Luyện tập Hình học 8 - Bài 6: Đối xứng trục

Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
BÀI 6: ĐỐI XỨNG TRỤC 
1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng 
Định nghĩa: Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn 
thẳng nối hai điểm đó. 
Quy ước: Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với B qua đường thẳng d cũng là điểm B. 
2. Hình đối xứng qua một đường thẳng 
Định nghĩa: Hai hình được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối 
xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. 
 Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau. 
3. Hình có trục đối xứng 
Định nghĩa: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H 
qua được thẳng d cũng thuộc hình H. 
 Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó. 
4. Bài tập 
Bài 1: Cho tam giác ABC có  070A  , điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ 
điểm E đối xứng với M qua AC. 
a. Chứng minh rằng: AD = AE. 
b. Tính số đo góc .DAE 
Giải 
a. M và D đối xứng nhau qua AB 
 AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD 
AM AD  (1) 
M và E đối xứng với nhau qua AC 
 AC là đường trung trực của đoạn thẳng ME 
AM AE  (2) 
Từ (1) và (2) AD AE  (đpcm) 
b. cân tại AAM AD AMD   
  là đường trung trực đồng thời là đường phân giác 2AB MAD MAB   
  cân tại A AC là đường trung trực đồng thời là đường phân giác 2AM AE AME MAE MAC      
         0 02 2 2 2 2.70 140DAE MAD MAE MAB MAC MAB MAC BAC          
Bài 2: Cho tam giác ABC có  060A  , trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC. 
a. Chứng minh rằng: .BHC BMC   
b. Tính BMC . 
Giải 
a. M và H đối xứng nhau qua BC 
BC là đường trung trực của MH 
E
D
C
A
B
M
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
 và BH BM CH CM   
Xét BCH và BCM có:  
  chung
BH BM
BC BCH BCM c c c
CH CM
 

     
 
b. Gọi D BH AC  và E CH AB  
  090AEH ADH  
 BCH BCM BMC BHC     
 BHC DHE (hai góc đối đỉnh) 
Xét tứ giác ADHE có: 
    0360A AEH ADH DHE    
    0360DHE A ADH AEH     
 0 0 0 0 0360 60 90 90 120     
   0120BMC BHC DHE    . 
Bài 3: Cho hình thang ABCD (   090A D  ). Gọi H là điểm đối xứng với B qua AD, I là giao điểm của 
CH và AD. Chứng minh rằng  AIB DIC . 
Giải 
B và H đối xứng nhau qua AI 
AI là đường trung trực của đoạn thẳng BH 
 cân tại IIB IH IBH    
 là đường cao đồng thời là đường phân giácIA 
 AIB AIH  
Mà  AIH DIC (hai góc đối đỉnh) 
 AIB DIC  (đpcm) 
Bài 4: Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy(AB không vuông góc 
với xy). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của A’B với xy. Gọi M là điểm bất kì khác 
C thuộc đường thẳng xy. Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB. 
Giải 
A và A’ đối xứng nhau qua xy 
 là đường trung trực của AA'xy 
C và M thuộc đường thẳng xy 
'C và 'AC A AM A M   
' 'AC CB A C CB A B     
 'AM MB A M MB   
60°
M
H
D
E
A
B
C
I
H
A B
D
C
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Xét tam giác A’BM có: ' 'A M MB A C AC CB AM MB      
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm I, trên cạnh AC lấy điểm K 
sao choa AI = AK. Chứng minh rằng điểm I đối xứng với điểm K qua AH. 
Giải 
Tam giác ABC cân tại A  AH là đường cao đồng thời là đường phân giác 
Tam giác AIK có: AI = AK AIK cân tại A AH là đường phân giác đồng thời là đường trung trực 
I và K đối xứng nhau qua AH. 
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ điểm K đối xứng với A qua 
đường thẳng d. 
a. Tìm các đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua d, đối xứng với đoạn thẳng AC qua d. 
b. Tứ giác AKCB là hình gì? Vì sao? 
Giải 
a. A đối xứng với K qua d 
B đối xứng với C qua d 
 đối xứng với AB qua dKC 
A đối xứng với K qua d 
C đối xứng với B qua d 
 đối xứng với KB qua dAC 
b. AK d và BC d  AK // BC cùng vuông góc với d 
Tứ giác AKCB có AK // BC là hình thang.AKCB Lại có AC đối xứng với KC qua d nên AC = KB 
Hình thang AKCB có hai đường chéo AC = KB nên AKCB là hình thang cân. 
Bài 7: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên tia phân giác ngoài tại góc ngoài của đỉnh C (M khác C). 
Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB. 
Giải 
Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho AC = CD. cân tại CACD 
CM là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của cạnh AD MA = MDACD  
Hình 5
K
H
B C
A
I
xy
Hình 4
C
A'
A
B
M
d
KA
B C
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
AC CB CD BC BD    , AM MB MD MB   
Xét BMD có: BD MD MB CD CB MD MB AC CB AM MB          (đpcm) 
Bài 8: Cho góc nhọn xOy , A là một điểm nằm trong góc đó. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia 
Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. 
Giải 
Cách dựng: 
Bước 1: Dựng điểm F đối xứng với A qua Ox 
Bước 2: Dựng điểm E đối xứng với A qua Oy 
Bước 3: Dựng đoạn EF cắt Ox tại B và Oy tại C 
Bước 4: Dựng đoạn thẳng AC, AB 
Chứng minh: 
Gọi B’ là điểm bất kì trên Ox và C’ là điểm bất kì trên Oy 
A và F đối xứng nhau qua Ox nên Ox là đường 
 trung trực của AF và ' 'AB BF AB B F   
A và E đối xứng nhau qua Oy nên Oy là đường 
trung trực của AE và ' 'AC CE AC C E   
Chu vi của tam giác ABC: ABCC AB AC BC BF CE BC EF       
Chu vi của tam giác AB’C’: ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'AB CC AB AC B C B F C E B C      
Vì ' '' ' ' ' ABC AB CEF B F C F B C C C     . Dấu “=” sẩy ra khi ' và 'C C B B  
Biện luận: Do xOy là góc nhọn nên EF luôn cắt Oy và Ox tại C và B nên ta luôn dựng được một tam giác 
thỏa mãn điều kiện của đề bài. 
D
A
B
C
M
y
x
B
C
F
E
O
A
C'
B'