Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức Côsi

3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi
Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.
Bài 1: Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 
Giải
Sai lầm thường gặp của học sinh: ≥ 2=2
Dấu “ = ” xảy ra Û Û a = 1 Þ vô lí vì giả thiết là a ≥ 2.
Cách làm đúng:
Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau:
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):
	(sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) học sinh tự làm)
 Þ Þ a = 4. 
Vậy ta có: . 	Dấu “ = ” xảy ra Û a = 2.
Bình luận:
Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tăc biên để tìm ra a = 4.
Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “ = ” trong việc áp dụng BĐT Côsi cho 2 số và đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có cùng điểm rơi là a = 2.
Bài 2: Cho a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải
Sơ đồ chọn điểm rơi:	 a = 2 Þ Þ Þ a = 8.
Sai lầm thường gặp:
 Þ MinS = 
Nguyên nhân sai lầm:
Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 và MinS = là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a ≥ 2 thì là đánh giá sai.
Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kỹ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.
Lời giải đúng: 
Với a = 2 thì Min S = 
Bài 3: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải
Sai lầm thường gặp:
 Þ Min S = 6
Nguyên nhân sai lầm :
Min S = 6 Û trái với giải thiết.
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do S là mọt biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại điểm rơi 
Sơ đồ điểm rơi: Þ Þ 
Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau:
 Þ Þ 
Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 như sau:
. Với thì MinS = 
Bài 4: Cho. Tìm GTNN của 
Giải
Sai lầm thường gặp:
 Þ MinS = .
Nguyên nhân sai lầm: 
MinS = Û trái với giả thiết.
Phân tích và tìm tòi lời giải
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại 
Lời giải
.	Dấu “ = ” xảy ra khi Þ Min S = 
Bình luận:
Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách đúng đắn vềmặt toán học nhưng cách làm trên tương đối cồng kềnh. Nếu chúng ta áp dụng việc chọn điểm rơi cho BĐT Bunhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơn đẹp hơn.
Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC, chiều của dấu của BĐT không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh giá nằm ở mẫu số hay ở tử số
Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải
Sai lầm 1 thường gặp:
 Þ S ≥ 2 + 2 + 2 + 2 = 8
Sai lầm 2 thường gặp:
Sử dụng BĐT Côsi cho 8 số:
Nguyên nhân sai lầm:
Min S = 8 Û Þ a + b + c + d = 3(a + b + c + d) Þ 1 = 3 Þ Vô lý.
Phân tích và tìm tòi lời giải
Để tìm Min S ta cần chú ý S lá một biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó Min S nếu có thường đạt tại “điểm rơi tự do” là : a = b = c = d > 0.(nói là điểm rơi tự do vì a, b, c, d không mang một giá trị cụ thể). Vậy ta cho trước a = b = c = d dự đoán . Từ đó suy ra các đánh giá của các BĐT bộ phận phải có điều kiện dấu bằng xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán: a = b = c = d > 0.
Ta có sơ đồ điểm rơi: Cho a = b = c = d > 0 ta có:
Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có:
≥
Với a = b = c = d > 0 thì Min S = 40/3.
Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC)
Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu “ + ” bằng dấu “ . ” thì ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng là thay dấu “ . ” bằng dấu “ + ”. Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số.
Bài 1 : CMR (1)
Giải
(1) Û Theo BĐT Côsi ta có:
(đpcm)
Bình luận:
Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số Þ ta có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số.
Dấu “ ≤ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng BĐT Côsi thì ta phải đánh giá từ TBN sang TBC
Bài 2: CMR 	(1)
Giải
Ta có (1) tương đương với : 
Theo BĐT Côsi ta có:
(đpcm)
Bài 3: CMR 	(1)
Giải
Ta có biến đổi sau, (1) tương đương:
Theo BĐT Côsi ta có:
Dấu “ = ” xảy ra Û a = b = c > 0.
Ta có bài toán tổng quát 1: 
CMR:
Bài 4 : Chứng minh rằng: 
Giải
Ta có: 
Bài 5: Cho Chứng minh rằng 
Giải
Sơ đồ điểm rơi:
Ta nhận thấy biểu thức có tính đối xứng do đó dấu “ = ” của BĐT sẽ xảy ra khi . Nhưng thực tế ta chỉ cần quan tâm là sau khi sử dụng BĐT Côsi ta cần suy ra được điều kiện xảy ra dấu “ = ” là: a = b = c. Do đó ta có lời giải sau:
Trong kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC ta thấy thường nhân thêm các hằng số để sao cho sau biến tích thành tổng các tổng đó triệt tiêu các biến. Đặc biệt là đối với những bài toán có thêm điều kiện ràng buộc của ẩn số thì việc nhân thêm hằng số các em học sinh dễ mắc sai lầm. Sau đây ta lại nghiên cứu thêm 2 phương pháp nữa đó là phương pháp nhân thêm hằng số, và chọn điểm rơi trong việc đánh giá từ TBN sang TBC. Do đã trình bày phương pháp điểm rơi ở trên nên trong mục này ta trình bày gộp cả 2 phần Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá từ TBN sang TBC
Bài 1: Chứng minh rằng: 
Giải
Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab sau đó áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới: phương pháp nhân thêm hằng số
Ta có : 	
Þ 	
Dấu “ = ” xảy ra Û 
Bình luận:
Ta thấy việc nhân thêm hằng số 1 vào biểu thức không hoàn toàn tự nhiên, tại sao lại nhân thêm 1 mà không phải là 2. Thực chất của vấn đề là chúng ta đã chọn điểm rơi của BĐT theo quy tắc biên là a = b = 1/2.
Nếu không nhận thức được rõ vấn đề trên học sinh sẽ mắc sai lầm như trong VD sau.
Bài 2: Cho Tìm giá trị lớn nhất: 
Giải
Sai lầm thường gặp:
 Þ 
Nguyên nhân sai lầm
Dấu “ = ” xảy ra Û a + b = b + c = c + a = 1 Þ a + b + c = 2 trái với giả thiết.
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi của BĐT sẽ là từ đó ta dự đoán Max S = . Þ a + b = b + c = c + a = Þ hằng số cần nhân thêm là . Vậy lời giải đúng là:
	 Þ 
Bài toán trên nếu cho đầu bài theo yêu cầu sau thì học sinh sẽ có định hướng tốt hơn: Cho Chứng minh rằng: . Tuy nhiên nếu nắm được kỹ thuật điểm rơi thì việc viết đầu bài theo hướng nào cũng có thể giải quyết được.
Bài 3:	Cho 	Tìm Max A = (3 – x )(12 – 3y)(2x + 3y)
Giải
A =
Dấu “ = ” xảy ra Û 6 -2x = 12 - 3y = 2x + 3y = 6 Û 
Bình luận: 
Việc chọn điểm rơi trong bài toán này đối với học sinh thường bị lúng túng. Tuy nhiên cắn cứ vào yêu cầu khi đánh giá từ TBN sang TBC cần phải triệt tiêu hết biến cho nên căn cứ vào các hệ số của tích ta nhân thêm 2 vào thừa số thứ nhất là một điều hợp lý.
Bài 4: Cho x, y > 0. Tìm Min f(x, y) = 
Giải
Ta có: 
	Þ f(x,y) = 
Dấu “ = ” xảy ra Û 4x = 2y = 2y Û y = 2x > 0. Đó là tập hợp tất cả các điểm thuộc đường thẳng y = 2x với x dương.
Thực ra việc để hệ số như trên có thể tùy ý được miễn là sao cho khi sau khi áp dụng BĐT Côsi ta biến tích thành tổng của x + y. ( Có thể nhân thêm hệ số như sau: 2x.y.y).
Bình luận:
Trong bài toán trên yêu cầu là tìm Min nên ta có thể sử dụng kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC cho phần ở dưới mấu số vì đánh giá từ TNB sang TBC là đánh giá với dấu “ ≤ ” nên nghịch đảo của nó sẽ là “ ≥ ”.
Ta cũng có thể đánh giá tử số từ TBC sang TBN để có chiều “ ≥ ”
Bài toán tổng quát 1:
Cho 
Bài 5: Chứng minh rằng: 
Giải
Với n = 1, 2 ta nhận thấy (1) đúng.
Với n ≥ 3 ta có:
Bài toán tổng quát 2:
Chứng minh rằng: 	(1)
Giải
 Ta biến đổi (1) về bất đẳng thức tương đương sau:
Ta có: 
Bình luận
Cần phải bình luận về dấu “ = ”: trong bài toán trên ta coi 1/m = a thế thì khi đó dấu bằng trong BĐT Côsi xảy ra khi và chỉ khi 1+ a = 1 Û a = 0. Nhưng thực tế thì điều trên tương đương với m tiến tới +∞, khi m là hữu hạn thì dấu “<” là hoàn toàn đúng. Chúng ta cũng nhận thấy nếu m tiến ra + ∞ thì hai vế của BĐT càng dần tới cùng một giá trị là e (cơ số tự nhiên của hàm logarit). Ta hiểu là trong quá trình này thì VP tiến nhanh hơn VT nhưng sau này khi tung ra ∞ thì tốc độ dần bằng nhau và khoảng cách ngày thu hẹp.(Mục này xin chỉ bình luận cùng với các bạn đồng nghiệp) 
Tóm lại : Để sử dụng BĐT Côsi từ TBN sang TBC ta cần chú ý: Chỉ số căn thức là bao nhiêu thì số các số hạng trong căn là bấy nhiều. nếu sốcác số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì phải nhân thêm hằng số để số các số hạng bằng chỉ số căn
Bài 6: Cho Tìm Max 
Giải
Sai lầm thường gặp: 
	Þ Þ Max S = 
Nguyên nhân sai lầm:
	Max S = Û 
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do S làmột biểu thức đối xứng với a, b, c nên Max S thường xảy ra tại điều kiện:
Û Û Þ Vậy hằng số cần nhân thêm là .
Ta có lời giải:	
Þ 	 
Vậy Max S = . Dấu “ = ” xảy ra Û Û 
Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong kỹ thuật ghép đối xứng chúng ta cần nắm được một số kiểu thao tác sau:
Phép cộng:
Phép nhân:
Bài 1: Chứng minh rằng: 
Giải
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Þ . Dấu “ = ” xảy ra Û a = b = c.
Bài 2: 	Chứng minh rằng: 
Giải
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
 Þ 
Bài 3: Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác. CMR:
a) ; 	 b) 
Giải
a) Áp dụng BĐT Côsi ta có:
b) Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Þ 	
Dấu “ = ” xảy ra cho cả a) và b) khi vào chỉ khi ∆ ABC đều: a = b = c
( p là nửa chu vi của tam giác ∆ABC: )
Bài 4: Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Giải
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Þ	 
	Dấu “ = ” xảy ra Û ∆ ABC đều: a = b = c.