Giáo án Toán lớp 10 - Chương 4

tỉ lệ thấp nhất (6.06%) là những học sinh có thời gian chạy từ 6 giây đến dưới 6.5 giây (ứng với cột thấp nhất của biểu đồ). Chiếm tỉ lệ cao nhất (30.30%) là những học sinh có thời gian chạy từ 7 giây đến dưới 7.5 giây (ứng với cột cao nhất của biểu đồ). Đại đa số (84.84%) học sinh có thời gian chạy từ 6.5 giây đến dưới 8.5 giây.
Bài 4. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau:
Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày
21
21
24
19
23
26
25
22
19
23
20
23
27
26
22
20
24
21
24
28
25
21
20
23
22
23
29
26
23
21
26
21
24
28
25
Lập bảng phân bố tần số ghép lớp, tần suất ghép lớp, với các lớp sau: [19 ; 21); 
[21 ; 23); [23 ; 25); [25 ; 27); [27 ; 29]
b. Trong 35 ngày được khảo sát, những ngày bạn A có thời gian đi đến trường từ 21 phút đến dưới 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
c. Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp bằng cách vẽ biểu đồ tần số hình cột và đường gấp khúc tần số.
a. Thời gian đi từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày
Lớp thời gian (phút)
Tần số
Tần suất (%)
[19 ; 21)
5
14,29
[21 ; 23)
9
25,71
[23 ; 25)
10
28,57
[25 ; 27)
7
20,00
[27 ; 29]
4
11,43
Cộng
35
100 (%)
b. 54,28%
c.
Biểu đồ tần số hình cột và đường gấn khúc tần số về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của bạn A, trong 35 ngày được khảo sát
Bài 5. Cho các biểu đồ hình quạt
Cơ cấu chi tiêu của người dân Việt Nam, phân theo các khoản chi (%)
1975 1989
Chú Thích: (1)Ăn
(2) Mặc
(3) Mua sắm
 (4) Chi khác
Dựa vào các biểu đồ hình quạt đã cho, lập bảng trình bày cơ cấu chi tiêu của nhân dân Việt Nam trong năm 1975 và năm 1989.
Cơ cấu chi tiêu của người dân Việt Nam, phân theo các khoản chi
Các khoản chi
Số phần trăm
1975
1989
Ăn
71,5
67,1
Mặc
6,1
10,4
Mua sắm
14,1
15,6
Chi khác
8,3
6,9
Cộng
100 (%)
100 (%)
Bài 6. Cho bảng phân bố sau:
Bảng xếp loại học lực của học sinh lớp 10A trường THPT T, năm học 2002 – 2003
Học lực
Tần số
Kém
3
Yếu
12
Trung bình
13
Khá
11
Giỏi
6
Cộng
45
a. Tính số trung bình, số trung vị, mốt của bảng 10 (nếu tính được)
b. Chọn giá trị đại diện cho học lực của học sinh lớp 10A
a. Bảng phân bố tần số đã cho gồm 45 số liệu, mỗi số liệu là một xếp loại học lực. Có tất cả 5 xếp loại học lực được sắp thành dãy không giảm, từ học lực thấp nhất là “Kém” đến học lực cao nhất là “Giỏi”. Số liệu đứng giữa là số liệu thứ 23. Số liệu này thuộc xếp loại học lực “Trung bình”. Suy ra số trung vị Me là học lực “Trung bình”.
Trong bảng phân bố tần số đã cho, xếp loại học lực “Trung bình” có tần số lớn nhất nên mốt Mo là học lực “Trung bình”. Kết quả này có nghĩa là trong lớp 10A, nhiều nhất là những học sinh có xếp loại học lực “Trung bình”.
b. Dựa vào kết quả của cây a), ta chọn xếp loại học lực “Trung bình” làm đại diện cho học lực của học sinh lớp 10A.
Bài 7. Cho bảng phân bố tần số
Mức thu nhập trong năm 2000 của 31 gia đình trong một bản ở vùng núi cao
Mức thu nhập (triệu đồng)
Tần số
4
1
4,5
1
5
3
5,5
4
6
8
6,5
5
7,5
7
13
2
Cộng
31
a. Tính số trung bình, số trung vị, mốt của các số liệu thống kê đã cho.
b. Chọn giá trị đại diện cho các số liệu thống kê đã cho.
a. Số trung bình triệu đồng
Số trung vị triệu đồng
Mốt triệu đồng
b. Trong cá số liệu thống kê đã cho có sự chênh lệch nhau quá lớn, nên ta không chọn số trung bình cộng mà chọn số trung vị triệu đồng làm đại diện cho mức thu nhập trong năm 2000 của mỗi gia đình trong 31 gia đình được khảo sát.
Bài 8. Cho bảng phân bố sau:
Bảng xếp loại lao động của học sinh lớp 10A năm học 2000 – 2001
Loại lao động
Tần số
A
10
B
16
C
16
D
7
Cộng
49
a. Tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt của bảng phân bố (nếu tính được).
b. Chọn giá trị đại diện cho các giá trị thống kê đã cho về quy mô và độ lớn.
a. Không tính được số trung bình.
Bảng phân bố đã cho có 49 số liệu, mỗi số liệu thống kê là một xếp loại lao động. Có tất cả 4 xếp loại lao động được sắp thành dãy không tăng từ xếp loại lao động cao nhất là “lao động loại A” đến xếp loại thấp nhất là “lao động loại D”. Dựa vào dãy này, ta tìm được số trung vị Me là xếp loại “lao động loại B”
Có hai mốt là xếp loại “lao động loại B”; là xếp loại “lao động loại C”
b. Ta chọn xếp loại “lao động loại B” để đại diện cho các giá trị thống kê đã cho về quy mô và độ lớn.
Bài 9. Hai xạ thủ cùng tập bắn, mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào bia. Kết quả được ghi lại ở các bảng sau:
Điểm số của xạ thủ A
8
9
10
9
9
10
8
7
6
8
10
7
10
9
8
10
8
9
8
6
10
9
7
9
9
9
6
8
6
8
Điểm số của xạ thủ B
9
9
10
6
9
10
8
8
5
9
9
10
6
10
7
8
10
9
10
9
9
10
7
7
8
9
8
7
8
8
a. Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê ở 2 bảng trên.
b. Xét xem trong lần tập bắn này, xạ thủ nào bắn chụm hơn?
a. Điểm số của xạ thủ A có: (điểm); ; điểm
Điểm số của xạ thủ B có: (điểm); (điểm)
b. điểm; như vậy mức độ phân tán (so với sô trung bình) của xạ thủ A là bé hơn. Vì vậy, trong lần tập bắn này, xạ thủ A bắn chụm hơn.
Bài 10. Cho bảng phân bố tần số
Khối lượng của 30 quả trứng gà của một rổ trứng gà
Khối lượng (g)
Tần số
25
3
30
5
35
10
40
6
45
4
50
2
Cộng
30
a. Tính số trung bình, số trung vị, mốt;
b. Hãy chọn giá tị đại diện cho các số liệu thống kê đã cho về quy mô và độ lớn;
c. Giả sử có rổ trứng gà thứ hai có ; hãy xét xem trứng gà ở rổ nào có khối lượng đồng đều hơn.
a. . 
b. Ta chọn số trung bình để làm giá trị đại diện cho các số liệu thống kê đã cho về quy mô độ và độ lớn.
c. Rổ trứng thứ nhất và rổ trứng thứ hai có cùng đơn vị đo và ; . Suy ra trứng gà ở rổ thứ nhất đồng đều hơn.
Bài 11: Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây:
Sản lượng (x)
20
21
22
23
24
Tần số (n)
5
8
11
10
6
N = 40
a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng.
b) Tính phương sai và độ lệnh chuẩn.
a) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là = 22,1 (tạ)
b) s2 = = 1,54 ; Độ lệch chuẩn là s = (tạ). 
Bài 12: Điểm trung bình môn học của hai học sinh An và Bình trong năm học vừa qua như sau:
Môn
Điểm TB của An
Điểm TB của Bình
Toán
Vật lí
Hóa học
Sinh học
Văn học
Lịch sử
Địa lí
Anh văn
Thể dục
C.nghệ
GDCD
8
7,5
7,8
8,3
7
8
8,2
9
8
8,3
9
8,5
9,5
9,5
8,5
5
5,5
6
9
9
8,5
10
a) Tính phương sai, độ lệch chuẩn của An , Bình
b) Nêu nhận xét.
a) Từ số liệu ở cột điểm của An ta có 
 =- 0,3091;SA 0,556 
Từ số liệu ở cột điểm của Bình ta có : 
=- 2,764; SB 1,663
b) Phương sai điểm các môn học của Bình gấp gần 9 lần phương sai điểm các môn học của An. Điều đó chứng tỏ Bình học lệch hơn An. 
Bài 13: Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về một bộ phim mới chiếu trên truyền hình. Người điều tra yêu cầu cho điểm bộ phim (thang điểm là 100). Kết quả được trình bày trong bảng phân bố tần số sau đây: 
Lớp
Tần số
[50 ; 64)
[60 ; 70)
[70 ; 80)
[80 ; 90)
[90 ; 100)
2
6
10
8
4
N = 30
a) Tính số trung bình.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
a)	b)
------------4----------
CHƯƠNG VI: GỐC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Kiến Thức.
;	 (rad);	
2. Các hệ thức cơ bản:
* ;	 * 
* ; * 
* * 
3. Các hệ quả cần nhớ:
 xác định khi 
 xác định khi 
 Dấu các giá trị lượng giác:
 Góc phần tư
 GTLG
I
II
III
IV
sina
+
+
–
-
cosa
+
-
–
+
tana
+
–
+
–
cota
+
–
+
–
4. Các cung liên kết:
a. Cung đối: và 
b. Cung bù: và 
c. Cung phụ: và 
d. Cung sai kém nhau : và 
e. Cung hơn kém nhau : và 
5. Các công thức biến đổi:
a. Công thức cộng:
sin(a ± b) = sina cosb ± cosa sinb
cos(a ± b) = cosa cosb sina sinb
tan(a ± b) = 	
cot(a ± b) = 
Lưu ý: 
a. Khi tính GTLG của các góc không đặc biệt ta phân tích góc đó thành tổng, hiệu của hai góc đặc biệt rồi dùng công thức cộng.
b. Khi chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác ta thường dùng tính chất:
 sau đó dùng công thức cộng và cung liên kết để c/m.
b. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2 sina cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
tan2a = ;	cot2a = 
* Công thức tính theo 
c. Công thức hạ bậc:
cos2a = ;	sin2a = ;	tan2a = 
Lưu ý: 
* Dạng đặc biệt:
A = cosa.cos2a.cos4acos2na (1)
B = sina.cos2a.cos4acos2na (2)
Cách tính:
- Nhân hai vế của (1) với sina và hai vế của (2) cho cosa.
- Dùng công thức nhiều lần.
- Cuối cùng có thể dùng liên kết để rút gọn.
* Khi chứng minh hay rút gọn một đẳng thức, biểu thức lượng giác ta thường chọn một góc chuẩn, đổi các góc khác về góc chuẩn bằng công thức nhân đôi. Sau đó dùng hệ thức cơ bản để làm bài.
* Khi tính GTLG của một góc không đặc biệt, ta nhân đôi góc đó để được góc đặc biệt sau đó dùng công thức nhân để tính.
d. Công thức biến đổi tích về tổng:
sina.cosb = 
cosa.cosb = 
sina.sinb = 
e. Công thức biến đổi tổng về tích:
sinA + sinB = 2sin
sinA – sinB= 2cos
cosA + cosB = 2cos
cosA – cosB = –2sin
tana ± tanb = 
*Một số công thức biến đổi thường hay sử dụng:
	* * 
	* * 
Bài Tập.
Bài 1: Hãy tính các giá trị lượng giác của góc a nếu:
a) sina = và b) cosa = 0,8 và 
c) tana = và d) cota = và 
a) Vì nên cosa < 0
Mà: cos2a = 1 - sin2a = 
Do đó: cosa = . Suy ra: tana = ; cota = 
b) Vì nên sina < 0
Mà: sin2a = 1 - cos2a = 1 - 0,64 = 0,36 
Do đó: sina = - 0,6. Suy ra: tana = ; cota = 
c) Vì nên cosa > 0 
 Mà: 
Suy ra: sina = cosa.tana = ; 
d) Vì nên: sina > 0
Mà: 
Suy ra: cosa = sina.cota = ; tana = .
Bài 2: Haõy ruùt goïn caùc bieåu thöùc:
a) B = b) C = c) D = 
a) B= sin2a.
b) C = 
c) D = = 2tan2a.
Bài 3: Tính
a) cos, biết sin và 
b) tan, biết cos và 
a) Ta có: cos = 
Mà . Vậy: cos= 
b) tan
Mà cos Vậy: tan
Bài 4: Rút gọn các biểu thức
a) =
=
b) =
= 
Bài 5: Chứng minh đẳng thức
a) 
Biến đổi vế trái, ta có:
Ta có: 
Bài 6: Đổi số đo của các cung sau ra rad, với độ chính xác đến 0,0001
a. b. c. d. 
a. b. c. d. 
Hướng dẫn: Có 2 cách đổi từ độ ra rad
Cách 1. Dùng công thức . Chú ý rằng khi đó .
Cách 2. Dùng máy tính bỏ túi. Ví dụ đổi ra rad. Chẳng hạn, với máy
CASIO thì ấn ba lần phím rồi ấn để màn hình hiện chữ
Sau đó ấn: 
cho kết quả 0,70554 (rad).
Bài 7. Đổi số đo của các góc sau ra độ, phút, giây
 a. b. c. -5 d. 
a. b. c. d. 
Hướng dẫn: Có 2 cách đổi rad ra độ
Cách 1. Dùng công thức 
Cách 2. Dùng máy tính bỏ túi. Ví dụ đổi ra độ. Chẳng hạn, với máy CASIO thì ấn ban lần phím rồi ấn để màn hình hiện chữ .
Sau đó ấn: 
Ta được: .
Bài 8. Đổi số đo của các cung sau ra rad, với độ chính xác đến 0,0001
a. 20o b. 40o25’ c. -27o d. -53o30’
a. sđ = 
b. sđ = 240o
c. Số đo của cung là , do đó trước hết ta lấy k = 0 được cung có số đo bằng 0, điểm cuối M trùng với điểm A, sau đó lấy k = 1 được cung có số đo , điểm cuối M1, rồi lấy k = 2 được cung có số đo , điểm cuối M2. Ba cung này có điểm cuối khác nhau. Khi lấy k = 3 ta được cung có số đo lại có điểm cuối trùng với A, lấy k = 4 được điểm cuối trùng với M1.
Bài 9. Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ = -40o. Gọi M1, M2, M3 tương ứng là điểm đối xứng của M qua các đường phân giác của góc phần tư thứ I, trục Ox và trục Oy. Tìm số đo của các cung lượng giác 1, 2, 3.
a. Ta có: 
Þ sđ
Þ sđ
Do đó sđsđ + sđ = 
Vậy sđ1 = 
b. Ta có: .
Vậy sđ2 
c. Ta có sđ = sđ suy ra sđ
Vậy sđ3
Bài 10. Cho . Xác định dấu của các giá trị lượng giác.
a. Ta có , do đó . Vì vậy 
b. Từ suy ra . Vì vậy 
c. Vì nên 
d. Vì nên 
Bài 11. Tính các giá trị lượng giác của góc a nếu:
a. Vì nên cosa < 0 mà . Do đó 
Từ đó suy ra 
b. Vì nên sina < 0
. Suy ra 
c. Với thì cos a < 0
Từ hệ thức suy ra hay 
Bài 12. Rút gọn các biểu thức sau:
Bài 13. Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích để tính:
Bài 14. Chứng minh rằng:
a. Ta có:
Bài 15. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc và a, b
Bài 16. Rút gọn các biểu thức sau:
Bài 17. Cho , tính 
Ta có:
------------4------------
HÌNH HỌC
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Kiến Thức.
a. Các hệ thức lượng trong tam giác: 
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c , trung tuyến AM = , 
BM = , CM = 
	Định lý cosin:
	a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB;	 c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC 
	Hệ quả:
	cosA = 	cosB = 	cosC = 
 	Định lý sin: 
	= 2R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
b. Độ dài đường trung tuyến của tam giác:
	; 
c. Các công thức tính diện tích tam giác: 
 S = aha = bhb = chc	S = ab.sinC = bc.sinA = ac.sinB 
S = S = pr 	 S = với p = (a + b + c) 
Bài Tập.
Bài 1: Cho tam giác ABC có b =7 cm, c = 5 cm và cosA=.
a) Tính a, sinA và diện tích S của tam giác ABC.
b) Tính đường cao ha xuất phát từ đỉnh A và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Theo định lí cô-sin ta có:
Ta có: 
Theo định lí sin: 
Bài 2: Cho tam giác ABC biết , b = 8cm, c = 5cm. Tính đường cao và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Theo định lí cô-sin ta có: 
Vậy a = 7(cm).
Theo công thức tính diện tích tam giác , ta có:
Mặt khác 
Từ công thức ta có 
Bài 3: Cho tam giác ABC biết 
Tính diện tích S của tam giác ABC và chiều cao .
Tính bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác.
Tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác.
Giải:
a) Ta có .
Theo công thức Hê-rông ta có:.
Do đó .
b) Ta có: .
c) Độ dài đường trung tuyến được tính theo công thức:
. Do đó 
Bài 4: Tam giác ABC có a=BC, b=CA, c=AB. Chứng minh rằng a = b. cosC+c. cosB
Theo định lí cô-sin ta có: (1)
Ta lại có: (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có b. cosC+c. cosB== a
Bài 5: Tam giác ABC có a=BC, b=CA, c=AB. Và đường trung tuyến AM=c=AB. Chứng minh rằng:
a) ;
b) 
Theo định lí về trung tuyến của tam giác ta có:
Theo định lí sin ta có:
Thay vào (*) ta có:
Bài 6: Giải tam giác ABC biết b=14, c=10, .
Ta có: 
Bài 7: Giải tam giác ABC biết .
Bài 8: Cho tam giác ABC có b = 7cm, c = 5cm và 
a. Tính a, sinA và diện tích S của tam giác ABC
b. Tính đường cao ha xuất phát từ đỉnh A và bán kính của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
a. Theo định lí côsin ta có: 
b. 
Theo định lí sin: 
Bài 9. Tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 8
 a. Tính b. Tính góc A
a. Ta có: 
Do đó: 
b. Theo định nghĩa: 
Ta có: . Vậy  = 60o
Bài 10. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Goina = BC, b = CA, c = AB. Chứng minh rằng:
 Theo tính chất của trọng tâm ta có: 
Áp dụng công thức tính tuyến tuyến của một tam giác ta có:
Tương tự, , . Do đó: 
Bài 11. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
 Chứng minh rằng: a = b cosC + c cosB
Theo định lí côsin ta có: 
Ta lại có: 
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có: 
Bài 12. Giải tam giác ABC biết b = 14, c = 10, Â = 145o
Ta có: 
Bài 13. Giải tam giác ABC biết a = 4, b = 5, c = 7
------------4------------
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Kiến Thức.
* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tham số cần phải biết được Toạ độ 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương.
* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tổng quát cần biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ phát tuyến.
a. Phương trình tham số của đường thẳng D:
 với M ()Î D và là vectơ chỉ phương (VTCP).
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng D: a(x – ) + b(y – ) = 0 hay ax + by + c = 0. 
(Với c = – a– b và a2 + b2 ¹ 0) trong đó M () Î D và là vectơ pháp tuyến (VTPT) .
Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a ; 0) và B(0 ; b) là: 
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M () có hệ số góc k có dạng: y – = k (x – ) 
c. Khoảng cách từ mội điểm M () đến đường thẳng D : ax + by + c = 0 được tính theo công thức : d(M; D) = 
d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : 
= = 0 và = = 0 
cắt Û	; Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ 
 ¤ ¤ Û ;	 º Û 	(với ,,khác 0) 
Bài Tập.
Bài 1: Hãy tìm một điểm có tọa độ xác định và một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số:
a) b) c) d) 
a) A ( 0 ; –1) ; = ( 2 ; 3) b) B ( 2 ; 0 ) ; = ( 1 ; –4 )
c) A (–5 ; 1) ; = ( 6 ; –3) d) A ( 7 ; –1) ; = (–4 ; 9)
Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d, biết:
a) Đi qua A ( 5 ; –6 ) và = ( 2 ; 3) b) Đi qua B (–3 ; 2 ) và = (–5 ; 2)
c) Đi qua B (3 ; 0 ) và = (– 4; –7) d) Đi qua B (0 ; –8 ) và = (5 ; –2)
a) b) c) d) 
Bài 3: Viết phương trình tham số và xác định hệ số góc của đường thẳng d, biết:
a) Đi qua A(1 ; 6) và B(3 ; 0) b) Đi qua C(–2 ; 0) và D(3 ; 4) 
 c) Đi qua E(5 ; –2) và F(1 ; 1)
a) và A(1 ; 6) 
Phương trình tham số của đường thẳng d là: . Ta có: 
b) và C(–2 ; 0) 
Phương trình tham số của đường thẳng d là: . Ta có: 
c) và F(1 ; 1)
Phương trình tham số của đường thẳng d là: . Ta có: 
d) và I(–7 ; 4)
Phương trình tham số của đường thẳng d là: Ta có: 
Bài 4. Lập phương trình tham số của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp sau:
(d) đi qua điểm M(2 ; 1) và có VTCP 
(d) đi qua điểm M(5 ; -2) và có VTPT 
Phương trình tham số của (d) là: 
(d) có VTPT nên có VTCP 
Phương trình tham số của (d) là: 
Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp sau:
(d) đi qua điểm M(5 ; 1) và có hệ số góc k = 3;
(d) đi qua hai điểm A(3 ; 4) và B(4 ; 2).
(d) có hệ số góc k = 3 nên (d) có VTCP 
 Phương trình tham số của (d) là: 
(d) đi qua A và B nên (d) có VTCP 
 Phương trình tham số của (d) là: 
Bài 6. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp sau:
(d) đi qua điểm M(3 ; 4) và có VTPT 
(d) đi qua điểm M(3 ; -2) và VTCP 
Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) có dạng: 
Đường thẳng (d) có VTCP nên có VTPT là 
Vậy phương trình tổng quát của (d) có dạng: 
Bài 7. Cho tam giác ABC, biết A(1 ; 4), B(3 ; -1), C(6 ; 2). Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng chứa đường cao AH và trung tuyến AM của tam giác.
AH có VTPT là hoặc 
Phương trình tổng quát của đường thẳng chứa AH là: 
Ta tính được tọa độ trung điểm M của BC như sau:
 Ta có: 
Trung tuyến AM có VTCP nên có VTPT 
Phương trình tổng quát của đường thẳng chứa AM là: 
Bài 8. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng (d) trong các trường hợp:
a. (d) đi qua A(2 ; -1) và có hệ số góc 
b. (d) đi qua hai điểm A(2 ; 0) và B(0 ; -3)
a. 
b. 3x – 2y – 6 = 0
Bài 9. Xét vị trí tướng đối của các cặp đường thẳng sau:
a. và 
b. và 
c. và 
a. Ta có: . Vậy 
b. Ta có: . Vậy 
c. Phương trình tổng quát của d6 là: 4x + 5y – 6 = 0
Ta có: . Vậy 
Bài 10. Cho hai đường thẳng và 
a. Tìm giao điểm của b. Tính góc giữa 
a. Giao điểm của là điểm có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy tại điểm (1 ; 3)
b. 
Vậy 
Bài 11. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:
a. A(3 ; 5) và b. B(1 ; 2) và 
a. Ta có: 
a. 
b. 
Bài 12. Cho đường thẳng và hai điểm O(0 ; 0), A(2 ; 0)
a. Chứng tỏ rằng hai điểm A và O nằm về cùng một phía đối với đường thẳng D;
b. Tìm điểm O’ đối xứng của O qua D;
c. Tìm điểm M trên D sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.
a. Ta có: 
Vậy O và A nằm về cùng một phía đối với đường thẳng D.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với D tại H. Phương trình tham số của d là: 
Vì H Î d nên tọa độ của H có dạng 
Mặt khác: H Î D . Vậy H có tọa độ (-1 ; 1)
Vì H là trung điểm của OO’ nên: ; 
Vậy tọa độ của O’(-2 ; 2)
c. Ta có: OM + MA = O’M + MA
Độ dài đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất Û O’, M, A thẳng hàng Û O’A cắt D tại M
Phương trình đường thẳng O’A là: x + 2y – 2 = 0
Tọa độ của M(x ; y) là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
------------4------------
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
A. Kiến Thức.
I. Phương trình đường tròn (C) có tâm và bán kính cho trước:
Đường tròn tâm I(a,b) và bán kính R có dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = R2
Ví dụ: Đường tròn có tâm I(1;-2) bán kính R=2 có dạng : (x-1)2 + (y+2)2 = 4
Đặc biệt : Đường tròn tâm O(0;0) , bán kính R có dạng: x2 + y2 = R2
*Nhận xét:
 Phương trình đường tròn còn viết được dưới dạng: x2 +y2-2ax-2by+c=0
 với c=a2+b2-R2
 Ngược lại, phương trình x2 +y2-2ax-2by+c=0 được gọi là phương trình đtròn (C) khi và chỉ khi a2+b2-c>0. Khi đó (C) có tâm I(a;b) và bán kính R=
* Điều kiện để đường thẳng D : ax+by+c=0 tiến xúc với đường tròn (C) là: 
	d(I, D )= R
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
 Cho M(x0; y0) thuộc đường tròn (C) tâm I(a;b). Phương trình tiếp tuyến của (C)