Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường đại học năm học 2009 - 2010

1 = a4−3a3+4a2−2a+1.
Mặt khác, nếu thay x= y= 2 vào (1) thì ta được
f (4) = f (2) f (2)− f (4)+1.
Từ đó ta được phương trình
2(a4−3a3+4a2−2a+1) = (a2−a+1)2+1.
Giải phương trình này ta tìm được a = 0, hoặc a = 1, hoặc a = 2. Như vậy ta có 3
trường hợp để xét.
Trường hợp 1. a= 0. Khi đó f (x+1) = 1− f (x). Từ đó f (0) = 0, f (−1) = 0. Thay
y=−1 vào (1), ta được f (x−1) = 1− f (−x). Thay x=−1, y= x vào (1), ta được
f (1− x) = 1− f (−x). Suy ra f (x−1) = f (1− x), tức f là hàm chẵn. Thay y=−x
vào (1), ta được 1 = f (x) f (−x)− f (−x2)+1, suy ra f 2(x)− f (x2) = 0. Cuối cùng,
thay y = x vào (1), ta được f (2x) = f 2(x)− f (x2)+ 1 = 1. Thay x = 1
2
vào đẳng
thức này, ta suy ra mâu thuẫn. Vậy a 6= 0.
Trường hợp 2. a= 1. Khi đó f (x+1) = 1 với mọi x, tức là f (x) = 1 với mọi x.
Trường hợp 3. a = 2. Khi đó ta có f (x+ 1) = f (x)+ 1, từ đó suy ra f (−1) = 0.
Thay y=−1 thì ta được f (x−1) = 1− f (−x), suy ra
f (−x) = 1− f (x−1) = 1− [ f (x)−1] = 2− f (x).
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 57
Thay y bởi −y vào (1), ta được
f (x− y) = f (x) f (−y)− f (−xy)+1 = f (x)[2− f (y)]+ f (xy)−2+1. (2)
Cộng (1) với (2), ta được
f (x+ y)+ f (x− y) = 2 f (x).
Thay y= x vào (2) và chú ý rằng f (0) = 1 thì ta được
f 2(x) = f (x2)+2 f (x)−2,
suy ra
[ f (x)−1]2 = f (x2)−1.
Từ đó, nếu đặt g(x) = f (x)−1 thì ta có
g(0) = 0, g(x+ y)+g(x− y) = 2g(x), g(x2) = g2(x).
Từ đây, áp dụng lý thuyết căn bản về phương trình hàm Cauchy, dễ dàng tìm được
g(x) = x.
Vậy có hai hàm số thoả mãn điều kiện đề bài là f (x) = 1 và f (x) = 1+ x.
Ghi chú. Nếu xét hàm f :Q→Q thì sẽ làm bài toán dễ hơn.
Bài 4.13. Tìm tất cả các hàm số f :N∗→N∗ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau
đây
(i) f (m)> f (n) với mọi m> n thuộc N∗;
(ii) f ( f (n)) = 4n+9 với mọi n thuộc N∗;
(iii) f ( f (n)−n) = 2n+9 với mọi n thuộc N∗.
(Phổ thông Năng khiếu)
Lời giải. Cách 1. Vì f tăng thực sự nên f (n)≥ n với mọi n ∈N∗. Ngoài ra, cũng do
f tăng thực sự nên với mọi m, n ∈ N∗ mà m < n ta có n−m ≤ f (n)− f (m). Từ đó
ta có
[ f (n+1)− (n+1)]− [ f (n)−n]≤ f ( f (n+1)−n−1))− f ( f ((n)−n)),
hay
f (n+1)− f (n)−1≤ 2(n+1)+9− (2n+9).
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
58 Trần Nam Dũng (chủ biên)
Như thế
f (n+1)− f (n)≤ 3 ∀n ∈ N∗.
Giả sử có n mà f (n+1) = f (n)+1, nghĩa là f (n+1)− (n+1) = f (n)−n. Từ đó
f ( f (n+1)− (n+1)) = f ( f (n)−n).
Dẫn đến 2(n+1)+9 = 2n+9, mâu thuẫn. Tóm lại, ta có
2≤ f (n+1)− f (n)≤ 3 ∀n ∈ N∗. (∗)
Ta có f ( f (n))− f ( f (n)−n) = 2n.Mặt khác từ (∗) ta lại có
f ( f (n))− f ( f (n)−n) = [ f ( f (n))− f ( f (n)−1)]+ [ f ( f (n)−1)− f ( f (n)−2)]+
+ · · ·+[ f ( f (n)−n+1)− f ( f (n)−n)]≥ 2n.
Từ đó suy ra
[ f ( f (n))− f ( f (n)−1)] = [ f ( f (n)−1)− f ( f (n)−2)] = · · ·=
= [ f ( f (n)−n+1)− f ( f (n)−n)] = 2.
Giả sử f (2) = f (1)+ 3. Khi đó f (2)− 2 = f (1)+ 1 > f (1). Từ đó f ( f (2)− 2) >
f ( f (1)) hay 2 ·2+9 > 4 ·1+9, vô lí. Như vậy ta phải có f (2) = f (1)+2.
Lại giả sử f (3) = f (2)+3. Khi đó f (3)−3= f (2). Như thế f ( f (3)−3) = f ( f (2))
hay 2 ·3+9 = 2.4+9, vô lí. Như vậy ta cũng có f (3) = f (2)+2.
Giả sử có k ≥ 4 sao cho f (k+1) = f (k)+3. Khi đó do 3 ≤ k−1 nên sử dụng (∗)
ta được
f ( f (k)) = f ( f (k+1)−3) = f ( f (k+1)− k−1)+2(k−2),
hay 4k+9= 2(k+1)+9+2k−4, vô lí. Do đó với mọi n ta có f (n+1) = f (n)+2.
Như thế dãy { f (n)} là cấp số cộng với công sai là 2. Vì thế f (n) = 2n+ b. Thay
biểu thức của f (n) vào hệ thức f ( f (n)) = 4n+9 ta được
4n+9 = f (2n+b) = 2(2n+b)+b.
Từ đó b= 3 và f (n) = 2n+3. Dễ thấy f (n) = 2n+3 thỏa mãn (i) và (iii). Vậy hàm
số duy nhất cần tìm là f (n) = 2n+3 với mọi n ∈ N∗.
Cách 2. (Vắn tắt) Thay n bởi 2n trong (iii), ta được
f ( f (2n)−2n) = 4n+9.
So sánh với (ii), ta suy ra
f (n) = f (2n)−2n.
Từ đó sử dụng quy nạp theo n (xét n chẵn, n lẻ) để chứng minh f (n) = 2n+ 3 với
mọi n nguyên dương.
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 59
Bài 4.14. Tìm tất cả các hàm số f :Q→ R thỏa mãn
f (x+ y) = f (x) f (y)− f (xy)+1 ∀x, y ∈Q.
(Bắc Giang)
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
60 Trần Nam Dũng (chủ biên)
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
Chương 5
Hình học
“Giữa những bộ óc thông minh ngang nhau và trong những điều kiện tương tự, ai có tinh
thần hình học thì người đó sẽ thắng và thu được một cường lực hoàn toàn mới mẻ.”
Blaise Pascal
5.1 Đề bài
5.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D
là một điểm trên đoạn BC, đường tròn (P) tiếp xúc với DC, DA tại E, F và tiếp xúc
trong với (O) tại K. Chứng minh rằng E, F, I thẳng hàng.
5.2. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Với M là một điểm thuộc
cạnh AB, chọn điểm N thuộc cạnh D′C′ sao cho AM+D′N = a.
(1) Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định khiM thay đổi.
(2) Tính thể tích chóp B′.A′MCN theo a. Xác định vị trí củaM để khoảng cách từ
B′ tới mặt phẳng (A′MCN) đạt giá trị lớn nhất. Tính khoảng cách lớn nhất đó
theo a.
(3) Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc củaC xuốngMN khi M chạy trên AB.
5.3. Cho đường tròn (O) và hai điểm biên B, C sao cho B, C không phải là đường
kính. Điểm A chuyển động trên cung lớn BC (khác B,C). GọiM là trung điểm cạnh
AB và N là hình chiếu vuông góc củaM lên AC. Cho trước số thực a khác 1 và gọi K
là điểm chia đoạn HN theo tỉ số a, với H là trung điểm cạnh BC. Vẽ đường thẳng d
qua K và vuông góc với HN. Chứng minh rằng d luôn tiếp xúc với một đường cong
cố định.
61
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
62 Trần Nam Dũng (chủ biên)
5.4. Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại M và không vuông góc với nhau. Dựng
parabol tiếp xúc a tại A và tiếp xúc b tại B, với A, B là hai điểm cho trước thuộc a, b.
5.5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. D, E, F lần lượt thuộc các cạnh BC, CA,
AB sao cho tam giác DEF vuông cân tại D. Tìm tập hợp trung điểm I của EF.
5.6. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Diện tích các tam giác ABC, ABD lần
lượt là S1, S2. Gọi x là số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). M là một
điểm thuộc cạnhCD sao cho khoảng cách từM đến hai mặt phẳng (ABC)và (ABD)
bằng nhau.
(a) Chứng minh rằng V =
2S1S2 sinx
3AB
và
CM
DM
=
S1
S2
.
(b) Tính diện tích tam giác AMB theo V, S1, S2, x.
5.7. Cho KL và KN là các tiếp tuyến của đường tròn (C), với L, N thuộc (C). Lấy
M bất kì trên đường thẳng KN (M, K khác phía so với N). Giả sử (C) cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác KLM tại điểm thứ hai là P. Q là chân đường vuông góc hạ từ N
xuống ML. Chứng minh rằng
∠MPQ= 2∠KML.
5.8. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Đường tròn (O) đi qua A, B cắt
đoạn AH tại K. Điểm L thuộc đoạn AB sao cho KL ‖ AC. Gọi E = BK∩CL. Đường
thẳng AE cắt lại (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng
∠AFL= ∠BAC.
5.9. Cho tam giác ABC. Dựng các điểm X , Y sao cho hai tam giác ABX , ACY đồng
dạng ngược hướng. Dựng các điểm T, K sao cho các tam giác BXA, BTC, KXY
đồng dạng cùng hướng. Chứng minh rằng hai tam giác BTC và KXY có chung tâm
đường tròn ngoại tiếp.
5.10. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của
H trên cạnh AC,M là trung điểm HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 63
5.11. Tam giác ABC (AB > AC) nội tiếp (O). Phân giác ngoài tại A cắt (O) tại E.
Gọi F là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh rằng
2AF = AB−AC.
5.12. Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Gọi a, b, c, d theo thứ tự là phân giác ngoài của
các góc ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA. K = a∩b, L= b∩ c,M = b∩d, N = d∩a.
Chứng minh rằng tứ giác KLMN nội tiếp một đường tròn và đường tròn đó có bán
kính bằng
KM ·LN
AB+BC+CD+DA
.
5.13. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao
AA0, BB0,CC0 đồng quy tạiH. Các điểm A1, A2 thuộc (O) sao cho đường tròn ngoại
tiếp các tam giác A1B0C0, A2B0C0 tiếp xúc với (O). Tương tự ta có các điểm B1, B2
và các điểmC1,C2. Chứng minh rằng các đường thẳng A1A2, B1B2,C1C2 đồng quy
tại một điểm thuộc OH.
5.14. Cho tam giác nhọn ABC có trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong
AL tại đỉnh A (với M, L lần lượt thuộc các cạng AB, BC). Đặt AC = b, AB= c.
(a) Chứng minh rằng
−→
AL=
b
b+ c
−→
AB+
c
c+b
−→
AC.
(b) Giả sửCM = k ·AL, k > 0. Chứng minh rằng
cosA=
9−4k2
9+4k2
.
5.15. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh CB và CD lần lượt lấy các điểm E, F
sao cho
BE
BC
= k và
DF
DC
=
1− k
1+ k
, với 0 < k< 1. Đoạn thẳng BD cắt AE và AF tại H
và G tương ứng. Đường vuông góc với EF kẻ từ A cắt BD tại P. Chứng minh rằng
PG
PH
=
DG
BH
.
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
64 Trần Nam Dũng (chủ biên)
5.16. Trong mặt phẳng (P)cho điểm O cố định và dlà đường thẳng quay quanh O.
Lấy S ngoài (P)có hình chiếu vuông góc trên (P) là H, với H 6≡ O. Qua S dựng
đường vuông góc với mặt phẳng xác định bởi S và d. Đường thẳng này cắt (P) tại
N. Tìm quỹ tích điểm N khi d thay đổi.
5.17. Cho đường tròn tâm O và một dây cung AB cố định không là đường kính. Một
điểm P thay đổi trên cung lớn AB. Gọi I là trung điểm của AB. Lấy các điểm M, N
trên các tia PA, PB tương ứng sao cho ∠PMI = ∠PNI = ∠APB.
(a) Chứng minh đường cao kẻ từ đỉnh P của tam giác PMN đi qua một điểm cố
định.
(b) Chứng minh rằng đường thẳng Euler của tam giác PMN đi qua một điểm cố
định.
5.18. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I, I1, I2, I3 là tâm đường tròn
nội tiếp và bàng tiếp các góc A, B, C tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
II2I3 cắt (O) tại hai điểm M1, N1. Gọi J1 là giao điểm của AI và (O). Kí hiệu d1 là
đường thẳng đi qua J1 và vuông góc với M1N1. Tương tự xác định các đường thẳng
d2, d3. Chứng minh các đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy tại một điểm.
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 65
5.2 Lời giải
Bài 5.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I).
Gọi D là một điểm trên đoạn BC, đường tròn (P) tiếp xúc với DC, DA tại E, F và
tiếp xúc trong với (O) tại K. Chứng minh rằng E, F, I thẳng hàng.
(Đại học Vinh)
Bài 5.2. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Với M là một điểm
thuộc cạnh AB, chọn điểm N thuộc cạnh D′C′ sao cho AM+D′N = a.
(1) Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
(2) Tính thể tích chóp B′.A′MCN theo a. Xác định vị trí củaM để khoảng cách từ
B′ tới mặt phẳng (A′MCN) đạt giá trị lớn nhất. Tính khoảng cách lớn nhất đó
theo a.
(3) Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc củaC xuống MN khi M chạy trên AB.
(Hà Nội)
Bài 5.3. Cho đường tròn (O) và hai điểm biên B, C sao cho B, C không phải là
đường kính. Điểm A chuyển động trên cung lớn BC (khác B, C). Gọi M là trung
điểm cạnh AB và N là hình chiếu vuông góc của M lên AC. Cho trước số thực a
khác 1 và gọi K là điểm chia đoạn HN theo tỉ số a, với H là trung điểm cạnh BC.
Vẽ đường thẳng d qua K và vuông góc với HN. Chứng minh rằng d luôn tiếp xúc
với một đường cong cố định.
(Đại học Khoa học tự nhiên)
Bài 5.4. Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại M và không vuông góc với nhau.
Dựng parabol tiếp xúc a tại A và tiếp xúc b tại B, với A, B là hai điểm cho trước
thuộc a, b.
(Đại học Khoa học tự nhiên)
Bài 5.5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. D, E, F lần lượt thuộc các cạnh BC,
CA, AB sao cho tam giác DEF vuông cân tại D. Tìm tập hợp trung điểm I của EF.
(Bắc Ninh)
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
66 Trần Nam Dũng (chủ biên)
Bài 5.6. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Diện tích các tam giác ABC, ABD
lần lượt là S1, S2. Gọi x là số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). M
là một điểm thuộc cạnhCD sao cho khoảng cách từM đến hai mặt phẳng (ABC)và
(ABD) bằng nhau.
(a) Chứng minh rằng V =
2S1S2 sinx
3AB
và
CM
DM
=
S1
S2
.
(b) Tính diện tích tam giác AMB theo V, S1, S2, x.
(Ninh Bình)
Bài 5.7. Cho KL và KN là các tiếp tuyến của đường tròn (C), với L, N thuộc (C).
LấyM bất kì trên đường thẳng KN (M, K khác phía so với N). Giả sử (C) cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác KLM tại điểm thứ hai là P. Q là chân đường vuông góc hạ
từ N xuống ML. Chứng minh rằng
∠MPQ= 2∠KML.
(Hải Phòng)
Lời giải.
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 67
Gọi P′ ≡MP∩ (O), P′ 6= P và Q′ ≡ ON∩ML. Khi ấy, ta có
MN2 =MQ ·MQ′ =MP ·MP′,
suy ra PQQ′P′ là tứ giác nội tiếp. Vì vậy ∠MPQ = ∠P′Q′M. Ta đi chứng minh
LP′ ‖MK.
Thật vậy, ta có
(PM, PN)≡ (LP′, LN)≡ (PL, PN)− (PL, PM)≡ (NL, NK)+(KN, KL)
≡ (LN, LK)≡ (NK, NL)≡ (MK, NL) (mod pi),
nên LP′ ‖MK. Dẫn đến ON ⊥ P′L, suy ra OQ′ ⊥ P′L. Nhưng O ∈ đường trung trực
của LP′, vì vậy Q′ ∈ đường trung trực của LP′, theo đó ta được
∠P′Q′M = 2 ·∠Q′LP′ ≡ 2 ·∠MLP′ = 2 ·∠KML (do LP′ ‖MK),
suy ra ∠MPQ= 2 ·∠KML. Đó là điều phải chứng minh.
Bài 5.8. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Đường tròn (O) đi qua A,
B cắt đoạn AH tại K. Điểm L thuộc đoạn AB sao cho KL ‖ AC. Gọi E = BK ∩CL.
Đường thẳng AE cắt lại (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng
∠AFL= ∠BAC.
Bài 5.9. Cho tam giác ABC. Dựng các điểm X , Y sao cho hai tam giác ABX , ACY
đồng dạng ngược hướng. Dựng các điểm T, K sao cho các tam giác BXA, BTC,
KXY đồng dạng cùng hướng. Chứng minh rằng hai tam giác BTC và KXY có chung
tâm đường tròn ngoại tiếp.
(Đại học Sư phạm)
Bài 5.10. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình
chiếu của H trên cạnh AC, M là trung điểm HD. Chứng minh rằng AM vuông góc
với BD.
(Đồng Nai)
Lời giải. Gọi K là hình chiếu của B lên AC. Khi ấy ta có HD ‖ BK, lại có H là trung
điểm của BC dẫn đến D là trung điểm của KC. Qua B, A, vẽ các tia By, Ax. Khi ấy,
ta thu được (AH, AD, AM, Ax) = (BC, BK, BD, By) = −1. Nhưng dễ thấy, AH,
AD, Ax lần lượt vuông góc với BC, BK, By. Suy ra AM ⊥ BD. Đó là điều phải chứng
minh.
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
68 Trần Nam Dũng (chủ biên)
Bài 5.11. Tam giác ABC (AB> AC) nội tiếp (O). Phân giác ngoài tại A cắt (O) tại
E. Gọi F là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh rằng
2AF = AB−AC.
(Đồng Nai)
Bài 5.12. Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Gọi a, b, c, d theo thứ tự là phân giác ngoài
của các góc ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA. K = a∩ b, L = b∩ c, M = b∩ d, N =
d ∩ a. Chứng minh rằng tứ giác KLMN nội tiếp một đường tròn và đường tròn đó
có bán kính bằng
KM ·LN
AB+BC+CD+DA
.
(Đại học Sư phạm)
Bài 5.13. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Các đường
cao AA0, BB0,CC0 đồng quy tại H. Các điểm A1, A2 thuộc (O) sao cho đường tròn
ngoại tiếp các tam giác A1B0C0, A2B0C0 tiếp xúc với (O). Tương tự ta có các điểm
B1, B2 và các điểm C1, C2. Chứng minh rằng các đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2
đồng quy tại một điểm thuộc OH.
(Đại học Sư phạm)
Lời giải.
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 69
Gọi (Oa) và (O′a) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác 4A1B0C0 và
4A2B0C0. Gọi ta và t ′a lần lượt là các tiếp tuyến chung tại A1 và A2 của (Oa) và
(O′a) với (O). Kí hiệu ([BC]) ám chỉ đường tròn đường kính BC.
Ta có ta, BC và B0C0 lần lượt là trục đẳng phương của các cặp đường tròn ((Oa), (O)),
((O), ([BC])) và (([BC]), (Oa)). Do đó ta, BC và B0C0 đồng quy tại A3. Lập luận
tương tự, ta cũng có ta, BC và B0C0 đồng quy tại A′3, vì vậy A3 ≡ A′3. Hay nói cách
khác, A3 ≡ B0C0∩BC. Xác định tương tự cho B3,C3.
Bây giờ, gọiMa là trung điểm của BC. Do (A3A0BC) =−1 nên theo hệ thức Maclau-
ren, ta thu được A3B ·A3C = A3A0 ·A3Ma. Từ đó suy ra A3 có cùng phương tích wrt
(O) và đường tròn 9-điểm Euler, kí hiệu là (E ) wrt 4ABC. Lập luận tương tự cho
B3, C3. Ta kết luận A3, B3, C3 thẳng hàng (∗). Suy ra đường thẳng d đi qua A3, B3,
C3 là trục đẳng phương của (O) và (E ). Vậy nên OE ≡ OH ⊥ d (∗∗).
Để ý rằng A3, B3,C3 lần lượt là cực của A1A2, B1B2,C1C2 wrt (O). Kết hợp với (∗),
ta suy ra A1A2, B1B2,C1C2 đồng quy tại điểm S đồng thời cũng là cũng là cực của d
wrt (O), do đó OS⊥ d. Kết hợp với (∗∗), ta suy ra S ∈ OH.
Tóm lại, các đường thẳng A1A2, B1B2,C1C2 đồng quy tại một điểm thuộc OH.
Bài 5.14. Cho tam giác nhọn ABC có trung tuyến CM vuông góc với phân giác
trong AL tại đỉnh A (vớiM, L lần lượt thuộc các cạng AB, BC). Đặt AC= b, AB= c.
(a) Chứng minh rằng
−→
AL=
b
b+ c
−→
AB+
c
c+b
−→
AC.
(b) Giả sửCM = k ·AL, k > 0. Chứng minh rằng
cosA=
9−4k2
9+4k2
.
(Kon Tum)
Bài 5.15. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh CB và CD lần lượt lấy các điểm
E, F sao cho
BE
BC
= k và
DF
DC
=
1− k
1+ k
, với 0 < k< 1. Đoạn thẳng BD cắt AE và AF
tại H và G tương ứng. Đường vuông góc với EF kẻ từ A cắt BD tại P. Chứng minh
rằng
PG
PH
=
DG
BH
.
(Phú Yên)
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
70 Trần Nam Dũng (chủ biên)
Bài 5.16. Trong mặt phẳng (P)cho điểm O cố định và dlà đường thẳng quay quanh
O. Lấy S ngoài (P)có hình chiếu vuông góc trên (P) là H, với H 6≡ O. Qua S dựng
đường vuông góc với mặt phẳng xác định bởi S và d. Đường thẳng này cắt (P) tại
N. Tìm quỹ tích điểm N khi d thay đổi.
(Phú Yên)
Bài 5.17. Cho đường tròn tâm O và một dây cung AB cố định không là đường kính.
Một điểm P thay đổi trên cung lớn AB. Gọi I là trung điểm của AB. Lấy các điểm
M, N trên các tia PA, PB tương ứng sao cho ∠PMI = ∠PNI = ∠APB.
(a) Chứng minh đường cao kẻ từ đỉnh P của tam giác PMN đi qua một điểm cố
định.
(b) Chứng minh rằng đường thẳng Euler của tam giác PMN đi qua một điểm cố
định.
(Phổ thông Năng khiếu)
Lời giải.
I
(a) Gọi K và Q lần lược là giao điểm của IN với PA và IM với PB. Từ đó, theo giải
thiết đầu bài, ta thu được MKQN là tứ giác nội tiếp. Gọi F là tâm đường tròn ngoại
tiếp4OAB. Ta có
∠AFI = ∠AOB= 2∠APB= 180◦−∠PKN = ∠MKN ≡ ∠AKI.
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 71
Dẫn đến A, K, F, I đồng viên. Suy ra ∠FKA = ∠FIA = 90◦. Lập luận tương tự ta
cũng thu được, ∠FQE = 90◦. Dẫn đến P, K, Q nội tiếp đường tròn đường kính PF .
Từ đây ta thấy, PF cũng chính là đường cao hạ từ P đến MN. Mà F cố định. Ta suy
ra điều cần chứng minh.
(b) Gọi O′ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PMN và H là trực tâm của tam
giác PMN. Ta có O′ nằm trên trung trực của PM. Mặt khác, ta sẵn có Q nằm trên
trung trực của PM. Do đó, QO′ ⊥ PA. Tương tự ta cũng có O′K ⊥ PQ. Bây giờ gọi
K′, Q′ lần lượt là hình chiếu của K, Q lên PQ, PK và M′, N′ lần lượt là hình chiếu
của M, N lên PN, PM. Khi ấy ta có các hệ thức sau
O′K′ ·O′K = O′Q′ ·O′Q, IQ · IM = IA · IN, HN ·HN′ = HM ·HM′.
Điều này ám chỉ O′, I, H có cùng phương tích với đường tròn đường kính KN và
đường tròn đường kính QM. Suy ra, O′, I, H thằng hàng. Kết luận, O′H, tức đường
thẳng Euler của tam giác PMN luôn đi qua I cố định. Ta có điều phải chứng minh.
Bài 5.18. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I, I1, I2, I3 là tâm đường
tròn nội tiếp và bàng tiếp các góc A, B, C tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp tam
giác II2I3 cắt (O) tại hai điểm M1, N1. Gọi J1 là giao điểm của AI và (O). Kí hiệu
d1 là đường thẳng đi qua J1 và vuông góc với M1N1. Tương tự xác định các đường
thẳng d2, d3. Chứng minh các đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy tại một điểm.
(Phổ thông Năng khiếu)
Lời giải.
I1
I2
I
I3
v
n
m
a
t
h
.
c
o
m
72 Trần Nam Dũng (chủ biên)
Dễ thấy I là trực tâm của tam giác4I1I2I3. Do vậy, nếu gọi O1 và O′ lần lượt là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác4II2I3 và4I1I2I3. Theo một kết quả quen thuộc, ta
có O1 và O′ là ảnh của nhau qua phép đối xứng với đường thẳng I2I3 và I1IO1O′ là
hình bình hành. Suy ra, I1O1 đi qua trung điểm của O′I, đồng thời cũng chính là tâm
đường tròn 9-điểm Euler của 4I1I2I3, do vậy ba điểm I1, O, O1 thẳng hàng. Hơn
nưã, để ý rằngM1N1 chính là trục đẳng phương của (ABC) và (O1) nên I1O⊥M1N1.
Lập luận tương tự cho các đỉnh I2, I3. Khi ấy, ta thu được, các đường thằng d′1, d
′
2,
d′3 qua I1, I2, I3 lần lượt vuông góc với M1N1,M2N2,M3N3 đồng quy tại O.
Xét phép vị tự tâm I, tỉ số k = 12 , biến I1, I2, I3 lần lượt thành J1, J2, J3. Cho nên
H (I, k) biến d′1, d
′
2, d
′
3 lần lượt thành các đường thằng d1,