Giáo án tự chọn Toán 9 - Trường THCS Chu Văn An

ậy : Với a ³ 0 , ta có :
Nếu x = thì x ³ 0 và x2 = a
Nếu x³ 0 và x2 = a thì x = 
Ta viết : 
Ví dụ : Điền vào ô trống trong bảng sau 
m
121
1
2,25
7
0,4
1,3
Giải :
m
 49
121
0,16
1
2,25
1,69
7
11
0,4
1
1,5
1,3
 3)So sánh các căn bậc hai số học :
+Định lý : Với hai số a, b không âm, ta có : a < 
Ví dụ : So sánh : a) và 2 ; b) 3+ 5 và 9 ; c) + và 
Giải :
Ta có : 2 = , mà 4 < hay 2 < 
Giả sử : 3+ 5 > 9 
 3 > 9 – 5 
 3 > 4 
 (3)2 > 42 
 9.2 > 16 
 18 > 16 (đúng) 
 	Vậy 3+ 5 > 9 
Giả sử + ³ 
 ( + )2 ³ ()2
 	 8 + 2 + 11 ³ 38 
 19 + 2 ³ 38 
 2 ³ 19 
 (2)2 ³ 192 
 4.88 > 361 
 352 ³ 361 (Vô lý) .
 Vậy + < 
 4)Căn thức bậc hai :
a) Thế nào là căn thức bậc hai ?
+Nếu dưới dấu căn là một biểu thức đại số thì ta nói đó là một căn thức bậc hai.
Ký hiệu : ( Căn thức bậc hai) - A : biểu thức dưới dấu căn hay biểu thức lấy căn.
b)Căn thức bậc hai được xác định như thế nào ?
+ xác định (có nghĩa) A ³ 0
c)Hằng đẳng thức = | A| 
Chứng minh định lý : Với mọi số thực a, ta có : = | a|
+Hướng dẫn HS chứng minh : 
-Để chứng minh = | a| ta phải chứng minh như thế nào ?
(Ta phải chứng minh |a| là căn bậc hai số học của a, nghĩa là ta chứng minh |a| thỏa mãn hai điều kiện : |a| là một số không âm và khi bình phương thì bằng a2)
-Vì sao |a| là một số không âm ? (vì theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số)
-Để chứng minh |a| bình phương thì bằng a2 ta cần chú ý điều gì ? ( xét các trường hợp của a : Trường hợp a ³ 0 và a < 0)
-Nếu a ³ 0 thì ta có kết luận gì về giá trị tuyệt đối của a ? ( Nếu a ³ 0 thì |a| = a ).
-Nếu a < 0 thì ta có kết luận gì về giá trị tuyệt đối của a ? (Nếu a < 0 thì |a| = - a)
+HS trình bày chứng minh :
Ta có : |a| ³ 0 – Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của a.
Nếu a ³ 0 => |a| = a => (|a|)2 = a2
Nếu a |a| = - a => (|a|)2 = (- a)2 = a2
Do đó (|a|)2 = a với mọi số a
Vậy |a| chính là căn bậc hai số học của a2, tức là = | a|
Nếu A là một biểu thức thì ta cũng có : = | A| 
Nghĩa là : = A nếu A ³ 0 (tức là A lấy các giá trị không âm, hay các giá trị của biến có trong A làm cho giá trị A không âm)
 	 = - A nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm, hay các giá trị của biến có trong A làm cho giá trị A âm)
Tổng quát : = | A| = 
Ví dụ 1 : Tính : 	a) 3 , 	b) , 	c) 
Giải :
a)
b)
c)
Ví dụ 2 : Rút gọn 
a) ; 	b) 
Giải :
a) 
b)
 = 
Ví dụ 3 : Rút gọn
a) , 	 b) 
Giải :
a) 
= 
b)
= 
 4)Nhắc lại và bổ sung : 
a)
b)
c) 
d) Với A ³ 0, ta có : x2 Ê A2 |x| Ê A - A Ê x Ê A
 x2 ³ A2 |x| ³ A 
ii/Các bài tập luyện tập :
Dạng 1 : Tìm giá trị của biến để căn thức bậc hai có nghĩa :
Phương pháp giải : có nghĩa A(x) ³ 0, giải bất phương trình bậc nhất này ta tìm được các giá trị của x để xác định .
Các bài toán luyện tập :
1)Với giá trị nào của a thì các biểu thức sau có nghĩa
a) ;	 b) ; 	c) 
Giải :
a) có nghĩa ³ 0 => a ³ 0
b) có nghĩa 4 – 7a ³ 0 => 7a Ê 4 => a Ê 
c) có nghĩa => a < 5 .
2)Tìm x để các căn thức sau có nghĩa :
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 
Giải :
a)Ta có : x2 ³ 0 (với mọi x) => x2 + 61 > 0 => không có giá trị nào của x để có nghĩa => x ẻ ặ
b) có nghĩa - 4x2 ³ 0 => x = 0
c) có nghĩa x2 – 4 ³ 0 => x2 ³ 4 => |x| = 2 => 
d) có nghĩa 9 – x2 ³ 0 => x2 Ê 9 => |x| Ê 3 => - 3 Ê x Ê 3
e) Ta có x2 ³ 0 (với mọi x) => x2 + 1 > 0 => có nghĩa với mọi x ẻ R
f) Ta có x2 ³ 0 (với mọi x) => x2 + 1 > 0 => (với mọi x) => có nghĩa với mọi x ẻ R
Dạng 2 : Rút gọn biểu thức 
Phương pháp giải : Vận dụng hằng đẳng thức = | A| = 
Các bài toán luyện tập :
Rút gọn các biểu thức sau :
a) A = ;	 b) B = ; 
c) C = ; 	 d) D = 
Giải :
a) A = = 
b) B = 
 = 
c) C = 
 = 
d) D = 
 = 
Dạng 3 : So sánh các căn bậc hai số học
Phương pháp : Sử dụng định lý : Với hai số a, b ³ 0, ta có : a < 
Các bài toán luyện tập 
1)So sánh 
a) với 7 ; b) với + 5 ; c) với 15 ; d) với – 30 
Giải :
a) Ta có và , do đó < 7
b) Ta có : và , do đó < + 5 
c) Ta có : , do đó > 15 
d) Ta có : 
2)So sánh :
a) và ; 	b) và 
Giải :
a) Ta có : 
Vậy > 
b) Giả sử : 
Vậy > 
Dạng 4 : Chứng minh đẳng thức 
Phương pháp : Vận dụng định nghĩa căn bậc hai số học, định lý về so sánh căn bậc hai số học và hằng đẳng thức :
+ 
+ Với hai số a, b không âm, ta có : a < 
+ = | A| = 
để biến đổi vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái, hoặc hai vế về cùng một biểu thức .
Các bài toán luyện tập
1)Chứng minh rằng : 	 ; 	 là các số vô tỉ.
Giải :
(Dùng phương pháp phản chứng)
Giả sử là số hữu tỉ, được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản , 
tức là = => ( = => 3n2 = m2 (1) . Điều này chứng tỏ m2 3.
Mà 3 là số nguyên tố, nên m 3. Vì m 3 (2) => m = 3m’ (m’ ẻ Z) => m2 = (3m’)2 hay m2 = 9m’2 (3) . Từ (1) và (3) => 3n2 = 9m’2 => n2 = 3m’2, điều này chứng tỏ n2 3.
Mà 3 là số nguyên tố, nên n 3 (4).
 Từ (2) và (4) => phân số chưa tối giản (vì m và n còn có ước chung là 3). Điều này trái với giả thiết là tối giản . Vậy là số vô tỉ.
(Tương tự ta chứng minh trường hợp )
2) Cho a > 1. Chứng minh rằng : a) Nếu a > 1 thì a > 
 b)Nếu a < 1 thì a < 
Giải :
(áp dụng định lý : Với hai số a, b không âm, ta có : a < )
a)Nếu a > 1 thì a > .
Vì a > 1 => > hay > 1. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cho (vì > 0)
Ta được a > (đpcm)
b)Chứng minh tương tự ta được : Nếu a < 1 thì a < .
3)Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số hữu tỉ dương thỏa mãn điều kiện - = c thì , là các số hữu tỉ . 
Giải :
Ta có : a – b = ()2 – ()2 = (- )(+ )
Mà - = c là số hữu tỉ (1) , nên + = số hữu tỉ (2)
Từ (1) và (2) => , là các số hữu tỉ
4)Với n ẻ N, chứng minh đẳng thức : + = (n + 1)2 – n2.
Giải :
Vế trái : + = |n + 1| + |n| = n + 1 + n = 2n + 1 (1)
Vế phải : (n + 1)2 – n2 = n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1 (2)
Từ (1) và (2) => + = (n + 1)2 – n2.
Với n = 1 thì + = 4 – 1 
Với n = 2 thì + = 9 – 4 
...
Với n = 7 thì + = 64 – 49 
Dạng 5 : Giải các phương trình sau :
a) 
b) 
c)
Giải :
a) 
Vậy S = { – 2 ; 3}
b) 
Vậy S = 
c)
Dạng 6 : Bài toán tìm cực trị 
Phương pháp : Vận dụng |A| ³ A . Dấu “=” xảy ra A ³ 0
1)Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a)
b)
Giải :
a) A = = 
 	 = 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi – 5 Ê x Ê 3
b) B = = 
 = | x + 2| + | x – 1| + | x – 7| ³ x + 2 + 0 + 7 – x = 9
(Vận dụng kiến thức : |A| ³ A A ³ 0 ; |B| ³ 0. Dấu “=” xảy ra khi B = 0)
Dấu “=” xảy ra 
Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi x = 1
III/Các bài toán kiểm tra :
1)Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
a) ; 	b) 
2)Rút gọn biểu thức :
a) (với a ³ 0) ;	 b) (với mọi a)
3)Giải phương trình :
a) 
b) 
4)Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì : - Ê x + y Ê 
5)Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : x + y + z + 8 = 2+ 4+ 6
Hướng dẫn biểu điểm và đáp án
Bài 1(2đ)
a) có nghĩa x2 – 3x + 2 ³ 0 (x – 1)(x – 2) ³ 0. (0,5đ)
Suy ra :
Hoặc (0,25đ) hoặc (0,25đ)
Vậy với x Ê 1 hoặc x ³ 2 thì có nghĩa (0,25đ)
b) có nghĩa x2 + 4x + 5 = x2 + 4x + 4 + 1(0,25đ) 
 = (x + 2)2 + 1 > 0 với mọi x (0,25đ) 
Vậy xác định với mọi x (0,25đ)
Bài 2 (2đ)
a) = |8a| + 2a (0,25đ) = 10a (vì a ³ 0) (0,25đ)
b) (với mọi a) = 3.|3a3| - 6a3 (0,5đ) = (0,5đ)
 = (0,5đ)
Bài 3 (3đ) Giải phương trình
a) | x – 1| + | x – 2| = 3 (0,25đ)
+Nếu x (1 – x) + ( 2 – x) = 3 (0,25đ)
 	 3 – 2x = 3 - 2x = 0 => x = 0 (thỏa) (0,25đ)
+Nếu 1 Ê x Ê 2 thì | x – 1| + | x – 2| = 3 (x – 1) + (2 – x) = 3(0,25đ) 
 x – 1 + 2 – x = 3 => 0x = 4 (VN) (0,25đ)
+Nếu x > 2 thì | x – 1| + | x – 2| = 3 (x – 1) + (x – 2) = 3 (0,25đ)
 x – 1 + x – 2 = 3 2x = 6 => x = 3(thỏa) (0,25đ)
Vậy S = { 0 ; 3 }
b) (0,5đ) 
 	 (0,5đ) (025đ)
Vậy S = { - ; 1 }
Bài 4(1đ) Chứng minh rằng : nếu x2 + y2 = 1 thì : - Ê x + y Ê 
Ta có : (x – y)2 ³ 0 x2 + y2 ³ 2xy (0,25đ)
Vì x2 + y2 = 1 => 2xy Ê 1 => x2 + y2 + 2xy Ê 1 + x2 + y2 (0,25đ)
 x2 + y2 + 2xy Ê 1 + 1 (x + y)2 Ê 2 |x + y| Ê (0,25đ) 
 - Ê x2 + y2 Ê (0,25đ).
Bài 5 (2đ)Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : 
 x + y + z + 8 = 2+ 4+ 6 (1)
+Điều kiện : x ³ 1, y ³ 2 , z ³ 3 (0,5đ)
 x – 1 – 2 + 1 + y – 2 – 4 + 4 + z – 3 - 6 + 9 = 0 (0,5đ)
 (x – 1 – 2 + 1) + (y – 2 – 4 + 4) + (z – 3 - 6 + 9) = 0 
 [()2 – 2 + 1] + [()2 – 4 + 22] + [()2 - 6 + 32] = 0 
 ( - 1)2 + ( - 2)2 + ( - 3)2 = 0 (0,5đ)
=> (0,25đ) (0,25đ)
Vậy x = 2 ; y = 6 và z = 12
Đ2. liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương
Thời lượng : 6 tiết
I/Tóm tắt kiến thức cơ bản :
 1)Phát biểu định lý về liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương .
+Với hai số a, b không âm, ta có : 
 - Muốn chứng minh được định lý này ta phải làm gì ?
+Ta chứng minh rằng là căn bậc hai số học của tích a.b
 - Với điều kiện nào thì là căn bậc hai số học của tích a.b ?
+ phải thỏa mãn hai điều kiện : 
 2)Phát biểu qui tắc khai phương một tích.
+Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân kết quả với nhau.
Ví dụ : áp dụng qui tắc khai phương một tích, hãy tính :
a) ; 	b) ; 	c) 
Giải :
a) 
b) 
c) 
 3)Phát biểu qui tắc nhân các căn bậc hai.
+Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
Ví dụ : Tính 
a) ;	b) ; 	c) 
Giải :
a) 
b) 
c) Ta có – 3 < 0 ; – 27 < 0 , do đó và vô nghĩa, nên tích không tồn tại 
Tổng quát : với A ³ 0 , B ³ 0
Đặc biệt , với A ³ 0 => 
Cần phân biệt : với 
+ điều này có nghĩa là A ³ 0
+ xác định với mọi A
 4)Phát biểu định lý về liên hệ giữa phép chia và phép khai phương.
+ Với hai số a không âm và b dương, ta có 
Để chứng minh định lý này ta chứng minh tương tự như định lý về liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương.
 5)Phát biểu qui tắc khai phương một thương :
+Muốn khai phương một thương , trong đó a ³ 0 và b > 0, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
Ví dụ : áp dụng qui tắc khai phương một thương, tính :
a) ; 	b) ; 	c) 
Giải :
a) 
b) 
c) 
 6)Phát biểu qui tắc chia hai căn bậc hai .
+Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
Ví dụ : Tính 
a) ; 	b) ; 	c) ; 	d) 
Giải :
a) 
b) 
c) 
d) 
Tổng quát : với A ³ 0 , B > 0
II/Các bài toán luyện tập :
Dạng 1 : Thực hiện phép tính
Phương pháp : Vận dụng các qui tắc khai phương một tích, nhân các căn bạc hai, khai phương một thương và chia hai căn bậc hai. 
* với A ³ 0 , B ³ 0
* với A ³ 0 , B > 0
1)Tính :
a) A =; 	b) B = ; 
c) C = 	 d) D = ; 
e) E = ; 	 f) F = 
Giải :
a) A =
 = (vì )
b) B = 
 = (vì 2 < )
c) C =
 = 
 = 
d)D =
 = .
e) E = 
f) F = 
Dạng 2 : Rút gọn biểu thức
Phương pháp : Dùng các qui tắc khai phương một tích, khai phương một thương, nhân các căn bậc hai, chia các căn bậc hai.
Rút gọn các biểu thức sau :
a) A = ; 	b) B = ;
c) C = ; 	d) D = 
Giải :
a) A = 
b) B = 
 = 
c) C = 
d) D = 
 = 
 = 
Dạng 2 : Rút gọn biểu thức 
a) A = ; b) B = với x < 2y < 0
Giải :
a) Điều kiện x ạ ± y
A = 
 = 
b) Với x < 2y < 0
B = 
Dạng 3 : Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
a) A = 	(với x < 5) tại x = 4. 
b) B = 	( x ³ 0) tại x = 
Giải :
a) A = 
 = 
Do x = 4 < 5 , nên A = 
b) B = 
Do x ³ 0 và x = , nên B = 
Dạng 4 : Chứng minh đẳng thức
Cho a > 0, b > 0 . Chứng minh rằng 
a) . Từ đó suy ra 
b) 
c) 
Giải :
a) Ta có : (1)
 (2)
Vì a > 0 , b > 0, nên 2 > 0 (3)
Từ (1), (2) và (3) => hay (đpcm)
áp dụng : Đặt a = 2004, b = 2005 => 
b) (BĐT đúng)
Vậy (Bất đẳng thức Côsi)
c) Giả sử : 
 (BĐT đúng)
Vậy : 
Dạng 5 : So sánh các căn bậc hai
1)So sánh : 
a) và ; 	b) và ; 	 c) 18 và 
Giải :
a)Ta có : (1)
 và (2)
Mà 180 
Vậy < 
b) Ta có (1)
 và (2)
Mà 768 > 720 
Vậy và 
Ta có : 182 = 324 và 324 > 255 
 182 > 
Vậy 18 > 
Cách khác : 
Vậy 18 > 
Dạng 6 : Giải phương trình 
a)1 + = 3x;	b) ; 
c) ; 	d) 
Giải :
a) Điều kiện : 3x + 1 ³ 0 x ³ 
1 + = 3x
Chuyển vế ta được : = 3x - 1
Bình phương hai vế : 3x+ 1 = 9x2 – 6x + 1
 9x2 - 9x = 0 9x.(x - 1) = 0
 9x = 0 hoặc x +-1 = 0
 x = 0 (loại ) hoặc x = 1
Phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 .
b) Điều kiện 
Bình phương hai vế ta được : 2 + = x + 1 
 = x – 1 . Tiếp tục bình phương hai vế : 3x - 5 = x2 – 2x + 1
Chuyển vế : x2 – 5x + 6 = 0 x2 – 2x - 3x + 6 = 0 (x2 – 2x) – (3x – 6) = 0
 x.(x – 2) – 3.(x – 2) = 0 (x – 2).(x – 3) = 0 
Hoặc x – 2 = 0 => x = 2 (thỏa mãn) 
hoặc x – 3 = 0 => x = 3 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 , x = 3 (hoặc S = { 2; 3})
c) Điều kiện : Hoặc : 
 Hoặc 
Điều kiện xác định của phương trình : x ³ - và x < -3 
Bình phương hai vế ta được : = 42 5x + 7 = 16.(x + 3) 
 5x – 16x = 48 – 7 - 11x = 41 => x = - (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là : x = - 
d) Điều kiện xác định của phương trình : 
 (giải tương tự câu c) ta tìm được x = - )
Vì - < - , nên không thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình vô nghiệm
Dạng 6 : Bài toán cực trị 
1)Cho biểu thức A = .
Rút gọn rồi tìm giá trị của x để A có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
2)Cho biểu thức B = 
a)Rút gọn B
b)Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên
Giải :
1) *Rút gọn A :
A = 
 = (với x ạ )
Vậy A = 
Vì x2 ³ 0 => x2 + ³ (với mọi x) => Ê 
 	*Dấu “=” xảy ra khi x = 0 . 
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là khi x = 0.
2a) Rút gọn B
B = 
 = 
+Nếu x < 0 thì B = 
+Nếu 0 < x Ê 2 thì B = 
+Nếu x > 2 thì B = = 
b)Để B ẻ Z thì x ẻ Z => |x – 2| ẻ Z, do đó để B ẻ Z thì x2 + 3 là bội của |x| tức là x2 + 3 chia hết cho |x| => 3 x => x = { -3; -1; 1; 3}
iii/Các bài toán kiểm tra
1)Thực hiện phép tính :
a)
b)
2)Rút gọn biểu thức :
A = 
B = 
C = 	(với x > 0 ; x ạ 1)
3) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : 
4)Giải phương trình :
a) ;	 b) 
hướng dẫn biểu điểm và đáp án :
Bài 1(2 điểm) : Thực hiện phép tính
a(0,75 điểm) : = (0,25đ)
= (0,25đ) = = (0,25đ)
b(1,25 điểm) 
= (0,25đ)
= (0,25đ)
 = (0,25đ)
= = (0,25đ)
 	= = = = = 1(0,25đ)
Bài 2(3 điểm) Rút gọn biểu thức 
a) A = = (0,25) = (0,25đ)
= = (0,25đ)
b) Điều kiện a ạ (0,25đ)
 B = = (0,25đ) = (0,25đ)
*Nếu 2a – 1 > 0 => a > => | 2a – 1 | = 2a – 1, do đó B = a2 	(0,25đ)
*Nếu 2a – 1 a |2a – 1| = - ( 2a – 1), do đó B = – a2 (0,25đ)
Vậy B = 
c) Với x > 0 ; x ạ 1, ta có : (0,25đ)
C = = (0,25đ)
 = = (0,25đ)
= = = (0,25đ)
Bài 3(2 điểm) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a và b + c 
ta có : a + b + c ³ 2(0,25đ)
Nhân hai vế của BĐT cho , ta được :
(a + b + c). ³ 2. (0,25đ)
=> => (1) (0,25)
Chứng minh tương tự ta có : (2) (0,25đ)
 (3) (0,25đ)
Từ (1) ; (2) và (3) cộng vế theo vế ta được :
 (0,25đ)
Dấu “=” xảy ra . (0,25đ) 
 	Do a, b, c > 0 nên dấu “=” không thể xảy ra. (0,25đ)
Vậy (đpcm)
Bài 4(2 điểm) : Giải phương trình
a) Điều kiện : x ³ (0,25đ)
 Hoặc x < - 1 (0,25đ)
 (0,25đ) 5x – 4 = 4x + 4 x = 8 (thỏa mãn) (0,25đ)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 8
b) Điều kiện xác định của phương trình x ³ (0,25đ)
 (0,25đ) 5x – 4 = 4x + 4 (0,25đ)
 x = 8 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 8 (0,25đ)
Đ3. các phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai
Thời lượng : 7 tiết
I/Tóm tắt kiến thức cơ bản :
 1)Phát biểu qui tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
+Với hai biểu thức A, B mà B ³ 0, ta có : = |A|., tức là 
*Nếu A ³ 0 và B ³ 0 thì = A
*Nếu A < 0 và B ³ 0 thì = – A
Ví dụ : Đưa thừa số ra ngoài dấu căn 
a) , 	b) , 	c) (với x > 0) , 	d) 
Giải :
a) 
b) 
c) (với x > 0)
d) 
 = 
 2)Phát biểu qui tắc đưa thừa số vào trong dấu căn.
Với A ³ 0 và B ³ 0 thì A = 
Với A < 0 và B ³ 0 thì A = – 
Ví dụ : Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) , 	b) - ; 	c) (với x > 0) , 	d) (với x < 0)
Giải :
a) 
b) - 
c) (với x > 0)
d) (với x < 0)
 3)Nêu qui tắc khử mẫu của biểu thức lấy căn.
+Với các biểu thức A, B mà A.B ³ 0 và B ạ 0, ta có : 
Ví dụ : Khử mẫu của biểu thức lấy căn (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa)
a) ; 	b) ; 	c) ; 	d) 
Giải :
a) 
b) 
c) = 
d) (với x.y ³ 0, y ạ 0 )
 4)Nêu qui tắc trục căn thức ở mẫu.
+Trường hợp mẫu thức là một đơn thức :
Với hai biểu thức A, B mà B > 0 , Ta có : 
+Trường hợp mẫu thức là một đa thức :
a) Với các biểu thức A, B, C mà A ³ 0 và A ạ B2 , ta có : 
b) Với các biểu thức A, B, C mà A ³ 0, B ³ 0 và A ạ B , ta có : 
Ví dụ : Trục căn thức ở mẫu 
a) , 	b) , 	c) 
Giải :
a) Hoặc 
b) 
Hoặc 
c) 
Hoặc 
- Nhận xét gì về các cách giải trên ?
+Có những bài toán ta áp dụng các qui tắc đã học thì giải dễ dàng chẳng hạn bài a) , cũng có bài toán nếu ta áp dụng qui tắc thì việc giải lại gặp khó khăn hơn nếu ta vận dụng các phương pháp khác chẳng hạn như bài b, c.
+Lưu ý: Cần phân biệt cho HS sự khác nhau giữa khai phương một thương và khử mẫu của biểu thức lấy căn: Khai phương một thương khi tử là một số hoặc một biểu thức không âm còn mẫu là một số dương hoặc là một biểu thức luôn nhận giá trị dương với điều kiện xác định của biến còn khử mẫu của biểu thức lấy căn là biểu thức dưới dấu căn có tử và mẫu là hai số hoặc hai biểu thức cùng dấu và mẫu là một số hoặc một biểu thức khác 0 với giá trị xác định của biến. Trục căn thức ở mẫu là biểu thức là một phân thức có chứa căn thức ở mẫu.
II/Các bài toán luyện tập 
Dạng 1 : Đưa thừa số ra ngoài dấu căn 
a) (với x > 0) ; b) với y < 0 ; c) 
Giải :
 a) (vì x > 0)
 b) ( vì y < 0)
 c) 
 =
 = 
Dạng 2 : Đưa thừa số vào trong dấu căn
 a) (với x ³ 0) , b) (với x < 0) , c) (với x < 0)
Giải :
 a) (vì x ³ 0)
 b) (vì x < 0)
	 c) (vì x < 0)
Dạng 3 : Khử mẫu của biểu thức lấy căn.
 a) ; b) ; c) ; d) 
Giải :
 a) 
 b) (vì 2 < )
 c) 
 d) (vì x < 0)
Dạng 4 : Trục căn thức ở mẫu
 a) ; ; 
 b) ; ; 
 c) ; ; 
Giải :
a) * ; * 
 * 
b) * ; * 
 * 
c) * 
 * 
 * 
Dạng 5 : Rút gọn biểu thức
 A = 
 B = 
 C = 
 D = 
Giải :
 A = 
 B = 
 = 
 C = 
 = 
 = 
 = 
 = 
Dạng 6 : Chứng minh đẳng thức 
a)Chứng minh : (với n ẻ N)
b) (với 0 < m < 2)
c)
Giải :
a)
Vế phải : 
(với n ẻ N)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
*Cách khác : Ta có : 
=> (đpcm)
b)Vế trái : 
 = (với 0 < m < 2)
*Cách khác : Vì m 2 – m > 0 ; nên 
=.
Bài toán này còn có nhiều cách chứng khác.
c)Vế trái : 
= 
= (vế phải ) . Vậy đẳng thức được chứng minh.
Dạng 7 : Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.
a) A = với x > 1 .
b) B = với x ³ 0
Giải :
a) A = = 
 = 
Điều này chứng tỏ biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
b) B = 
= 
=
= 
= 
= 
= 
= = 2
Chứng tỏ biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
Dạng 8 : Bài toán cực trị 
a)Tìm giá trị lớn nhất của A = 
b)Cho a, b, c là các số dương và . Tìm giá trị lớn nhất của abc
Giải :
a)Điều kiện x ³ 1 , y ³ 2 và z ³ 3
 A = 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm và 1, ta có : => => 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm và 2, ta có :
 => 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm và 3, ta có :
Do đó A = 
Dấu “=” xảy ra khi x = 2 , y = 4, z = 6
Vậy giá trị lớn nhất của A là khi x = 2, y = 4 và z = 6.
b)Ta có : 
Vì a, b, c là các số dương, nên và là hai số dương. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương và ta có :
 + ³ 2
 Vậy , tương tự ta cũng có : 
 và 
 Nhân các bất đẳng thức thu được (vế theo vế) ta được :
 = 
 =
Do đó : hay abc Ê 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 
Vậy tích abc đạt giá trị lớn nhất là khi a = b = c = 
 Dạng 9 : Bài toán tìm x, giải phương trình.
a) ; 	b) ;	c) 
Giải :
a) 
 Vậy nghiệm của phương trình là x = 7 (hoặc S = {7})
b) 
 Vậy nghiệm của phương trình là x1` = - 1 ; x2 = ( hoặc s = {- 1 ; } )
c) Điều kiện 
Ta có : 
 Vậy nghiệm của phương trình là x = - 
III/Các bài toán kiểm tra:
Bài 1 : Tính :
 A = 
 B = 
Bài 2 : Cho C = 
a)Rút gọn C
 b)Tính giá trị của C khi x = 
 c)Tìm giá trị lớn nhất của C
Bài 3 : So sánh A = và B = 
Bài 4 : Chứng minh rằng với a > 0 và a ạ 1
Bài 5 : Giải phươ