Hình hộc 9 - Chuyên đề Đường tròn - Góc với đường tròn

ây 
 Þ = sđ
 Þ = sđ
A
D
E
C
B
O
1.4/Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn : 
1.5/Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn 
C
A
D
O
B
 	2.Tứ giác nội tiếp : 
2.1/Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Û A, B, C, D Î (O) 
2.2/ Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp:
a/ Cách 1: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm thì nội tiếp đường tròn. Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
 OA = OB = OC = OD
	 Þ Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.
b/ Cách 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 thì nội tiếp đường tròn.	
 Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC. 
 Tâm O là trung điểm AC.
c/ Cách 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau thì nội tiếp đường tròn
· Trường hợp 1: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì nội tiếp đường tròn
Mà B, C là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới môt góc vuông. 
Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. 
 Tâm O là trung điểm AD.
a
a
· Trường hợp 2: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a thì nội tiếp đường tròn.
Mà B, C là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới một góc a. 
Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
d/ Cách 4: Tứ giác góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện thì nội tiếp đường tròn.
2
1
	(kề bù)
	Mà 
	Nên 
	Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.	
A. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
Dạng 1: BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG
1. Tam giác bằng nhau
	a) Khái niệm: 
	b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g.
	c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn.
	d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau.
2. Chứng minh hai góc bằng nhau
	- Dùng hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc của hình thang cân, hình bình hành, 
	- Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh.
	- Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song, đối đỉnh.
	- Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn. (Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn, )
3. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
	- Dùng đoạn thẳng trung gian.
	- Dùng hai tam giác bằng nhau.
	- Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, 
	- Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một đường tròn, 
	- Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, 
4. Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song
	- Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau, 
	- Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba.
	- Áp dụng định lý đảo của định lý Talet.
	- Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác.
	- Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn.
5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
	- Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác.
	- Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
	- Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác.
	- Đường kính đi qua trung điểm của dây.
	- Phân giác của hai góc kề bù nhau.
6. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
	- Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB // d; BC // d thì A, B, C thẳng hàng.
	- Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, 
	- Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC bằng 1800 thì A, B, C thẳng hàng.
	- Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên.
- Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B.
7. Chứng minh các đường thẳng đồng quy
	- Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác.
	- Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó.
	- Dùng định lý đảo của định lý Talet.
Dạng 2: CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG, HỆ THỨC HÌNH HỌC
1. Tam giác đồng dạng
	- Khái niệm: 
	- Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g.
	- Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông
	*Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
2. Phương pháp chứng minh hệ thức hình học
	- Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, 
Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD
	- Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB.
	- Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba.
	Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so sánh với tích thứ ba.
	Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích của một điểm với đường tròn.
Dạng 3: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Phương pháp chứng minh
	- Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.
- Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau.
	- Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc .
	- Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó.
	- Nếu MA. MB = MC. MD hoặc NA. ND = NC. NB thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong đó )
	- Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó )
	- Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; 
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng, xác định duy nhất một đường tròn”
B. BÀI TẬP TRÊN LỚP:
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng:
Tứ giác CEHD nội tiếp.
Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H và M đối xứng nhau qua BC.
Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải: 
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
= 900 ( Vì BE là đường cao)
= 900 ( Vì AD là đường cao)
 = 1800
Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
2. Theo giả thiết: BE là đường cao BE ^ AC => = 900.
CF là đường cao CF ^ AB => = 900.
Hai đỉnh liên tiếp E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: = 900 ; là góc chung 
 D AEH ∽DADC (g.g) AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: = 900 ; là góc chung 
 D BEC ∽ DADC (g.g) => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có ( vì cùng phụ với góc ABC)
 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
 CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ^ HM DCHM cân tại C 
 CB cũng là đường trung trực của HM. Vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn
 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp 
 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
 EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE, mà BE và CF cắt nhau tại H. Do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh ED = BC.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm.
Lời giải: 
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
= 900 ( Vì BE là đường cao)
 = 900 ( Vì AD là đường cao)
 = 1800
 Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
2. Theo giả thiết: BE là đường cao BE ^ AC = 900.
 AD là đường cao AD ^ BC = 900.
Hai đỉnh liên tiếp E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 
 E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến D là trung điểm của BC. 
Theo c/m trên, ta có = 900.
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến DE = BC.
4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH 
 OA = OE tam giác AOE cân tại O (1).
Theo trên DE = BC tam giác DBE cân tại D (2)
Mà (vì cùng phụ với góc ACB) 
Mà = 900 = 900 = DE ^ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm OD = 5 cm. 
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác OED vuông tại E 
 ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm
Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
 Chứng minh AC + BD = CD.
 Chứng minh = 900.
3. Chứng minh AC. BD = .
4. Chứng minh OC // BM
5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
6. Chứng minh MN ^ AB.
7. Xác định vị trí điểm M để CD nhỏ nhất.
Lời giải
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM 
 AC + BD = CM + DM.
 Mà CM + DM = CD AC + BD = CD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà và là hai góc kề bù = 900.
Theo c/m trên = 900 nên tam giác COD vuông tại O có OM ^ CD (OM là tiếp tuyến ).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, 
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM AC. BD =R2 AC. BD = .
Theo c/m trên = 900 nên OC ^ OD (1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R OD là trung trực của BM BM ^ OD (2). 
Từ (1) Và (2) OC // BM (Vì cùng vuông góc với OD).
Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB AC // BD tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB IO là đường trung bình của hình thang ACDB 
 IO // AC , mà AC ^ AB IO ^ AB tại O 
 AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD 
6. Theo trên AC // BD , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra 
 MN // BD mà BD ^ AB MN ^ AB.
7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB M phải là trung điểm của cung AB.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A; O là trung điểm của IK.
Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lời giải: (HD)
1. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B.
Do đó BI ^ BK hay = 900 . 
Tương tự ta cũng có = 900 như vậy B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
2. Ta có (vì CI là phân giác của góc ACH. (1)
= 900 (vì = 900 ) (2)
 	 ( vì tam giác OIC cân tại O) (3)
Từ (1), (2) , (3) = 900 hay AC ^ OC. 
Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
3. Từ giả thiết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm CH = 12 cm.
AH2 = AC2 – HC2 AH = = 16 (cm)
CH2 = AH.OH OH = = 9 (cm)
OC = = 15 (cm)
Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chứng minh OAHB là hình thoi.
Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Lời giải:
1. (HS tự làm).
2. Vì K là trung điểm NP nên OK ^ NP (quan hệ đường kính và dây cung) 
 = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có = 900; = 900
Như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. 
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 
3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R 
 OM là trung trực của AB OM ^ AB tại I .
Theo tính chất tiếp tuyến ta có = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và 
OI. IM = IA2.
4. Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) OB // AC hay OB // AH.
OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) OA // BD hay OA // BH.
 Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) OAHB là hình thoi.
5. Theo trên OAHB là hình thoi OH ^ AB; cũng theo trên OM ^ AB O, H, M thẳng hàng (Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).
6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó, quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R.
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E.
Chứng minh tam giác BEC cân.
 2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
4. Chứng minh BE = BH + DE.
Lời giải: (HD)
1. D AHC = DADE (g.c.g) ED = HC (1) và AE = AC (2).
Vì AB ^ CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của DBEC BEC là tam giác cân 
2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, 
 D AHB = DAIB (ch-gn)
 AI = AH.
3. AI = AH và BE ^ AI tại I BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. DE = IE và BI = BH BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Lời giải: 
(HS tự làm).
2. Ta có nội tiếp chắn cung AM; là góc ở tâm cùng chắn cung AM 
 (1) 
Lại có OP là tia phân giác của ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) (2) 
Từ (1) và (2) (3) 
Mà là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4)
3. Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : = 900 (vì PA là tiếp tuyến ); = 900 (gt).
 = 900; OA = OB = R; (theo (3)) 
 DAOP = DOBN OP = BN (5)
Từ (4) và (5) OBNP là hình bình hành (vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
4. Tứ giác OBNP là hình bình hành PN // OB hay PJ // AB, mà ON ^ AB ON ^ PJ 
Ta cũng có PM ^ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm của POJ. (6)
Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có = 900 K là trung điểm của PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật). (6)
 AONP là hình chữ nhật ( so le) (7)
 Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có PO là tia phân giác của (8).
Từ (7) và (8) DIPO cân tại I có IK là trung tuyến đồng thời là đường cao IK ^ PO. (9)
Từ (6) và (9) I, J, K thẳng hàng.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A, B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Lời giải: 
 1. Ta có : = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
 = 900 (vì là hai góc kề bù).
 = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
 = 900 (vì là hai góc kề bù).
 = 1800 
 Vậy EFMK là tứ giác nội tiếp.
Ta có = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) DAIB vuông tại A có AM ^ IB ( theo trên). 
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao AI2 = IM . IB.
Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM 
 (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) BE là tia phân giác góc ABF. (1)
Theo trên ta có = 900 BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2).
Từ (1) và (2) BAF là tam giác cân tại B .
BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến E là trung điểm của AF. (3)
Từ BE ^ AF AF ^ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác (5) 
Từ (4) và (5) HAK là tam giác cân tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến E là trung điểm của HK. (6).
Từ (3) , (4) và (6) AKFH là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).
(HD). Theo c/m trên AKFH là hình thoi HA // FK hay IA // FK 
 tứ giác AKFI là hình thang. 
Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân. 
AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB. 
Thật vậy: M là trung điểm của cung AB = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7)
Tam giác ABI vuông tại A có = 450 = 450 .(8)
Từ (7) và (8) = 450 AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau).
Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Bài 9 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).
Chứng minh AC. AE không đổi.
Chứng minh .
Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Lời giải: 
1. C thuộc nửa đường tròn nên = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) BC ^ AE. 
 = 900 ( Bx là tiếp tuyến ) ABE vuông tại B có BC là đường cao 
 AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao ), mà AB là đường kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi.
2. D ADB có = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn).
 = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (1)
D ABF có = 900 ( BF là tiếp tuyến ).
 = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (2)
Từ (1) và (2) ( cùng phụ với )
3. Tứ giác ACDB nội tiếp (O) = 1800 .
 = 1800 (hai góc kề bù) (cùng bù với ).
Theo trên . Mà = 1800 (Vì là hai góc kề bù) nên suy ra = 1800
Vậy tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho 
AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đường vuông góc từ S đến AB.
1. Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS’M cân. 
2. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn.
Lời giải: 
1. Ta có SP ^ AB (gt) = 900 ; = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 = 900 . Như vậy hai đỉnh liên tiếp P và M cùng nhìn AS dưới một góc bằng 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính AS.
Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn. 
2. Vì M’ đối xứng M qua AB mà M nằm trên đường tròn nên M’ cũng nằm trên đường tròn hai cung AM và AM’ có số đo bằng nhau
 (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1)
Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’ ^ AB tại H MM’// SS’ (cùng vuông góc với AB)
 (so le trong) (2).
Từ (1) và (2) . 
Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn (góc nội tiếp cùng chắn cung AP )
 tam giác PMS’ cân tại P.
3. Tam giác SPB vuông tại P; tam giác SMS’ vuông tại M (cùng phụ với ) (3)
Tam giác PMS’ cân tại P (4)
Tam giác OBM cân tại O (vì