Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS năm học: 2012 – 2013
Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) . Chứng minh : BD = BE.
Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện :
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO PHÚ YÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS Năm học : 2012 – 2013 Môn thi : Toán Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 1 trang) Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí Câu 1: ( 5,0 điểm) Cho . So sánh A và B? Tính giá trị biểu thức: . Cho . Chứng minh rằng: Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : . Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : . Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C). Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N. Chứng minh rằng : Xác định vị trí điểm Q để Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) . Chứng minh : BD = BE. Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện : ----------------- Hết --------------- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho . So sánh A và B? b) Tính giá trị biểu thức: . c) Cho . Chứng minh rằng: Giải: a) Ta có : Mà Nên hay A > B. b) Tính giá trị biểu thức: . c)Cho . Chứng minh rằng: Mình chưa biết giải, bạn nào biết chỉ giúp. Nhưng mình kiểm tra thấy đề không đúng. Cho Thì ( Thỏa mãn đẳng thức) Nhưng Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : . ĐKXĐ : Đặt thì . Vậy Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : . * Điều kiện xác định : . Ø Nếu thì : PTVN Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm. ØNếu Chia 2 vế phương trình (1) cho . Ta có : Đặt thì + Với thì Thay vào (**). Ta có : Với ( thỏa mãn ĐKXĐ) Với ( thỏa mãn ĐKXĐ) + Với thì . Thay vào (**). Ta có : : Phương trình vô nghiệm Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : và Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C). Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N. Chứng minh rằng : Xác định vị trí điểm Q để GIẢI: Gọi . Ta có: . (1) Mặt khác : Áp dụng định lí Talet. Ta có: (2) Vì MI // AC nên (3) Vì (g-g) mà nên (4) Từ (1), (2), (3) và (4). Suy ra : Hay b) Từ câu a. Ta có : . Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm. Ta có : . Dấu “ = ” xảy ra khi CI = IH = HB. Đẳng thức xảy ra khi Q là trung điểm của BC và Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) . Chứng minh : BD = BE. Giải: Cách vẽ: + Vẽ phân giác của cắt AB tại E. Đường phân giác của và đường thẳng vuông góc với AB tại E cắt nhau tại I. Ta có : là đường tròn tiếp xúc với AC; DC và (O). Thật vậy : Hạ . Ta có : IE = IF ( t/c đường phân giác) Nên (I; IE) tiếp xúc với AC; DC và IECF là hình vuông. Chứng minh: + Chứng minh ba điểm B; F và G thẳng hàng. Ta có : cân tại I nên Xét ( Tính chất góc ngoài) = Nên ba điểm G, F và B thẳng hàng ( vì 2 tia GF và GB trùng nhau) + Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông Nên (1). +Áp dụng tính chất tiếp tuyến. Ta có : (2) Mặt khác : ( g-g). (3) Từ (2) và (3). Suy ra : (4) Từ (1) và (4), suy ra : BD = BE. Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện : Giải: Từ * Nếu x = 0 ; Nếu y = 0 * Nếu Thì ( *) Đặt Thì Giải phương trình theo biến t. Ta có : . Để phương trình có nghiệm ( Dấu đẳng thức xảy ra ) Thì Nên giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy = 0 khi xy = 1 ( Nếu có thắc mắc cần trao đổi xin liên hệ qua hòm thư “ tailieu20112012@gmail.com” )
File đính kèm:
- HSG toan 9.doc