Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 10

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10
MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút)
 Họ và tên: Phạm Ngọc Mừng
 Đơn vị: Trương THPT A BÌNH LỤC
 5. Nội dung đề thi:
Câu 1 (5,0 điểm)
1) Cho hàm số và hàm số . 
Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau. 
 2) Giả sử phương trình: có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Câu 2 (5,0 điểm)
 1) Giải phương trình:
 2) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (5,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: . Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
2) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. 
Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức:; Tìm điểm M sao cho biểu thức () đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (5,0 điểm)
1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
2) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . 
Chứng minh rằng:
.
Hết
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
1
Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm phân biệt
 hay (*)có m>1
0,5
Gọi là 2 nghiệm của (*), I là trung điểm AB ta có ; 
0,5
Yêu cầu bài toán 
0,5
Kết hợp ĐK, kết luận 
0,5
2
Phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn 
0,5
Theo định lí Viet ta có suy ra
0,5
Bảng biến thiên
 1,0
0,5
0,5
2
1
0,5
Đặt Ta được: 
0,5
0,25
Vì: 
0,5
0,5
KL: 
0,25
2
0,5
0,5
Giải (II) 
0,5
Giải (III) 
0,5
KL: Hệ PT có 4 nghiệm:.
 0,5
3
1
Vì 
Giả sử 
0,5
Mà nên 
0,5
Vì B, K, E thẳng hàng(B) nên có m sao cho 
Do đó có: 
Hay 
0,5
0,5
Do không cùng phương nên
 Từ đó suy ra 
Vậy 
0,5
2
Kẻ đường cao AH, ta có nên 
. Do đó:
0,5
Suy ra 
0,5
Kết hợp giả thiết suy ra hay 
Do đó điểm I thỏa mãn gt là I thỏa mãn A là trung điểm IH
0,5
Với x, y, z tùy ý thỏa mãn:(*) bình phương vô hướng 2 vế (*), chú ý rằng ta có:
Từ đó có 
0,5
Mặt khác 
Tương tự cho yMB2; zMC2 rồi cộng các đẳng thức đó lại ta có
Thay số có: 
Dấu bằng xảy ra khi M trùng I
1,0
4
1
TXĐ: . 
là hàm số lẻ và . 
Do đó : 
0,5
Bây giờ xét , Ta có:
1,0
Dấu bằng xảy ra khi: 
0,5
Vậy: 
 0,5
0,5
2
Giả thiết suy ra: . Ta Có: 
 0,5
Viết hai BĐT tương tự rồi cộng lại ta được:
0,5
Ta sẽ CM:
0,25
Điều này luông đúng
Dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z
0,5
Vậy (I) được CM, dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z=
0,25
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.