Kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên quốc học môn: toán (chuyên Tin)

	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC 
	THỪA THIÊN HUẾ	Khóa ngày 24.6.2011
	ĐỀ CHÍNH THỨC	Môn: TOÁN (CHUYÊN TIN)
	Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1: (2,0 điểm)
Giải phương trình .
Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn hệ phương trình:.
Tính giá trị của biểu thức: .
Bµi 2: (1,5 điểm) 
Tìm một cặp số nguyên để có .
Áp dụng để rút gọn biểu thức: .
Bµi 3: (1,5 điểm)
Quãng đường AB dài 300km. Cùng một lúc một xe tải khởi hành từ A đi đến B và một ô tô con khởi hành từ B đi về A. Sau khi hai xe gặp nhau, ô tô con đi thêm 2 giờ nữa mới tới A. Biết vận tốc xe tải kém vận tốc ô tô con là 20 km/h, vận tốc ô tô con lớn hơn 30km/h. Tính vận tốc mỗi xe.
Bµi 4: (2,25 điểm)
Cho điểm T ở ngoài đường tròn (O ; R). Gọi TA và TB là hai tiếp tuyến (A, B là các tiếp điểm). Gọi M là điểm thuộc đoạn AB (M ≠ A, M ≠ B). Đường thẳng qua M và vuông góc với OM cắt các tia TA, TB lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng:
Điểm M là trung điểm của đoạn CD.
Tứ giác TCOD là tứ giác nội tiếp.
Bài 5: (1,0 điểm)
Tìm khoảng cách (trên mặt đất) của hai thành phố P và Q (kết quả làm tròn đến km), biết rằng thành phố P ở vị trí kinh độ Đông và vĩ độ Bắc; thành phố Q ở vị trí kinh độ Đông và vĩ độ Bắc. Cho bán kính của Trái Đất khoảng 6400 km.
Bµi 6: (1,75 ®iÓm)
a) Trên một tấm ván hình chữ nhật có ba cái cọc. Ở một cọc có cái đĩa hình tròn có đường kính nhỏ dần từ dưới lên (hình bên). Số lần ít nhất cần có để chuyển cả 3 đĩa sang một cọc khác là bao nhiêu ? Biết rằng mỗi lần chỉ di chuyển một đĩa sang cọc khác sao cho đĩa với đường kính lớn luôn nằm dưới đĩa có đường kính bé hơn.
b) Theo quy tắc như trên, số lần ít nhất cần có để chuyển chồng đĩa có đĩa; có đĩa sang một cọc khác là bao nhiêu ? Hãy viết công thức tổng quát để tính số lần ít nhất cần có để chuyển chồng n đĩa sang một cọc khác với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2.
HÕt	
SBD thÝ sinh: ...............	 Ch÷ ký GT1: ................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC 
	THỪA THIÊN HUẾ	Khóa ngày 24.6.2011
	Môn: TOÁN (CHUYÊN TIN)
	HƯỚNG DẪN CHẤM
Bµi
ý
Néi dung
§iÓm
1
2,0
1.a
Giải phương trình 
+ Điều kiện .
Phương trình tương đương
+ Đặt , . 
Ta có phương trình (loại)
 (thỏa điều kiện).
Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm , .
0,25
0,25
0,25
0,25
1.b
+ Ta có: 
Theo giả thiết: và , nên:
.
Bình phương 2 vế ta được:
Ta có:
Suy ra: 
0,25
0,25
0,50
2
1,50
2.a
Suy ra: 
Vì 29 là số nguyên tố, nên , từ (*) suy ra: .
Từ (**) suy ra nên . Thay và vào (**) nghiệm đúng.
Vậy: 
0,25
0,25
0,25
2.b
Theo câu a) ta có:
, nên:
0,25
0,25
0,25
3
1,50
Gọi vận tốc của xe con là x (km/h), (x > 30)
Vận tốc của xe tải là x - 20 (km/h)
Quãng đường xe con đi được sau khi gặp xe tải là (km)
Quãng đường xe con đi được trước khi hai xe gặp nhau là: (km).
Thời gian xe tải đi từ A đến khi hai xe gặp nhau là:
Thời gian xe con đi từ B đến khi hai xe gặp nhau là:
Theo đề bài toán ta có phương trình: 
Giải phương trình trên ta có: x1 = 60 ( thỏa mãn điều kiện); x2 = 25 < 50 (loại) 
Vậy: Vận tốc của xe con là 60 km/h và vận tốc của xe tải là 40 km/h.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
4
2,25
4.a
+ Ta có và (gt) .
Suy ra: Bốn điểm O, M, A, C ở trên đường tròn đường kính OC.
Do đó: (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung )
Tương tự, Bốn điểm O, M, D, B ở trên đường tròn đường kính OD và: (2).
Nhưng (3) (tam giác AOB cân tại O), nên từ (1), (2), (3) ta có: .
Suy ra tam giác COD cân tại O, do đó OM đường cao vừa là trung tuyến của tam giác COD.
Vậy M là trung điểm của CD.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4.b
Theo chứng minh trên, hai tam giác cân AOB và COD có các cặp góc đáy bằng nhau, nên .
Theo tính chất tiếp tuyến, ta có: , nên tứ giác TAOB nội tiếp, suy ra: .
Vậy: TCOD là tứ giác nội tiếp
0,25
0,25
0,25
0,25
5
1,00
+ Hai thành phố P và Q cùng nằm trên vĩ tuyến 300 Bắc. Gọi M là tâm của đường tròn vĩ tuyến, thì M ở trên trục Trái đất và OM MP.
Gọi C và D là giao điểm của đường tròn lớn xích đạo với 2 đường kinh tuyến 1050 Đông và 1200 Đông.
Ta có: , suy ra bán kính của đường tròn vĩ tuyến 300 Bắc là:
 .
Ta có . 
Khoảng cách giữa P và Q là độ dài cung của đường tròn lớn của mặt cầu (Trái Đất) đi qua P, Q.Gọi I là trung điểm của đoạn PQ, ta có:
Suy ra: 
Do đó độ dài cung trên đường tròn lớn là: 
Vậy: Hai thành phố P và Q cách nhau khoảng 1450 km.
Ghi chú: Nếu học sinh tính độ dài cung trên đường tròn vĩ tuyến 300 Bắc, thì cho 0,25 điểm):
Vậy: Hai thành phố P và Q cách nhau khoảng 1451 km.
0,25
0,25
0,25
0,25
6
1,75
6.a
+ Để chuyển chồng n = 3 đĩa từ cọc số 2 sang một cọc khác:
 - Bước 1: Trước hết di chuyển 2 đĩa trên cùng sang một cọc khác (ví dụ cọc số 1) với số thao tác: Di chuyển đĩa trên cùng (đĩa A) sang cọc 3; di chuyển đĩa thứ hai (đĩa B) sang cọc 1; cuối cùng chuyển đĩa A sang cọc 1. Do đó số lần di chuyển tối thiểu là 3.
- Bước 2: Chuyển đĩa lớn nhất (đĩa C) sang cọc 3 gồm một thao tác.
- Bước 3: Chuyển chồng 2 đĩa từ cọc 1 sang cọc 3: Chuyển đĩa A sang cọc 2; chuyển đĩa B sang cọc 3 và chuyển đĩa A sang cọc 3. Số lần di chuyển tối thiểu là 3.
Vậy: Số lần ít nhất cần có để chuyển cả 3 đĩa sang một cọc khác 
0,25
0,25
0,25
6.b
+ Trường hợp chồng đĩa có n = 4 đĩa:
Bước 1: Chuyển chồng 3 đĩa trên cùng sang cọc khác (ví dụ cọc 1). Số lần di chuyển tối thiểu từng đĩa là .
Bước 2: Chuyển đĩa lớn nhất sang cọc khác (cọc số 3) gồm 1 thao tác.
Bước 3: Chuyển chồng 3 đĩa từ cọc 1 sang cọc 3. Số lần di chuyển tối thiểu từng đĩa là .
Vậy: Số lần ít nhất cần có để chuyển chồng 4 đĩa sang một cọc khác là: .
Tương tự: Số lần ít nhất cần có để chuyển chồng 5 đĩa sang một cọc khác là: .
...
Số lần ít nhất cần có để chuyển chồng 10 đĩa sang một cọc khác là: .
Tổng quát: Số lần ít nhất cần có để chuyển chồng đĩa sang một cọc khác là: .
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chó: - Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®¸p ¸n nh­ng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a.
 - §iÓm toµn bµi kh«ng lµm trßn.