Hình học 11 - Véc-tơ trong không gian, Quan hệ vuông góc trong không gian - Năm học 2015-2016

đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặtphẳng nào đó.
• Điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ: Cho ba véc tơ ~a, ~b, ~c, trong đó ~a, ~b khôngcùng phương. Khi đó, chúng đồng phẳng khi và chỉ khi ∃!m,n ∈ R : ~c = m~a+ n~b.
TEX Page 3
• Cho ba véc tơ ~a, ~b, ~c không đồng phẳng, ~x tùy ý. Khi đó, tồn tại duy nhất ba sốthực m,n, p sao cho ~x = m~a + n~b + n~c.
1.3. Tích vô hướng của hai véc tơ
• Góc giữa hai véc tơ trong không gian
−ÏAB = ~u,−ÏAC = ~v Ñ (~u, ~v) =[BAC, 0◦ ≤[BAC ≤ 180◦
• Tích vô hướng của hai véc tơ
– Cho ~u, ~v 6= ~0. Khi đó, ~u.~v = |~u|.|~v|. cos(~u, ~v).
– Với ~u = ~0 hoặc ~v = ~0. Quy ước ~u.~v = 0.
– Với ~u⊥~v thì ~u.~v = 0.
Vấn đề 1: Chứng minh một đẳng thức véc tơ
Để chứng minh một đẳng thức véc tơ người ta thường dựa vào quy tắc các phép toánvà các hệ thức về véc tơ.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trungđiểm của EF .
a) Chứng minh rằng −ÏIA+−ÏIB+−ÏIC +−ÏID = −Ï0 .
b) Chứng minh rằng −−ÏMA+−−ÏMB+−−ÏMC +−−ÏMD = 4−ÏMI .
c) Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng (P) sao cho |−−ÏMA + −−ÏMB + −−ÏMC + −−ÏMD| nhỏnhất.
Bài 2. Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểmcủa các cạnh đối diện đồng quy tại trung điểm cảu chúng (điểm đồng quy gọi làtrọng tâm của tứ diện).
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là các điểm chia các cạnh AB,BC,CD,DAtheo tỉ số k 6= 1. Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD,A′B′C′D′ có cùng trọng tâm.
TEX Page 4
Vấn đề 2: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng và phântích một véc tơ theo ba véc tơ không đồng phẳng
• Để chứng minh ba véc tơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong cáccách sau:
– Chứng minh các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.
– Dựa vào điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng.
• Để phân tích một véc tơ ~x theo ba véc tơ không đồng phẳng ~a, ~b, ~c, ta đi tìm bộba số thực m,n, p sao cho ~x = m~a + n~b + p~c.
Bài 1. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấyđiểm M sao cho −−ÏMS = −2−−ÏMA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho 2−ÏNB = −−−ÏNC.Chứng minh rằng ba véc tơ −ÏAB,−−ÏMN,−ÏSC đồng phẳng.
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH . GọiM,N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của cáccạnh AE,CG,GH, FG ; P,Q lần lượt là trung điểm của NG, JH .
a) Chứng minh ba véc tơ −−ÏMN,−−ÏFH,−−ÏPQ đồng phẳng.
b) Chứng minh ba véc tơ −ÏIL,−ÏJK,−−ÏAH đồng phẳng.
Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.DEF . Gọi G,H, I, J, K lần lượt là trung điểm củaAE,EC, CD,BC,BE
a) Chứng minh rằng −ÏAJ,−ÏGI,−−ÏHK đồng phẳng.
b) GọiM,N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho FMFA = CNCE = 13 . Các đườngthẳng vẽ từ M và N song song với CF cắt DF và EF tại P và Q. Chứng minhrằng −−ÏMN,−−ÏPQ,−ÏCF đồng phẳng.
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M,N, lần lượt là trung điểm của CD,DD′;G,G′ lần lượt là trọng tâm tứ diện A′D′MN,BCC′D′. Chứng minh rằng GG′ ‖(ABB′A′).
Bài 5. Cho ba véc tơ ~a, ~b, ~c không đồng phẳng và véc tơ ~d.
a) Cho ~d = m~a+n~b vớim,n 6= 0. Chứng minh rằng bộ ba véc tơ sau đồng phẳng
i. ~b, ~c, ~d ii. ~a, ~c, ~d
TEX Page 5
b) Cho ~d = m~a+n~b+p~c với m,n, p 6= 0. Chứng minh rằng các bộ ba véc tơ saukhông đồng phẳng
i. ~a, ~b, ~d ii. ~b, ~c, ~d iii. ~a, ~c, ~d
Bài 6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có −−ÏAA′ = ~a,−ÏAB = ~b,−ÏAC = ~c. Hãyphân tích các véc tơ −−ÏB′C,−−ÏBC′ theo ba véc tơ ~a, ~b, ~c.
Bài 7. Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của 4ABC.
a) Phân tích véc tơ −−ÏOG theo ba véc tơ −ÏOA,−−ÏOB,−−ÏOC.
b) Gọi D là trọng tâm tứ diện OABC. Phân tích véc tơ −−ÏOD theo ba véc tơ−ÏOA,−−ÏOB,−−ÏOC.
Bài 8. Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm hình hộp.
a) Phân tích véc tơ −ÏBI theo ba véc tơ −ÏFE,−ÏFG,−ÏFI .
b) Phân tích véc tơ −ÏOI và −ÏAG theo ba véc tơ −ÏOA,−−ÏOC,−−ÏOD.
Bài 9. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Phân tích véc tơ −ÏAE,−ÏAG theo ba véc tơ−ÏAC,−ÏAF,−−ÏAH .
Vấn đề 3: Tích vô hướng của hai véc tơ
Để tính tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian thì ta áp dụng công thức sau:
~u.~v = |~u|.|~v|. cos(~u, ~v)
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′.
a) Xác định góc giữa các cặp véc tơ sau: −ÏAB và −−ÏA′C′, −−ÏA′D′ và −ÏAB, −−ÏAC′ và −ÏBD.
b) Tính các tích vô hướng của các cặp véc tơ ở phần a).
Bài 2. Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB ⊥ BD. Gọi P,Q lần lượt là các điểmthuộc đường thẳng AB,CD sao cho −ÏPA = k−ÏPB,−−ÏQC = k−−ÏQD,k 6= 1. Chứng minhrằng −ÏAB ⊥ −−ÏPQ
TEX Page 6
§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
2.1. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng
Véc tơ ~a 6= 0 gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặctrùng d.
2.2. Góc giữa hai đường thẳng
• a′ ‖ a, b′ ‖ bÑ (â, b) = ([a′, b′)
• Giả sử ~u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a, ~v là véc tơ chỉ phương của đườngthẳng b, (~u, ~v) = α. Khi đó:
(â, b) = { α nếu 0◦ ≤ α ≤ 90◦180◦ − α nếu 90◦ < α ≤ 180◦
• Nếu a ‖ b hoặc a ≡ b thì (â, b) = 0◦.
2.3. Hai đường thẳng vuông góc
• a ⊥ b⇔ (â, b) = 90◦.
• Giả sử ~u, ~v lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a, b.Khi đó: a ⊥ b⇔ ~u.~v = 0.
• Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Vấn đề 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc người ta có thể sử dụng một trong cáccách sau:
• Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó có số đo bằng 90◦.
• Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của chúng vuông góc với nhau.
• Sử dụng tính chất của hình phẳng (như định lí Pi - ta - go).
• Sử dụng mệnh đề: “Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đườngthẳng song song thì nó vuông góc với đường còn lại”.
TEX Page 7
Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và[ASB =[BSC =[CSA.Chứng minh rằng: SA ⊥ BC, SB ⊥ CA, SC ⊥ AB.
Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếptam giác BCD.
a) Chứng minh AO ⊥ CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BM .
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
a) Chứng minh rằng mỗi đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện thìvuông góc với hai cạnh đó.
b) Tính góc hợp bởi các cặp cạnh đối của tứ diện.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SABlà tam giác vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh AD không trùng với A và D.Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tạiN, P, Q.
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông.
b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minhrằng: AC ⊥ B′D′, AB′ ⊥ CD′ và AD′ ⊥ CB′.
TEX Page 8
§3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
3.1. Định nghĩa
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đườngthẳng nằm trong (α).
d ⊥ (P)⇔ d ⊥ a,∀a ⊂ (P)
3.2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì nó vuông góc với mặtphẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau ấy.a, b ⊂ (P);a ∩ b 6= ?d ⊥ a, d ⊥ b Ñ d ⊥ (P)
3.3. Tính chất
• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳngtại trung điểm của nó.
•
a ‖ b(P) ⊥ a Ñ (P) ⊥ b
•
(P) ‖ (Q)a ⊥ (P) Ñ a ⊥ (Q)
•
(P) 6= (Q)(P) ⊥ a, (Q) ⊥ a Ñ (P) ‖ (Q)
•
a ‖ (P)b ⊥ (P) Ñ b ⊥ a
•
a 6= ba ⊥ (P), b ⊥ (Q) Ñ a ‖ b
•
a 6⊂ (P)a ⊥ b, (P) ⊥ (b) Ñ a ‖ (P)
3.4. Định lí ba đường vuông góc
Cho a 6⊥ (P), b ⊂ (P), a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó: b ⊥ a⇔ b ⊥ a′
3.5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Nếu d ⊥ (P) thì góc giữa d và (P) bằng 90◦.
• Nếu d 6⊥ (P) thì góc giữa đường thẳng d với (P) chính là góc giữa đường thẳng dvà d′ với d′ là hình chiếu của d trên (P).
TEX Page 9
Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90◦.
Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặtphẳng và hai đường thẳng vuông góc
• Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
– Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
– Chứng minh d ⊥ (Q) và (P) ‖ (Q).
– Chứng minh d ‖ a và a ⊥ (P).
• Để chứng minh d ⊥ d, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
– Chứng minh d ⊥ (P) và (P) ⊃ a.
– Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
– Sử dụng các phương pháp đã biết ở phần trước.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA ⊥ (ABCD). GọiH, I,K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC, SD.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC).b) Chứng minh AH ⊥ SC,AK ⊥ SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH,AI, AKcùng thuộc một mặt phẳng.c) Chứng minh HK ⊥ (SAC). Từ đó suy ra: HK ⊥ AI .
Bài 2. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, SA ⊥ (ABC).
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB).b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH ⊥ SC.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD).b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA,BC. Chứng minh rằng IJ ⊥(SBD).
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi I là trung điểmcủa BC.
a) Chứng minh BC ⊥ (AID).
TEX Page 10
b) Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD).
Bài 5. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hìnhchiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC nhọn.
b) BC ⊥ (AOH).
c) H là trực tâm tam giác ABC.
d) 1OH2 = 1OA2 + 1OB2 + 1OC2 .
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tamgiác đều, SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của ABvà CD.
a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ . Chứng minh rằng SH ⊥ AC.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theoa.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tamgiác đều và SC = a√2. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AD.
a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh AC ⊥ SK,CK ⊥ SD.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a,BC = a√3,mặt bên SBC là tam giác vuông tại B, mặt bên SCD là tam giác vuông tại D vàSD = a√5.
a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD) và tính độ dài SA.
b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt BC lần lượt tại I, J . Gọi H là hìnhchiếu của A trên SC. Xác định các giao điểm K,L của đường thẳng SB, SD vớimặt phẳng (HIJ). Chứng minh rằng AK ⊥ (SBC), AL ⊥ (SCD).
c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài 9. Cho tam giác MAB vuông tại M nằm trong mặt phẳng P). Trên đường thẳngvuông góc với (P) tại A lấy hai điểm C,D ở hai bên điểm A. Gọi C′ là hình chiếucủa C trên MD, H là giao điểm của AM và CC′.
a) Chứng minh CC′ ⊥ (MBD).
TEX Page 11
b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AB. Chứng minh rằng K là trựctâm của tam giác BCD.
Bài 10. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: AB ⊥ CD ⇔ AC2−AD2 = BC2−BD2.
Vấn đề 2: Tìm thiết diện qua một điểm và vuông gócvới một đường thẳng
Để tìm thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng, ta đi tìm haiđường thẳng cắt nhau và cùng vuông góc với đường thẳng đã cho. Khi đó, mặt phẳngcắt sẽ song song (hoặc chứa) với hai đường thẳng ấy.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A,B với AB = BC =a,AD = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = 2a. Gọi M là một điểm trên cạnh AB, mặt phẳng(P) qua M và vuông góc với AB. Đặt AM = x, (0 ≤ x ≤ a).
a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện đó là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a, x.
Bài 2. Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = 2a.Mặt phẳng (P) qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với (P) vàtính diện tích của nó.
Bài 3. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA ⊥ (ABC)và SA = a√3. M là một điểm tùy ý trên cạnh AB, đặt AM = x, (0 < x < a). Gọi (P)là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P).
b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a, x. Tìm x để diện tích thiết diện là lớnnhất.
Bài 4. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = a.Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện đó,trong các trường hợp sau:
a) (P) qua S và song song với BC.
b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC.
c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB.
TEX Page 12
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) vàSA = a√2. Vẽ đường cao AH của tam giác SAB.
a) Chứng minh rằng SHSB = 23 .b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Mặt phẳng (P) cắt hình chóptheo một thiết diện là hình gì? Hãy tính diện tích của thiết diện đó.
Vấn đề 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta cần:
• Tìm giao điểm O của d với (P).
• Chọn điểm A 6= O thuộc d và dựng điểm H là hình chiếu của A trên (P). Khi đó,góc cần tìm chính là\AOH .
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD. GọiM,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,BC.Biết góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (ABCD) bằng 60◦.
a) Tính độ dài MN,SO.
b) Tính góc giữa MN với mặt phẳng (SBD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) vàSA = a√6. Tính góc giữa:
a) SC và (ABCD)
b) SC và (SAB)
c) SB và (SAC)
d) AC và (SBC)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD), SC = a vàSC hợp với đáy một góc α, hợp với mặt bên một góc β.
a) Tính độ dài SA.
b) Chứng minh rằng AB =√cos(α+ β) cos(α− β).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân với AB = AC = a,[BAC = α.Biết SA, SB, SC đều hợp với mặt đáy một góc α.
a) Chứng minh rằng hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường trònngoại tiếp ∆ABC.
b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
TEX Page 13
Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA′ ⊥ (ABC)và đường chéo BC′ hợp với mặt bên ABB′A′ một góc 30◦.
a) Tính độ dài AA′.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của cạnh AC đến mặt phẳng (BA′C′).
TEX Page 14
§4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
4.1. Góc giữa hai mặt phẳng
•
a ⊥ (P)b ⊥ (Q) Ñ (\(P), (Q)) = (â, b)
• Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c dựnga ⊂ (P), a ⊥ cb ⊂ (Q), b ⊥ c Ñ (\(P), (Q)) = (â, b)
Chú ý: 0◦ ≤ (\(P), (Q)) ≤ 90◦.
4.2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) nằm trong mặt phẳng (P), S′ là diện tích hình chiếu(H′) của (H) trên (Q) và góc giữa (P) và (Q) bằng φ. Khi đó, S′ = S. cosφ.
4.3. Hai mặt phẳng vuông góc
• Hai mặt phẳng gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90◦.
• Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là trên mặt phẳng nàycó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
4.4. Tính chất
•

(P) ⊥ (Q)(P) ∩ (Q) = ca ⊂ (P), a ⊥ c
Ñ a ⊥ (Q)
•

(P) ⊥ (Q)A ∈ (P)a ⊥ (Q), A ∈ a
Ñ a ⊂ (P)
•

(P) ∩ (Q) = a(P) ⊥ (R)(Q) ⊥ (R)
Ñ a ⊥ (R)
TEX Page 15
Vấn đề 1: Góc giữa hai mặt phẳng
Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
• Tìm hai đường thẳng a, b sao cho a ⊥ (P) và b ⊥ (Q). Khi đó, góc cần tìm chínhlà góc giữa hai đường thẳng a và b.
• Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c dựnga ⊂ (P), a ⊥ cb ⊂ (Q), b ⊥ c Ñ (\(P), (Q)) = (â, b)
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân với AB = BC = a,SA ⊥ (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF ) và (SBC).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đườngkính AB = 2a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a√3.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA =a√3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O. Biết SA ⊥ (ABCD), OB =a√3 và SO = a
√63 .a) Chứng minh rằng tam giác SAC vuông.
b) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và SAD vuông góc.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), SA = a√2 và đáy ABCD là hìnhthang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các mặt phẳngsau:
TEX Page 16
a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD)
Vấn đề 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc vàđường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta có thể chứng minh bởi một trongcác cách sau:
– Chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặtphẳng kia.
– Chứng minh góc giữa chúng bằng 90◦
• Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), ta có thể chứngminh bởi một trong các cách sau:
– Chứng minh d ⊂ (Q) với (P) ⊥ (Q) và d vuông góc với giao tuyến c của (P)và (Q).
– Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P), (R) ⊥ (P).
– Sử dụng các phương pháp chứng minh đã học ở phần trước.
Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trênđường thẳng vuông góc với (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a√6. Chứngminh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
Bài 2. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với mặtphẳng (BCD). Vẽ các đường cao BE,DF của tam giác BCD, đường cao DK của tamgiác ACD.
a) Chứng minh rằng AB ⊥ (BCD).
b) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mặt phẳng(ADC).
c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của tam giác BCD và ADC. Chứng minh rằngOH ⊥ (ACD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
TEX Page 17
c) Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh rằng (ACF ) ⊥(SBC), (AEF ) ⊥ (SAC).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). GọiM,Nlần lượt là hai điểm trên cạnh BC,DC sao cho BM = a2 , DN = 3a4 . Chứng minhrằng (SAM) ⊥ (SMN).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tamgiác đều và vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng SI ⊥ (ABCD), AD ⊥ (SAB).
b) Tính góc giữa BD với (SAD).
c) Tính góc giữa SD với (SCT).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm I cạnh a và có [BAD =60◦, SC = a√62 và SC ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh rằng (SBD) ⊥ (SAC).
b) Trong tam giác SAC kẻ IK vuông góc với SA tại K. Tính độ dài IK.
c) Chứng minh[BKD = 90◦. Từ đó suy ra (SAB) ⊥ (SAD).
TEX Page 18
§5. KHOẢNG CÁCH
5.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng, mặt phẳng được tính bởi công thứcsau: d(M,a) = MH, d(M, (P)) = MH
trong đó, H là hình chiếu vuông góc của M trên a hoặc (P).
5.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữahai mặt phẳng song song
• d(a, (P)) = d(M, (P)), trong đó M là một điểm bất kì nằm trên a.
• d((P), (Q)) = d(M, (Q)), trong đó M là một điểm bất kì nằm trên (P).
5.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Đường thẳng ∆cắt cả hai đường thẳng a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi làđường vuông góc chung của a, b.Khi đó, giả sử ∆ cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại I, J thì đoạn IJ gọi là đoạnvuông góc chung của a, b.
• Độ dài đoạn IJ gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một tronghai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặtphẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
TEX Page 19
Vấn đề 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau
Để dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b ta có thể thựchiện một trong các cách sau:
• Giả sử a ⊥ b:
– Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b và vuông góc với đường thẳng atại A.
– Dựng AB vuông góc với b tại B.Khi đó, AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b.
• Sử dụng mặt phẳng song song:
– Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
– Chọn M ∈ a, dựng MH ⊥ (P) tại H .
– Từ H kẻ đường thẳng a′ ‖ a cắt b tại B.
– Từ B, dựng đường thẳng song song với MH , cắt a tại A.Khi đó, AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b.
• Sử dụng mặt phẳng vuông góc:
– Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a