Hệ thức lượng trong tam giác

 GV: Ninh Văn Hữu
 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Các kí hiệu trong tam giác 
 BC = a; AC = b; AB = c 
 ha = AH1; hb = BH2; hc = CH3 
 ma = AM1; mb = BM2; mc= CM3 
 R : bán kính đường trón ngoại tiếp tam giác. 
 r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
 	 p = nửa chu vi. 
 * Các góc ở đỉnh A,B,C được kí hiệu là A, B, C. 
 * ma là đường trung tuyến nối từ đỉnh A. 
2. Định lý cosin trong tam giác
 Với mọi tam giác ABC ta có: 
 a2 = b2+ c2 - 2bcCosA ; b2 = a2 + c2 - 2acCosB ; c2 = a2 + b2 - 2abCosC 
 Ví dụ: Cho tam giác ABC có b= , c = 5 và cosA=. Tính cạnh còn lại. 
3. Định lý sin trong tam giác
 Trong tam giác ABC ta có: a=2RsinA; b= 2RsinB;c= 2RsinC 
hay 
 Ví dụ: Tìm R biết A = 600; b=8cm; c = 5 cm. 
4. Định lý trung tuyến 
5. Các công thức tính diện tích
 Cho tam giác ABC thì diện tích được tính theo một trong các công thức sau: 
 . SABC = =
 . SABC = = 
 . SABC = 
 . SABC = pr 
 . SABC =
* Hệ thức lượng trong tam giác vuông
	Cho D ABC vuông tại A, đường cao AH
Ta có các hệ thức sau:
BÀI TẬP 
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH. 
 Tính AH; CH; BH; BC nếu biết AB = 3; AC = 4. 
Bài 2 : Cho hình thang ABCD với đường cao AB. Biết rằng AD = 3a; BC = 4a; 
 góc BDC = 900. Tính AB; CD; AC. 
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại C, CD là đường cao, DA = 9; DB = 16. 
 Tính CD ; AC ; BC. 
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, AH là đường cao (HBC). 
 Gọi I là điểm thuộc AB sao cho AI = 2BI, CI cắt AH tại E. Tính CE .
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A , . Đường cao AH = 6. 
 Tính HB ; HC ; AB ; AC. 
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao , BH = 1, AC = . 
 Tính AB ; BC ; AH. 
Bài 7 : Cho tam giác ABC. Tính ha , R , r nếu biết :
AC = 8 ; AB = 5 ; góc A = 600. 
BC = 21 ; CA = 17 ; AB = 8 . 
BC = 2 ; AC = 3 ; AB = 4 . 
a = ; b = 2 ; c = + 1. 
a = 7 ; b = 5 ; c = 8 . 
a = 2 ; b = 2 ; c = . 
a = 4 ; b= 6 ; c = 8 . 
Bài 8 : Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 3. Trên đoạn AB,BC lần lượt lấy các 
 điểm M, K sao cho BM = 2, BK = 2. Tính MK. 
Bài 9 : Cho tam giác ABC có cosA = ,D thuộc cạnh BC sao cho ABC = DAC, 
 DA = 6 , BD = . Tính chu vi tam giác ABC. 
Bài 10 : Cho tam giác ABC biết a = 4, b = 3, c = 2 , M là trung điểm AB. Tính bán 
 kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. 
Bài 11 : Tính góc A của tam giác ABC , biết rằng: b(b2-a2) = c(a2-c2). 
Bài 12 : Cho tam giác ABC có b = 4, c = 3 , S=. Tính cạnh a. 
Bài 13 : Cho tam giác ABC có b = 6, c = 7 , C = 600. Tính cạnh a.
Bài 14 : Cho tam giác ABC vuông ở B, kéo dài AC về phía C một đoạn CD=AB=1 
 góc CBD = 300 . Tính AC. 
Bài 15 : Cho tứ giác ABCD có ABC = ADC = 900, AB = a, AD = 3a, BAD = 600
 Tính AC. 
Bài 16 : Cho tam giác ABC có A = 600, hc= , R = 5. Tính a, b, c. 
Bài 17 : Cho tam giác ABC có B < 900, AQ và CP là hai đường cao và PQ=
 . Tính cosB và R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
Bài 18 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, M là trung điểm AC. Tính 
 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM.
Bài 19 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3 . Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 1 
Tính độ dài đoạn thẳng AM và Cosin của góc AMB. 
Tính bk đường tròn ngoại ,nội tiếp tam giác ABM. 
Tính độ dài trung tuyến vẽ từ C của tam giác ACM.
Bài 20 : Cho tam giác ABC với A=600 bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng và bán kính đường tròn nội tiếp bằng . Tính diện tích và chu vi tam giác. 
Bài 21 : Cho tam giác ABC, biết sinA = ( 00 < A < 900 ), b = 3 , c = . 
 Tính bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác.
Bài 22 : Cho tam giác ABC cân có AB =AC =5a;BC = 5a. Gọi M là trung điểm BC, 
 Gọi NAB và AN = a. 
Tính MN. 
Tính bán kính đường tròn nội ,ngoại tiếp tam giác AMN. 
Bài 23 : Cho tam giác ABC đều có cạnh 4a ,lấy DBC ; EAC ; FAB sao cho 
 BD = x ( 0 < x <4a ) , AE = a ; AF = 3a 
Tính EF. 
Xác định x để tam giác DEF vuông tại F.
Bài 24* : Cho tam giác ABC vuông tại C, AD là đường phân giác trong, BD = 4 ,
 CD = 3 . Tính AB ; BC ; AC. 
Bài 25 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Vẽ đường cao AH, BK. 
 Tính BK biết BC = 4 ; AH = 2. 
Bài 26 : Cho hình thang vuông ABCD ( đường cao AB ) ngoại tiếp đường tròn 
 đường kính r , cho góc C = 600. Tính các cạnh của hình thang. 
Bài 27:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong AD chia cạnh huyền 
 thành những đoạn thẳng có độ dài bằng và . Tính các cạnh góc vuông 
 và đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông. 
Bài 28 : Cho hình vuông ABCD. Đường thẳng qua A cắt BC tại M và đường thẳng 
 cắt CD tại I. Tính AB biết AM = 3, AI = 2. 
Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh BC. Tính 
 MA biết MB = 1, MC = 4. 
Bài 30 :Cho tam giác ABC có góc A = 600,đường cao AH (H nằm khoảng giữa BC) 
 Tính AH biết BH = 2a, CH = a. 
Bài 31 : Cho tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2 Tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
 Bài 32 :ABC vuông tại A . Biết , đường cao AH = 30cm. Tính HB,HC	
Bài 33 : Cho ABC vuông tại A ,vẽ đường cao AH , biết chu vi ABH là 30cm, chu vi ACH là 40cm. Tính chu vi ABC.
Bài 34 :Cho D ABC. Biết
a. AB = 5 ; AC = 8 ; = 60o . 	Tính BC
b. BC = 6 ; AC = 2 ; AB = 3 - . Tính ; ; 
Bài 35: Cho có .Tính;
a. Góc BAC 
b. ,R,r
c. Trung tuyến AM? Đường cao AH ?
Bài 36: Cho có 
 Tính : 
Bài 37: Cho có 
 Tính: ?
Bài 38: Cho D ABC có AB = 5, AC = 8, BC = 7.
Tính , S, AH, R, r, trung tuyến CK
Bài 39: Cho D ABC có AB = 10, AC = 16, = 60o.
Tính BC, S, AH, R, r, trung tuyến AM
Bài 40 Cho D ABC có AB = 13, AC = 8, BC = 7
Tính , S, AH, R, r, trung tuyến AM