Giáo án tự chọn Toán 11

 TỰ CHỌN ĐẠI 1: 
 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. 	Mục tiêu:
1. 	Về kiến thức: Củng cố lại định nghĩa, các giới hạn đặc biệt, một số định lí về giới hạn dãy số hữu hạn. Tính tổng của cấp nhân lùi vô hạn,
2. 	Về kĩ năng: Vận dụng được lý thuyết vào giải các bài tập cơ bản trong SGK, biết cách tính giới hạn dãy số, tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn,
3. 	Về thái độ: Tư duy chứng minh, tư duy lập luận chặt chẽ lôgic. Khả năng phân tích, tổng hợp
4. 	Về tư duy: Đảm bảo tính chính xác, tính khoa học, cẩn thận trong tính toán,
II. Chuẩn bị:
GV: các câu hỏi gợi mở, phấn màu và một số dụng cụ khác.
HS: Ôn tập kiến thức đã học.
III. Phương pháp:
- 	Gợi mở, nêu vấn đề, giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình dạy học:
Ổn định lớp:
Hoạt động 1: Chứng minh giới hạn của dãy số
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
 Û 
 khi và chỉ khi có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
 hay khi 
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn -¥ khi nếu 
Bài 1.
Đặt . 
Ta có:
Do đó, có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ số hạng nào đó trở đi (1)
Mặt khác, theo giả thiết ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là 
Bài 2. 
Vì (giới hạn đặc biệt), nên n2 có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, theo giả thiết un > n2 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Vậy 
Bài 1. Biết dãy số (un) thỏa mãn với mọi n. Chứng minh rằng: 
Bài 2. Cho biết dãy số (un) thỏa mãn un > n2 với mọi n. Chứng minh rằng: 
Hoạt động 2: Tính giới hạn của dãy
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
 nếu 
c. Nếu un = c (c là hằng số) thì 
d. lim nk = +¥ với k nguyên dương;
e. lim qn = +¥ nếu q > 1.
Xem lại định lí về giới hạn của dãy.
Bài 3. Tính:
Hoạt động 3: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Tổng cấp nhân lùi vô hạn: 
Bài 4. 
Dãy số vô hạn 2, , 1, , ,  là một cấp số nhân với công bội 
Vì nên dãy số này là một cáp số nhân lùi vô hạn.
Do đó,
Bài 4. Tính tổng: 
Củng cố - Hướng dẫn về nhà:
Xem lại các bài tập đã giải.
Làm bài tập SBT.
Xem trước bài Giới hạn hàm số.
------------4------------
 TỰ CHỌN ĐẠI 2: 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. 	Mục tiêu:
1. 	Về kiến thức: Hiểu sâu hơn định nghĩa về giới hạn của hàm số, nắm chắc các phép toán về giới hạn của hàm số, áp dụng vào giải toán. Vận dụng vào thực tế,thấy mối quan hệ với bộ môn khác.
2. 	Về kĩ năng: Dùng định nghĩa để tìm giới hạn của hàm số, một số thuật tìm giới hạn của một số hàm số đặc biệt. Rèn kĩ năng tìm giới hạn của hàm số. 
3. 	Về thái độ: Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực họat động. 
4. 	Về tư duy: Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, áp dụng vào thực tế.
II. Chuẩn bị:
GV: các câu hỏi gợi mở, phấn màu và một số dụng cụ khác.
HS: Ôn tập kiến thức đã học.
III. Phương pháp:
- 	Gợi mở, nêu vấn đề, giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình dạy học:
Ổn định lớp:
Hoạt động 1: Chứng minh giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
- Cho HS nêu tập xác định của hàm số và hướng dẫn HS dựa vào định nghĩa để chứng minh bài toán trên.
- Lưu ý HS hàm số có thể không xác định tại xo nhưng lại có thể có giới hạn tại điểm này. 
TXĐ: D = R\{3}
Giả sử (xn) là dãy số bất kỳ sao cho xn ¹ 3 và xn ® 3 khi n ® +¥
Ta có:
Vậy 
Bài 1. Cho hàm số: . 
CMR: 
Hoạt động 2: Tìm giới hạn của hàm số
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Giả sử: 
 (k là số lẻ)
 (k là số chẵn)
Xem lại một số quy tắc về giới hạn 
e. Ta có: với mọi x ¹ 0 và nên 
f. Ta có: với mọi x ¹ 0 và nên 
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
Hoạt động 3: Giới hạn một bên
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
a. 
b. 
c. 
Vì nên 
Bài 4.
a. 
b. 
c. 
Vì nên không tồn tại.
Bài 3. Cho hàm số: 
Tìm các giới hạn sau: 
a. 
b. 
c. 
Bài 4. Cho hàm số: 
Tìm các giới hạn sau:
a. 
b. 
c. 
Hoạt động 4: Xác định các dạng vô định
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Các dạng vô định thường gặp là: 
a. Dạng 
b. Dạng 
c. Dạng 
d. Dạng 0.¥
Bài 5. Xác định các dạng vô định và tìm giới hạn các hàm số sau:
Củng cố - Hướng dẫn về nhà:
Xem lại các bài tập đã giải.
Học thuộc lý thuyết.
Làm bài tập SBT.
------------4------------
 TỰ CHỌN ĐẠI 3: BÀI TRẮC NGHIỆM 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
76. Cho hµm sè: . Khi ®ã b»ng:
	a. 11	b. 7	c. 	d. 
77. Cho hµm sè . Khi ®ã b»ng
	a. – 4	b. –3	c. –2	d. 2
78. Cho hµm sè . Khi ®ã b»ng
	a. 	b. 	c. 0	d. 
79. Cho hµm sè: . Khi ®ã b»ng
	a. –1	b. 0	c. 1	d. 
80. Cho hµm sè . Khi ®ã b»ng
	a. 	b. 2	c. 4	d. 
Mét vµi quy t¨c t×m giíi h¹n v« cùc (d¹ng v« ®Þnh)
81. Cho . Khi ®ã
	a. 	b. 	c. 	d. 
82. Cho . Khi ®ã
	a. 	b. 	c. 	d. 
83. b»ng
	a. 	b. 	c. 	d. 
84. b»ng
	a. 	b. 5	c. 	d. 
85. b»ng
	a. 	b. 	c. 	d. 
86. b»ng
	a. 	b. 	c. 	d. 
87. b»ng
	a. 	b. 2	c. 0	d. 
88. b»ng
	a. 	b. 	c. 	d. 
89. b»ng
	a. 	b. 2	c. 1	d. 0
90. b»ng
	a. 	b. 4	c. 1	d. 
91. b»ng
	a. 	b. 	c. 	d. 
92. b»ng
	a. 	b. 0	c. 	d. 
93. b»ng
	a. 	b. 3	c. –1	d. 
94. b»ng
	a. 0	b. 1	c. 2	d. 
95. b»ng
	a. 0	b. –1	c. 	d. 
96. b»ng
	a. 	b. 1	c. 	d. 
97. b»ng
	a. –8	b. –4	c. 	d. 
98. b»ng
	a. –4	b. –1	c. 4	d. 
99. b»ng
	a. 	b. –2	c. 	d. 
100. b»ng
	a. 	b. 	c. 	d. 
101. b»ng
	a. –3	b. –1	c. 0	d. 1
102. b»ng
	a. 0	b. 1	c. 2	d. 
103. b»ng
	a. 	b. 	c. 0	d. 
104. b»ng
	a. 	b. 1	c. 2	d. 
105. b»ng
	a. 	b. 4	c. 0	d. 
106. b»ng
	a. 	b. 2	c. 6	d. 
107. b»ng
	a. 	b. 	c. 	d. 
108. Nèi mçi ý ë cét bªn tr¸i víi mçi ý ë cét bªn ph¶i ®Ó ®­îc mét kh¼ng ®Þnh ®óng.
Cét tr¸i
Cét ph¶i
1. b»ng
a) 
2. b»ng
b) 0
3. b»ng
c) 
4. b»ng
d) 
e) 
CỦNG CỐ HS về ôn tập kỹ lại các dạng vô định.
 TỰ CHỌN ĐẠI 4: 
HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. 	Mục tiêu:
1. 	Về kiến thức: Nắm vững khai niệm hàm số liên tục tại một điểm và vận dụng định nghĩa vào việc nghiên cứu tính liên tục của hàm số.
2. 	Về kĩ năng: Vận dụng định nghĩa,các tính chất trong việc xét tính liên tục của các hàm số. 
3. 	Về thái độ: Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực họat động. 
4. 	Về tư duy: Vận dụng định nghĩa vào việc nghiên cứu tính liên tục của hàm số và sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng đơn giản.
II. Chuẩn bị:
GV: các câu hỏi gợi mở, phấn màu và một số dụng cụ khác.
HS: Ôn tập kiến thức đã học.
III. Phương pháp:
- 	Gợi mở, nêu vấn đề, giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình dạy học:
Ổn định lớp:
Lớp
11A
11B
Sỉ số
32
32
Vắng
HS vắng
Hoạt động 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 Î K
y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi 
- y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
- y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a ; b) và , 
Bài 1. 
Ta có: f(1) = 2
Do đó: 
Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm xo = 1
Bài 2.
Ta có: f(0) = 2.0 + 1 = 1
Vì 
Do đó không tồn tại
Vậy f(x) không liên tục tại điểm xo = 0
Bài 3.
Tập xác định của hàm số f(x) là: D = R
- Trên khoảng (-¥ ; 1), f(x) = 2x + 4 là hàm đa thức nên liên tục.
- Trên khoảng (1 ; +¥), f(x) = x3 + x + 1 là hàm đa thức nên liên tục.
- Tại xo = 1
Ta có: f(1) = 13 + 1 + 1 = 3
Vì nên không tồn tại
Vậy f(x) không liên tục tại điểm xo = 1
Tóm lại, f(x) liên tục trên khoảng (-¥ ; 1) và trên [1 ; +¥) nhưng gián đoạn tại điểm xo = 1
Bài 1. Cho hàm số: . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 1
Bài 2. Cho hàm số: . Xét tính liên tục của hàm số tại xo = 0
Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số: trên tập xác định của nó.
Hoạt động 2: Xác định hệ số để hàm số liên tục
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Bài 3. Cho hàm số: . Định a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Trên khoảng (-¥ ; 0), f(x) = x2 + 2x + 1 là hàm đa thức nên liên tục.
Trên nửa khoảng [0 ; +¥), f(x) = x + a là hàm đa thức nên liên tục
Do đó: f(x) liên tục trên R Û f(x) liên tục tại điểm xo = 0
Xét tại điểm xo = 0. Ta có: f(0) = 0 + a = a
f(x) liên tục tại xo = 0 
Vậy a = 1 là giá trị cần tìm.
Hoạt động 3: Chứng minh số nghiệm của một phương trình
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a)f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a ; b)
Bài 4. 
Xét hàm số f(x) = 2x3 – 10x – 7
Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0;3] (1)
Mặt khác, ta có: 
f(-1) = 1; f(0) = -7; f(3) = 17
Do đó: 
f(-1).f(0) < 0 và f(0).f(3) < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình 2x3 – 10x – 7 = 0 có ít nhất hai nghiệm, một nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 0), còn nghiệm kia thuộc khoảng (0 ; 3)
Bài 5.
Xét hàm số f(x) = x3 + 3x2 + 5x -1. Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên đoạn [0 ; 1]
Mặt khác: 
Þ f(0).f(1) = -8 < 0
Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1)
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x3 – 10x – 7 = 0
Bài 5. Chứng minh rằng phương trình x3 + 3x2 + 5x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0 ; 1)
Củng cố - Hướng dẫn về nhà:
Xem lại các bài tập đã giải.
Ôn tập lại kiến thức toàn chương.
Làm bài tập SBT.
------------4------------
 TỰ CHỌN ĐẠI 5: 
KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
I. 	Mục tiêu:
1. 	Về kiến thức: 
Biết định nghĩa đạo hàm (tại một điểm, trên một khoảng).
Biết ý nghĩa cơ học và ý nghĩa hình học của đạo hàm. 
Biết quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số; hàm hợp và đạo hàm của hàm hợp.
Nắm được các công thức đạo hàm của các hàm số thường gặp.
2. 	Về kĩ năng: 
-	Tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số đa thức bậc 2 hoặc bậc 3 theo định nghĩa.
-	Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị.
- 	Biết tìm vận tốc tức thời tại một điểm của chuyển động có phương trình S = f(t).
-	Tính được đạo hàm của các hàm số được cho dưới dạng tổng, hiêụ, tích, thương.
3. 	Về thái độ: Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực họat động.
4. 	Về tư duy: Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi. Biết quan sát và phán đoán chính xác, biết quy lạ về quen.
II. Chuẩn bị:
GV: các câu hỏi gợi mở, phấn màu và một số dụng cụ khác.
HS: Ôn tập kiến thức đã học.
III. Phương pháp:
- 	Gợi mở, nêu vấn đề, giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình dạy học:
Ổn định lớp:
Hoạt động 1: Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Bước 1. Giả sử Dx là số gia của đối số tại x0, tính số gia của hàm số: 
Bước 2. Lập tỉ số: 
Bước 3. Tìm 
a. y = f(x) = x2 + 3x
Cho xo = 1 một số gia Dx. Ta có:
Dy = f(xo + Dx) – f(xo) = f(1 + Dx) – f(1) = (1 + Dx)2 + 3(1 + Dx) – (12 + 3.1) = (Dx)2 + 5Dx
Vậy f’(1) = 5
b. 
Cho xo = 2 một số gia Dx. Ta có:
Vậy 
Bài 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số sau:
a. y = x2 + 3x tại xo = 1
b. tại xo = 2
Hoạt động 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C ): y = f(x) tại điểm M0(x0; y0) là: y – y0 = f’(x0)(x – x0)
y = f(x) = x3
Với Dx là số gia của xo. Ta có:
Vậy 
a. Phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1 ; -1) có dạng:
y – y0 = f’(x0)(x – x0)
Với xo = -1 ; yo = -1 ; f’(xo) = f’(-1) = 3
b. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 có dạng: y – y0 = f’(x0)(x – x0)
Với xo = 2; ; f’(xo) = f’(2) = 12
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 8 = 12(x – 2) hay y = 12x – 16
c. Gọi M(xo ; yo) là tiếp điểm. Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì hệ số góc của tiếp tuyến tại M là: k = f’(xo)
Mặt khác theo giả thiết k = 3 nên f’(xo) = 3 
Với xo = 1 thì yo = 1 nên phương trình tiếp tuyến là y = 3x – 2
Với xo = -1 thì yo = -1 nên phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 2
Bài 2. Cho đường cong y = x3. Viết phương tình tiếp tuyến của đường cong:
a. Tại điểm (-1 ; -1)
b. Tại điểm có hoành độ bằng 2
c. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
Hoạt động 3: Chứng minh hàm số không có đạo hàm
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
Ta có f(0) = 1
Vậy f(x) không liên tục tại x = 0, suy ra f(x) không có đạo hàm tại x = 0.
Tại x = 2. Ta có: 
Vậy tại x = 2 hàm số có đạo hàm f’(2) = 2
Bài 3. Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0. Tại x = 2 hàm số có đạo hàm hay không?
Củng cố - Hướng dẫn về nhà:
Xem lại các bài tập đã giải.
Làm bài tập SBT.
------------4------------
TỰ CHỌN HÌNH 1 : QUAN HỆ SONG SONG 
PHÉP CHIẾU SONG SONG.
I. 	Mục tiêu:
1. 	Về kiến thức: 
Củng cố:
- 	Khái niệm phép chiếu song song;
-	Khái niệm hình biểu diễn của một hình không gian.
2. 	Về kĩ năng: 
- 	Xác định được phương chiếu, mặt phẳng chiếu trong một phép chiếu song song. Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn qua một phép chiếu song song.
-	Vẽ được hình biểu diễn của một hình không gian.
3. 	Về thái độ: Nghiêm túc trong học tập,cẩn thận chính xác.
4. 	Về tư duy: Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng vận dụng vào bài tập.
II. Chuẩn bị:
GV: các câu hỏi gợi mở, phấn màu và một số dụng cụ khác.
HS: Ôn tập kiến thức đã học.
III. Phương pháp:
- 	Gợi mở, nêu vấn đề, giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình dạy học:
Ổn định lớp:
 Hoạt động 1: Vẽ hình biểu diễn của một hình H cho trước
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Phương pháp:
a. Xác định các yếu tố song song của hình H.
b. Xác định tỉ số điểm M chia đoạn AB.
c. Hình H’ là hình biểu diễn của hình H phải có tính chất:
- Bảo đảm tính song song trên hình H.
- Bảo đảm tỉ số của điểm M chia đoạn AB
Gọi I là trung điểm của cạnh AB
Hình chiếu I’ của I là trung điểm của A’B’
G Î CI nên G’ ÎC’I’; nên 
Vậy G’ là trọng tâm của tam giác A’B’C’.
Bài 1. Chứng minh trọng tâm G của tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’, trong đó A’B’C’ là hình chiếu song song của tam giác ABC.
Hoạt động 2: Luyện tập
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Bài 2. Trong mp(a) cho một tam giác ABC bất kì. Chứng minh rằng có thể xem tam giác ABC là hình chiếu song song của một tam giác đều nào đó.
Bài 3. Vẽ hình biểu diễn của một hình lục giác đều.
Bài 4. Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu và mp chiếu thích hợp để hình chiếu song song của một tứ diện cho trước là một hình bình hành.
Bài 2.
Cho tam giác ABC bất kì nằm trong mp(a).
Gọi (b) là mp qua BC và khác với (a).
Trong (b) ta vẽ tam giác đều BCD.
Vậy ta có thể xem tam giác ABC cho trước là hình chiếu song song của tam giác đều DBC theo phương chiếu DA lên mp(a)
Bài 3.
Với hình lục giác đều ABCDEF ta nhận thấy:
- Tứ giác OABC là hình bình hành (vừa là hình thoi);
- Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O.
Từ đó ta suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều ABCDEF như sau:
- Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn cho hình bình hành OABC.
- Lấy các điểm D’, E’, F’ lần lượt đối xứng của A’, B’, C’ qua tâm O’, ta được hình biểu diễn A’B’C’D’E’F’ của hình lục giác đều ABCDEF.
Bài 4.
Cho tứ diện ABCD. Gọi d là một đường thẳng không song song với các cạnh của tứ diện và (a) là một mặt phẳng cắt d.
Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D tren mp(a). Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối diện AB và CD. Khi đó hình chiếu P’ và Q’ của P và Q sẽ lần lượt là trung điểm của A’B’ và C’D’.
Muốn cho A’, B’, C’, D’ là các đỉnh của một hình bình hành ta chỉ cần chọn phương chiếu d sao cho d song song với đường thẳng PQ.
Vậy để hình chiếu song song của một tứ diện là một hình bình hành ta có thế chọn:
- Phương chiếu d là phương của một trong ba đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện cho trước.
- Mặt phẳng chiếu (a) là mp tùy ý, nhưng phải cắt đường thẳng d.
Củng cố - Hướng dẫn về nhà:
Xem lại các bài tập đã giải.
Ôn tập lý thuyết để vận dụng giải toán.
Làm bài tập SBT.
------------4------------