C có: AA’ // CC’ nên AA’C’C là hình thang. Lại có OA = OC và OO’ // AA’ // CC’ 'OO là 
đường trung bình của hình thang AA’C’C
' '
'
2
AA CC
OO

  (2) 
Từ (1) và (2) ' ' ' 'AA CC BB DD    . 
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD có  090A   . ậ phía ngoài hình bình hành, vẽ các tam giác đều 
ADF, ABE. 
a. Tính EAF ? 
b. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều. 
Giải 
Ta có:           0 0 0 0 0360 360 360 60 60EAF DAF A BAE EAF A DAF BAE              
0 0 0360 120 240      
xy
B'C'O'A'D'
O
C
A
B
D
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
   0 0 0 0180 180 60 240ABC CBE ABC ABE            
  0240EAF EBC     
Xét và BEC có:AEF  
   
AE BE
EAF EBC AEF BEC c g c
AF BC
 

      


EC EF  (1) 
   0180ADC CDF ADC ADF     
0 0 0180 60 240      
 CDF EAF  
Xét AEF và DCF có:  
   
AE CD
EAF CDF AEF DCF c g c
AF AD
 

      


EF CF  (2). Từ (1) và (2) là tam giác đều.EC EF CF CEF     
Bài 11: Cho tam giác ABC. Ơ phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE. Vẽ 
hình bình hành ADIE. Chứng minh rằng: 
a. IA = BC. b. .IA BC 
Giải 
a.  0180ADI DAE  ,   0180BAC DAE  
 BAC ADI  
Xét ABC và DAI có:  
   
AB AD
BAC ADI ABC DAI c g c
AC DI
 

      


IA BC  
b. Gọi H IA BC  .  ABC DAI ABH DAI     
mà    0180BAH BAD DAI   
    0 0 090 90 90BAH DAI ABH BAH AHB        
 hay IA BCAH BC   
Bài 12: Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng song song với BC, cắt AB ở E, cắt AC ở F sao cho BE = 
AF. 
Giải 
E
F
C
A
B
D
H
I
E
D
A
B C
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Phân tích: Giả sử đã vẽ được hình theo yêu cầu của đề bài BE = AF. 
Qua F kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. 
Tam giác AFD có AF = FD AFD cân tại F  2 1A D  
Mà  1 1D A (hai góc so le trong) 
  
1 2 là phân giác của góc A A AD A   . 
Dựng hình: 
Bước 1: Dựng tia phân giác của góc A cắt BC ở D. 
Bước 2: Qua điểm D kẻ đường thẳng song song với 
AB cắt AC ở F. 
Bước 3: Qua F kẻ đường thẳng song song với 
BC cắt AB ở E. 
Chứng minh: AB // DF  1 1D A  (hai góc so le trong), 
 
1 2A A (AD là phân giác của góc A) 
 
1 2 cân tại FD A AFD AF DF      . Tứ giác BDFE có: BE // DF và BD // EF nên BDFE là hình 
bình hành BE DF  mà DF = AF BE AF  . 
Biện luận: Bài toán luôn có một nghiệm hình. 
Bài 13: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến AD, BE, CF trong đó AD BE , AD = 3cm, BE = 
4cm. 
a. Vẽ điểm K sao cho D là trung điểm của EK. Chứng minh rằng AFKD là hình bình hành. 
b. Tính độ dài CF. 
Giải 
a. Tam giác ABC có: E là trung điểm của AB 
D là trung điểm của BC 
 là đường trung bình của ABCDE  
1
 và DE // AB hay DK // AF
2
DE AB AF   
mà DE DK AF DK   
Tứ giác AFKD có: AF = DK và AF // DK 
 là hình bình hành.AFKD 
b. Tứ giác AFKD là hình bình hành 
3 và AD // FK FK AD cm   
mà AD BE FK BE   
Tứ giác BKCE có hai đường chéo BC và EK 
cắt nhau tai trung điểm của mỗi đường nên 
BKCE là hình bình hành 
4 và CK // BE mà BE FK CK FKCK BE cm      
Tam giác CKF vuông tại F: 2 2 2 2 24 3 25 25 5CF CK FK cm CF cm        
1 2
1
E F
D
A
B C
K
F E
CD
A
B
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Bài 14: Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Gọi A’, B’, C’ là hình chiếu của A, B, C lên 
đường thẳng DE. Chứng minh rằng AA’ = BB’ + CC’ 
Giải 
Từ C kẻ đường thẳng song song với B’C’ cắt BB’ tại F. 
   1 1 hai góc đồng vịD E 
   1 1 hai góc đồng vịE C 
   1 1 1cùng bằng D C E  
Xét ' và BCF có:ADA  
   
1 1
' ch - gnhọn
AD BC
ADA BCF
D C
 
   
 
'AA BF  
Tứ giác B’C’CF có B’C’ // CF và B’F // CC’ B'C'CF là hình bình hành B'F = CC'  
' ' ' ' 'AA BF BB B F BB CC      (đpcm) 
Bài 15: Cho tam giác ABC trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của BC và AC 
cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia OC lấy điểm K sao cho OK = OC. Chứng minh rằng: 
a. AHBK là hình bình hành. 
b. 
1
.
2
OM AH 
Giải 
a. Gọi N là trung điểm của AC. 
, OM // AHOM BC AH BC   
Tam giác BCK có: 
O là trung điểm của CK, M là trung điểm của BC 
OM là đường trung bình của BCK  
1
OM // BK và 
2
OM BK   BK // AH vì cùng song song với OM 
, ON // BHON AC BH AC   . Tam giác ACK có: O là trung điểm của CK, N là trung điểm của AC 
nên ON là đường trung bình của tam giác ACK  ON // AK BH // AK vì cùng song song với ON  
Tứ giác AHBK có: BK // AH và BH // AK nên AHBK là hình bình hành. 
b. AHBK là hình bình hành 
1 1
 mà .
2 2
AH BK OM BK OM AH     
1
1
1
F
B'
C'
A'
C
A
B
D
E
K
O
N
M
H
A
B
C