Khảo sát hàm số (ôn thi đại học) tính đơn điệu của hàm số

KHẢO SÁT HÀM SỐ
(ÔN THI ĐẠI HỌC)
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Châu Trần Duyên Anh
Ngày 25 tháng 5 năm 2015
1 Tóm tắt lý thuyết
1.1 Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa 1.1 Ta kí hiệu K ⊂ R là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x ) xác định
trên K. Ta nói
i) Hàm số y = f (x ) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 ta luôn có f (x1)< f (x2)
ii) Hàm số y = f (x ) nghịch biến (giảm) trênK nếu với mọi x1, x2 thuộcK mà x1 f (x2)
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
Chú ý 1.2
1. Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải
2. Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải .
1.2 Các định lý áp dụng vào bài tập
Định lý 1.3 Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên K
i) Nếu hàm số đồng biến trên K thì f ′(x )≥ 0 với mọi x ∈K
ii) Nếu hàm số nghịch biến trên K thì f ′(x )≤ 0 với mọi x ∈K.
Định lý 1.4 Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên K
i) Nếu f ′(x )≥ 0 với mọi x ∈K và f ′(x ) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm trên K thì f đồng biến trên K
ii) Nếu f ′(x )≤ 0 với mọi x ∈K và f ′(x ) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm trên K thì f nghịch biến trên K
Chú ý 1.5
1. Nếu f ′(x ) = 0 với mọi x ∈K thì f là hàm số hằng trên K
Châu Trần Duyên Anh 1
2. Trong định lý 1.4, nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì cần có thêm điều kiện f liên tục tại các đầu mút
3. Điều kiện f ′(x ) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm trên K trong định lý 1.4 là để đảm bảo f không là hàm số hằng
trên K .Do đó, nếu khẳng định được f không phải là hàm số hằng thì có thể bỏ qua điều kiện này.
2 Các dạng bài tập
2.1 Tìm các khoảng biến thiên của hàm số
Để tìm các khoảng biến thiên của hàm số y = f (x ), ta vận dụng qui tắc sau
Qui tắc 2.1
1. Tìm tập xác định hàm số
2. Tình đạo hàm f ′(x ). Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
3. Kẻ bảng biến thiên, sắp xếp các xi theo thứ tự tăng dần, xét dấu f
′(x )
4. Dựa vào bảng biến thiên kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến .
Ví dụ 2.2 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y =
1
3
x 3− 2x 2+ 3x + 2
Giải. Tập xác định D=R. Ta có
y ′ = x 2− 4x + 3
y ′ = 0⇔ x 2− 4x + 3= 0⇔ x = 1 hoặc x = 3
Bảng biến thiên
x −∞ 1 3 +∞
y ′(x ) + 0 − 0 +
y −∞%
10
3
& 2 %
+∞
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3;+∞) ; hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)
Ví dụ 2.3 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y =
x + 2
x − 1
Giải. Tập xác định D=R \ {1}. Ta có y ′ = −3
(x − 1)2 < 0 ∀x 6= 1
Bảng biến thiên
x −∞ 1 +∞
y ′(x ) − −
y
1
& −∞
+∞
& 1
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1;+∞)
Châu Trần Duyên Anh 2
Ví dụ 2.4 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x 4− 4
3
x 3+
1
2
x 2− 3
Giải. Tập xác định D=R
Ta có
y ′ = 4x 3 − 4x 2+ x = x (4x 2− 4x + 1) = x (2x − 1)2
y ′ = 0⇔ x (2x − 1)2 = 0⇔ x = 0 hoặc x = 1
2
Bảng biến thiên
x −∞ 0 1
2
+∞
y ′(x ) − 0 + 0 +
y +∞
& −3 %
−143
48
%
+∞
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên (0;+∞)
Chú ý 2.5 Trong ví dụ 2.4, vì y ′ ≥ 0 ∀x ∈ (0;+∞) và y ′ = 0 chỉ tại x = 1
2
nên theo định lý 1.4 hàm số đã cho
đồng biến trên (0;+∞)
Ví dụ 2.6 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x − sin2 x trên

0;
pi
2


Giải. Xét trên khoảng

0;
pi
2


Ta có y ′ = 1− 2sin x cos x = 1− sin2x ≥ 0,∀x ∈

0;
pi
2


và y ′ = 0 chỉ tại x =
pi
4
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên

0;
pi
2


2.2 Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định hoặc một khoảng
cho trước
Ví dụ 2.7 Tìm m để hàm số y = 2x 3+ (m + 3)x 2+ 6m x + 1 đồng biến trên R
Giải. Tập xác định D=R. Ta có y ′ = 6x 2+ 2(m + 3)x + 6m
Vì y không là hàm số hằng trên R nên hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi
y ′ ≥ 0, ∀x ∈R
⇔∆′ = (m + 3)2− 36≤ 0 (do a y ′ = 6> 0)
⇔m 2− 30m + 9≤ 0
⇔ 15− 6
p
6≤m ≤ 15+ 6
p
6
Vậy 15− 6
p
6≤m ≤ 15+ 6
p
6 thỏa đề bài .
Ví dụ 2.8 Tìm m để hàm số y =−x 3+ 3x 2+ 3m x − 4 nghịch biến trên (0;+∞)
Châu Trần Duyên Anh 3
Giải. Hàm số đã cho có tập xác định D=R nên xác định trên khoảng (0;+∞)
Ta có y ′ =−3x 2+ 6x + 3m = 3(−x 2+ 2x +m )
Vì y không là hàm số hằng trên (0;+∞) nên hàm số nghịch biến trên (0;+∞) khi và chỉ khi
y ′ ≤ 0, ∀x ∈ (0;+∞)
⇔−x 2+ 2x +m ≤ 0, ∀x ∈ (0;+∞)
⇔m ≤ x 2− 2x , ∀x ∈ (0;+∞)
Xét hàm số g (x ) = x 2− 2x với x ∈ (0;+∞). Ta có g ′(x ) = 2x − 2
g ′(x ) = 0⇔ 2x − 2= 0⇔ x = 1
Bảng biến thiên
x 0 1 +∞
g ′(x ) − 0 +
g (x )
0
& −1 %
+∞
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m ≤−1 thỏa đề bài.
Ví dụ 2.9 Tìm m để hàm số y = x 3+ (m − 1)x 2− (2m 2+ 3m + 2)x đồng biến trên (2;+∞)
Giải. Hàm số có tập xác định D=R nên xác định trên (2;+∞)
Ta có y ′ = 3x 2 + 2(m − 1)x − (2m 2+ 3m + 2).
Vì y ′ có ∆′ = (m − 1)2+ 3(2m 2 + 3m + 2) = 7(m 2+m + 1) > 0 ∀m ∈R nên y ′ luôn có hai nghiệm phân biệt
x1, x2. Giả sử x1 < x2, khi đó ta có bảng xét dấu
x −∞ x1 x2 +∞
y ′ + 0 − 0 +
Hàm số đồng biến trên (2;+∞) khi và chỉ khi
y ′ ≥ 0,∀x ≥ 2⇔ x1 < x2 ≤ 2⇔
1−m +
p
7(m 2+m + 1)
3
≤ 2⇔
p
7(m 2+m + 1)≤m + 5
⇔


7(m 2+m + 1)≤ (m + 5)2
m + 5> 0
⇔


6m 2− 3m − 18≤ 0
m >−5
⇔


−3
2
≤m ≤ 2
m >−5
⇔−3
2
≤m ≤ 2
Vậy −3
2
≤m ≤ 2 thỏa đề bài
Nhận xét 2.10 Trong ví dụ 2.9, do m không đồng bậc nên ta không thể cô lập m về một vế chuyển về dạng
g (x )≤m hoặc g (x ) ≥m . Tình huống này phải sử dụng bảng xét dấu y ′ và kiến thức về tam thức bậc hai để giải
quyết.
Ví dụ 2.11 Tìm m để hàm số y = x 3−m x 2+ (m + 36)x − 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4
p
2
Châu Trần Duyên Anh 4
Giải. Tập xác định D=R
Ta có y ′ = 3x 2 − 2m x +m + 36 là một tam thức bậc hai có a y ′ = 3> 0 và ∆′ =m 2− 3m − 108
Nếu ∆′ ≤ 0 ⇔−9 ≤ m ≤ 12 thì y ′ ≥ 0, ∀x ∈ R, trường hợp này hàm số luôn đồng biến trên R nên không có
khoảng nghịch biến có độ dài 4
p
2
Nếu ∆′ > 0⇔m 12, trường hợp này y ′ có hai nghiệm phân biệt x1, x2(x1 < x2). Khi đó hàm số đã
cho chỉ nghịch biến trên khoảng (x1; x2). Theo đề bài thì | x1− x2 |= 4
p
2 tức là
2
p
m 2− 3m − 108
3
= 4
p
2
bình phương hai vế và rút gọn ta được phương trình m 2−3m −180= 0⇔m =−12 hoặc m = 15 ( thỏa điều kiện)
Vậy m =−12 hoặc m = 15 thỏa đề bài
Ví dụ 2.12 Tìm m để hàm số y =
m x + 4
x +m
đồng trên khoảng (1;+∞)
Giải. Tập xác định D=R \ {−m}. Ta có y ′ = m
2− 4
(x +m )2
Hàm số đồng biến trên (1;+∞) khi và chỉ khi y ′ > 0 ∀x ∈ (1;+∞), điều này tương đương với


m 2− 4> 0
−m ≤ 1
⇔


m − 2 hoặc m > 2
m ≤−1
⇔m > 2
Vậy m > 2 thỏa đề bài.
3 Bài tập tự làm
Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau :
1. y =
1
3
x 3− 3x 2− 7x − 2 ;
2. y = x 4− 2x 2+ 3 ;
3. y =
3
4
x 4− 2x 3+ 3
2
x 2− 6x + 11 ;
4. y = 9x 7− 7x 6+ 7
5
x 5+ 12 ;
5. y =
3x
x 2+ 1
;
6. y =
p
x 2+ 2x + 3 ;
7. y =
x 2− 8x + 9
x − 5 .
Bài 2. Chứng minh rằng
1. Hàm số y =
1
3
(m 2+ 1)x 3− (m + 1)x 2+ 2x + 1 đồng biến trên R với mọi m ;
2. Hàm số y = x + cos2 x đồng biến trên R ;
3. Hàm số y =−x +
p
x 2+ 8 nghịch biến trên R
4. Hàm số y = 2− sin2 x − sin2 (m + x )− 2cosm cos x cos (m + x ) lấy giá trị không đổi trên R;
5. Hàm số y = cos x + sin x tan
x
2
lấy giá trị không đổi trên

−pi
4
;
pi
4

Châu Trần Duyên Anh 5
Bài 3. Tìm m để hàm số
1. y =
1
3
x 3+ (m + 1)x 2+ (m 2− 5)x + 1 đồng biến trên R;
2. y =
m + 1
3
x 3+ 2x 2+ (m − 1)x nghịch biến trên R;
3. y = x 3+ 3x 2−m x − 4 nghịch biến trên (−∞; 0);
4. y =−1
3
x 3+ (m + 1)x 2+ (m + 3)x − 4 đồng biến trên (0; 3);
5. y =
m
3
− (m − 1)x 2+ 3(m − 2)x + 1
3
đồng biến trên [2;+∞);
6. y =
m x 2+ (6m + 5)x − 2(1− 3m )
x + 1
nghịch biến trên [1;+∞);
7. y =
2x 2− 3x +m
x − 1 đồng biến trên (3;+∞).
8. y = x 3+ 3x 2+m x +m nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1
Châu Trần Duyên Anh 6