Kỳ thi chọn học sinh giỏi giải Toán trên máy tính cầm tay khối 12 - Năm học 2010-2011 - Thừa Thiên Huế

 MTCT12THPT-Trang 1 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY 
 §Ò thi chÝnh thøc Khèi 12 THPT - N¨m häc 2010-2011 
Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi: 11/11/2010 - Đề thi gồm 5 trang 
Điểm toàn bài thi 
Các giám khảo 
(Họ, tên và chữ ký) 
Số phách 
(Do Chủ tịch Hội 
đồng thi ghi) 
GK1 
 Bằng số Bằng chữ 
GK2 
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào 
ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được 
ngầm định chính xác tới 5 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy 
Bài 1. (5 điểm) Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình: 
 3 2cos 4 cos3 23cos 79cos 23cos 20 0x x x x x+ + - + + = 
Tóm tắt cách giải: Kết quả: 
Bài 2. (5 điểm) 
a) Chứng tỏ rằng elip 
2 2
( ) : 1
25 9
x y
E + = là hợp của hai đồ thị của hai hàm số ( )1y f x= 
và ( )2y f x= . Xác định hai hàm số đó. 
b) Tính gần đúng tọa độ giao điểm của của đường tròn (C) tâm (5; 3)I , bán kính 
2R = với elip 
2 2
( ) : 1
25 9
x y
E + = . 
Tóm tắt cách giải: Kết quả: 
 MTCT12THPT-Trang 2 
Bài 3. (5 điểm) Cho hai parabol: ( ) 21 : 2 5P y x x= - + và ( ) 22 : 4 3P y x x= - + - 
Tìm khoảng cách ngắn nhất từ đỉnh A của ( )1P đến một điểm bất kỳ của ( )2P . 
Tóm tắt cách giải: Kết quả: 
Bài 4. (5 điểm) Cho dãy số { }nu với: 
1 2 3 4
3 3 5 3 5 7
1; 1 ; 1 ; 1 ;
2! 2! 3! 2! 3! 4!
u u u u= = + = + - = + - - 
3 5 7 9 11
1 ...
2! 3! 4! 5! 6!n
u = + - - + + - . (n số hạng). 
Tìm 0n để với mọi 0n n³ thì nu có phần nguyên và chín chữ số thập phân ngay sau dấu 
phẩy là không đổi. Tính giá trị 2010u . Viết quy trình giải. 
Tóm tắt cách giải: Kết quả: 
 MTCT12THPT-Trang 3 
Bài 5. (5 điểm) Cho dãy số { }nu với: 
33 443 5
1 2 3 4 51; 2; 2 3; 2 3 4 ; 2 3 4 5 ;...u u u u u= = = + = + + = + + + 
Tính giá trị của 7 8 9 15 20 2010; ; ; ; ;u u u u u u . Kết quả lấy đủ 10 chữ số. Nêu quy trình bấm 
phím liên tục để tính ( 7)nu n > . 
Tóm tắt cách giải: Kết quả: 
Bài 6. (5 điểm) 
Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua một số mốc thời 
gian (Đơn vị: 1.000 người): 
Năm 1976 1980 1990 2000 2010 
Số dân 49160 53722 66016,7 77635 88434,6 
a) Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 1976-1980, 1980-
1990, 1990-2000, 2000-2010. Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau 
dấu phẩy. Giả sử tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm không đổi trong mỗi giai 
đoạn. 
b) Nếu cứ duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2015 và 
2020 dân số của Việt Nam là bao nhiêu ? 
c) Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2010, mỗi năm 
phấn đấu giảm bớt x% (x không đổi) so với tỉ lệ % tăng dân số năm trước (nghĩa là 
nếu năm nay tỉ lệ tăng dân số là a% thì năm sau là (a − x)%). Tính x để số dân năm 
2015 là 92,744 triệu người. Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu 
phẩy. Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải. 
 MTCT12THPT-Trang 4 
Tóm tắt cách giải: Kết quả: 
Bài 7. (5 điểm) Cho biểu thức 
2 3 20
1 1 1 1
( ) 2 2 2 2P x x x x x
x x x x
æ ö æ ö æ ö æ ö= + + + + + + ××× + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
Tìm hệ số chính xác của số hạng không chứa x trong khai triển và rút gọn biểu thức 
P(x). 
Tóm tắt cách giải: Kết quả: 
Bài 8. (5 điểm) 
 Một máy bay đang bay với vận tốc 256 /v km h= theo phương nằm ngang. Tính 
xem máy bay đang ở độ cao nào, biết rằng khi đang ở vị trí 1O thì phi công nhìn thấy một 
vật cố định A dưới mặt đất theo góc 01 25 38'28"a = so với phương thẳng đứng và sau đó 
15 giây, máy bay đến vị trí 2O phi công lại nhìn thấy vật cố định A theo góc 
0
2 14 55 '53"a = so với phương thẳng đứng ? 
Tóm tắt cách giải: Kết quả: 
 MTCT12THPT-Trang 5 
Bài 9. (5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang vuông tại A và D; 
4 ; 2,56AD AB a CD a dm= = = = ; mặt bên SAD vuông góc với mặt đáy và là tam giác cân 
tại S; góc giữa mặt bên SBC với mặt đáy là 072a = . 
a) Tính gần đúng thể tích hình chóp S.ABCD. 
b) Tính gần đúng góc giữa 2 mặt phẳng chứa hai mặt bên SAD và SBC. 
Tóm tắt cách giải: Kết quả: 
Bài 10. (5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn 
tâm I biết: ( 4; 1), ( 1; 3), (1; 4)A B D- - - và cạnh CD đi qua điểm (3; 0)E . 
a) Tính gần đúng tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. 
b) Tính diện tích tứ giác ABCD. 
Tóm tắt cách giải: Kết quả: 
--------------HẾT------------- 
 MTCT12THPT-Trang 6 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY 
 Khèi 12 THPT - N¨m häc 2010-2011 
 Đáp án và biểu điểm 
Bài 
Cách giải 
Điểm 
TP 
Điểm 
toàn 
bài 
1 
3 2cos 4 cos3 23cos 79cos 23cos 20 0x x x x x+ + - + + = (1) 
 Ta có: ( )22 2 4 24 2coscos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1x x x x x= - = - - = - + 
3cos3 4cos 3cosx x x= - 
Nên: 4 3 2s(1) 8co 27 cos 87cos 20cos 21 0x x x xÛ + - + + = 
Đặt ( )sco 1 1xt t= - £ £ , phương trình (1) tương đương: 
4 3 28 27 87 20 21 0 ( 1 1)t t t t t+ - + + = - £ £ 
Dùng chức năng SOLVE giải phương trình ta được hai nghiệm: 
1 2
30,375 ; 0,7691496338t t= - = - » 
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: 
0 0 0 0
1 2112 01'28" 360 ; 39 43'21 360x k x k» ± + » ± + 
5 
2 
a) Phương trình đường elip (E): 
2 2
231 25
25 9 5
x y
y x+ = Û = ± - 
Do đó elip (E) là hợp của hai đồ thị của hai hàm số: 
2 2 2 2
1 2
3 3
( ) 25 ; ( ) 25
5 5
y f x x y f x x= = - = = - - 
b) Phương trình đường tròn (C): ( ) ( )2 25 3 4x y- + - = . 
Vẽ trong mặt phẳng tọa độ, ta thấy ( ; ) ( ) : 0; 0M x y C x y" Î > > . 
Hệ phương trình cho tọa độ giao điểm của đường tròn và elip: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
5 3 4 5 3 4
( 0; 0)3 3
25 25
5 5
x y x y
x y
y x y x
ì ì- + - = - + - =ï ï> > Ûí í
= ± - = -ï ïî î
 . 
( )
2
2 2
2
3
5 25 3 4 (1)
5
3
25 (2)
5
x x
y x
ì æ ö- + - - =ï ç ÷ï è øí
ï = -ïî
Dùng chức năng SOLVE để giải (1): 
 ( ALPHA X − 5 ) x2 + ( 0.6 ( 25 − ALPHA X x2 ) 
5 
 MTCT12THPT-Trang 7 
− 3 ) x2 − 4 ALPHA = 0 SHIFT SOLVE Nhập giá trị đầu là 3 
ấn phím = cho kết quả 1 3,10868x » 
SHIFT SOLVE Nhập giá trị đầu là 4.5 ấn phím = cho kết quả 
2 4,7006x » . 
Dùng chức năng CALC để tính các giá trị tung độ giao điểm: 
1 2,34968y » và 2 1,02253y » . 
Vậy: Đường tròn và elip cắt nhau tại hai điểm : 
 ( )3,10868; 2,34968 , (4,7006; 1,02253)A B 
3 
Parabol: ( ) 21 : 2 5P y x x= - + có đỉnh là điểm A(1; 
4). 
Gọi M(x; y) thuộc parabol ( ) 22 : 4 3P y x x= - + - 
Khoảng cách từ đỉnh A của ( )1P đến điểm M là: 
( )22 2( 1) 4 ; 4 3d x y y x x= - + - = - + - 
( )22 2 2( 1) 4 7 ; 4 3d x x x y x x= - + - + - = - + - 
Gọi ( )22 2 2( ) ( 1) 4 7f x d x x x= = - + - + - 
Ta có: ( )2'( ) 2( 1) 2( 2 4) 4 7f x x x x x= - + - + - + - 
3 2'( ) 4 24 62 58f x x x x= - + - 
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để giải 
phương trình: 3 2'( ) 0 4 24 62 58 0f x x x x= Û - + - = , ta được một nghiệm 
thực 0 1,857961603x » . 
Hàm số f(x) có một cực tiểu duy nhất và cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm 
số tại 0 1,857961603x » 
Thay vào ( )d f x= ta có: min 3,13967d = . 
5 
4 
Quy trình bấm máy: 0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B 
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B 
ALPHA = ALPHA B + ( 2 ALPHA A − 1 ) ab/c ALPHA A 
SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 
ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ( 2 ALPHA A − 
1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = 
ALPHA A + 1 
ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B − ( 2 ALPHA A − 
1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = 
ALPHA A + 1 
ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B − ( 2 ALPHA A − 
5 
 MTCT12THPT-Trang 8 
1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = 
ALPHA A + 1 Bấm = liên tiếp ta được 0 13n = . 
Với mọi 0 13n n³ = thì 1, 462377902nu » không đổi. 
Vậy: 2010 1,462377902u » . 
5 
Ta có thể tính trực tiếp 3 4 7; ; ...;u u u : 
Để tính 7u ta bấm máy: 
 ( 2 + 3 SHIFT x ( 3 + 4 SHIFT x ( 4 + 5 SHIFT 
x ( 5 + 6 SHIFT x ( 6 + 7 SHIFT x ( 7 ) ) ) ) ) 
= Cho kết quả: 7 1,91163911u » 
Tính 8u : Bấm máy theo quy trình: 
8 SHIFT x ( 8 9 SHIFT STO A 
ALPHA D ALPHA = ALPHA D − 1 ALPHA : ALPHA A 
ALPHA = ALPHA ( D − 1 ) x ( D − 1 + ALPHA = 
ALPHA A ) Bấm = liên tục cho đến khi D = 3 bấm tiếp = Cho kết 
quả là: 8 1,911639214u » 
Tính 9u : Bấm máy theo quy trình: 
9 SHIFT x ( 9 10 SHIFT STO A 
ALPHA D ALPHA = ALPHA D − 1 ALPHA : ALPHA A 
ALPHA = ALPHA ( D − 1 ) x ( D − 1 + ALPHA = 
ALPHA A ) Bấm = liên tục cho đến khi D = 3 bấm tiếp = Cho kết 
quả là: 9 1,911639216u » 
Tương tự ta có: 15 20 1,911639216u u= » . Suy ra: 2010 1,911639216u » 
5 
6 
a) 
Giai đoạn 1976-1980 1980-1990 1990-2000 2000-2010 
Tỉ lệ % tăng 
dân số/năm 
2,2434% 2,0822% 1,6344% 1,3109% 
b)Nếu duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì: 
Đến năm 2015 dân số nước ta sẽ là: ( )588434,6 1 1,3109 /100 94,385+ » 
triệu người. 
Đến năm 2020 dân số nước ta sẽ là: ( )1088434,6 1 1,3109 /100 100,736+ » 
triệu người. 
Nếu thực hiện phương án giảm dân số đó thì đến năm 2015 dân số nước ta 
là: 
( )( )( )( )( )88434,6 1,013109 1,013109 2 1,013109 3 1,013109 4 1,013109 5x x x x x- - - - -
Ta có phương trình: 
5 
 MTCT12THPT-Trang 9 
( )( ) ( )88434,6 1,013109 1,013109 2 ... 1,013109 5 92744x x x- - - = 
Dùng chức năng SOLVE: 
1.013109 SHIFT STO A 
88434.6 ( ALPHA A − ALPHA X ) ( ALPHA A − 2 ALPHA 
X ) ( ALPHA A − 3 ALPHA X ) ( ALPHA A − 4 ALPHA X 
) ( ALPHA A − 5 ALPHA X ) − 92744 = 0 
SHIFT SOLVE Hiển thị giá trị của A, ấn phím = Nhập giá trị đầu 
của A là 0.01 = Cho kết quả: x% 0,1182%» . 
7 
Ta có: ( ) 2
0 0
1
2 2 2
n n n
k k k n k k k k n
n n
k k
x C x x C x
x
- - -
= =
æ ö+ = =ç ÷
è ø
å å 
Hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 
1
2
n
x
x
æ ö+ç ÷
è ø
 là 22k k k nnC x
- khi: 2 0 2
2
n
k n n k k- = Û = Û = (n chẵn) 
 Do đó: Hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển và rút gọn của 
P(x) là: 
1 2 2 3 3 20 10
2 4 6 202 2 2 ... 2C C C C+ + + + . Quy trình bấm máy như sau: 
0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO D 
ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 2 ALPHA : ALPHA A 
ALPHA = ALPHA A + ALPHA D SHIFT nCr ( ALPHA D 
÷ 2 ) Bấm = liên tiếp cho đến khi D = 20 bấm tiếp = cho kết 
quả: 1 2 2 3 3 20 102 4 6 202 2 2 ... 2 217886108C C C C+ + + + = . 
5 
8 
Ta có: 1 2
256 15 16
( )
3600 15
O O km
´
= = 
· · 0
1 2 1 2 1 2 2; 90O AO O O Aa a a= - = + 
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2
10
1 2 1 2
cos
sin sinsin 90
O O O A O O
O A
a
a a a aa
= Þ =
- -+
Suy ra: 
( )
1 2 1 2
1 1
1 2
cos cos
cos 4,99993 5000
sin
O O
h O A km m
a a
a
a a
= = » »
-
5 
 MTCT12THPT-Trang 10 
9 
a) Gọi H là trung điểm của AD. Ta có: Hai tam giác vuông HDC và BAH 
đồng dạng, nên · 090BHC = . 
Vẽ HK vuông góc với BC thì HK là đường cao của tam giác vuông BHC. 
Suy ra: 
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2
5 20
HK a
HK HC HB a a
= + = + Û = . 
SH là đường cao của hình chóp S.ABCD, suy ra SK BC^ , do đó: 
· 072SKH a= = . Suy ra: 
tan 2 tanSH HK aa a= = . 
Vậy thể tích của hình chóp 
S.ABCD là: 
( )1 1 1 2 4 4 2 tan 8 tan 413,07969
3 3 2ABCD
V S SH a a a a a dm= ´ = ´ + ´ = »
Hai tia BC và AD cắt nhau tại E. 
Khi đó SE là giao tuyến của hai 
mặt phẳng (SBC) và (SAD). 
Từ D kẻ DI vuông góc với SE tại I. Ta có: ( )DC DA gt^ và 
( ( ))DC SH SH mp ABCD^ ^ , nên ( )DC mp SAD DC SE^ Þ ^ . Do 
đó ( )SE mp CDI CI SE^ Þ ^ . Vậy: ·CIDb = là góc giữa hai mặt 
phẳng (SAD) và (SBC). 
Đặt ·SDHg = . Ta có: 
2 2 2
2 tan
sin sin
4 4 tan
SH a
HD a a
ag a
a
= = =
+
1 1 4
4 3 3
ED DC ED a
ED
EA AB AD
= = Þ = Þ = 
s s
2
co co
HD a
SD
a a
= = ; 
2
2 2 24 254 tan 2 2 tan
3 9
a
SE a a aa aæ ö= + + = +ç ÷
è ø
2
s
1 1 4 2 8
. sin 2 sin 2 sin
2 2 3 co 3SDE
a a
S DE SD a
a
g a aD = = ´ ´ = 
2
2 2
21 16 sin 8 sin
.
2 2 9 tan 25 9 tan 25
3
3
SDE
SDE
S a a
S SE DI DI
SE a
a a
a a
D
D = Þ = = =
+ +´
Trong tam giác vuông CDI, ta có: 
5 
 MTCT12THPT-Trang 11 
2
2
2 9 tan 25
tan
8 sin 4sin
9 tan 25
DC a
aDI
ab
a a
a
+
= = =
+
. 
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là: 
2
1 09 tan 25tan 70 05'03"
4sin
ab
a
-
æ ö+
= »ç ÷ç ÷
è ø
10 
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. 
Ta có: Hệ số góc của AI là: 
1 1 11 4 3 3tan tan tan tan
2 3 5 5
a - - -
æ öæ öæ ö æ ö æ ö= - + -ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø è øè øè ø
1 11 4 3tan tan tan 0,1958872249
2 3 5
- -æ öæ öæ ö æ ö= - - » -ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷
è ø è øè øè ø
Lưu kết quả vào biến A. 
Hệ số góc của DI là: 
1 1 11 5 2 3' tan tan tan tan
2 3 4 5
a - - -
æ öæ öæ ö æ ö æ ö= - + +ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø è øè øè ø
' 3.43405783a » . Kết quả lưu vào biến B. 
Phương trình phân giác góc BAD là: 
: 4 1AI ax ay + += 
Phương trình phân giác góc ADC là: 
: ' 4 'DI a x ay + -= 
Hoành độ giao điểm I của hai phân giác là nghiệm của phương trình: 
3 4 '
4 1 ' 4 ' 0,09627998892
'
a a
ax a a x a x
a a
- -
+ + = + - Û = » -
-
. Bấm máy 
và lưu kết quả vào biến nhớ C. 
Suy ra tung độ của I là: 0,2353111201y » lưu kết quả vào biến D. 
Phương trình đường thẳng AB: 4 3 13 0x y+ + = . 
Bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD là: 
4 3 13
( , ) 2,664162681
5
I Ix xr d I AB
+ +
= = » lưu kết quả vào biến E. 
Phương trình đường thẳng BC: 3 3 0y kx k kx y k= + - Û - + - = 
Ta có: 
2
3
( , )
1
I Ikx y kd I BC r r
k
- + -
= Û =
+
( ) ( )( ) ( )2 22 21 2 1 3 3 0I I I Ix r k x y k y ré ùÛ + - - + + + + - =ë û . 
Giải phương trình bậc hai theo k và chọn nghiệm dương, ta được: 
0, 4023380264k » 
Phương trình đường thẳng BC: 2 6y x= - + . 
Hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình: 
5 
 MTCT12THPT-Trang 12 
9 6
2 6 3 3,578872698
2
x kx k x
k
-
- + = + - Û = »
+
 lưu vào biến F, 
Suy ra tung độ của C: 1,157745396y » - lưu vào biến Y. 
Diện tích của tứ giác ABCD là: 
( )1 28,6838
2
S pr AB BC CD DA r= = + + + » (đvdt)