Giáo án Toán Khối 8 - Bài: Phương trình bậc hai một ẩn

2. Định nghĩa 
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng 2ax bx c 0+ + = trong đó x là ẩn số, a, b, c là 
những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 
Ví dụ: x2 + 50x - 15000 = 0 là 1 phương trình bậc hai với a = 1, b = 50, c =-15000 
-2x2 + 5x = 0 là 1 phương trình bậc hai với a = -2, b = 5, c =0 (khuyết c) 
2x2 - 8 = 0 là 1 phương trình bậc hai với a = 2, b = 0, c =-8 (khuyết b) 
?Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai, chỉ rõ hệ số a,b,c của 
mỗi phương trình ấy 
?1 
 Phương trình 
Phương trình bậc hai Hệ số 
 a b c 
a) x2 - 4 = 0 
b) x3 - 4x2 -2 = 0 
c) 2x2 + 5x = 0 
d) 4x - 5 = 0 
e) - 3x2 = 0 
(đáp án) 
Trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32 m, 
chiều rộng là 24 m, người ta định làm một vườn cây 
cảnh có con đường đi xung quanh. Hỏi bề rộng của 
mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn lại 
bằng 560 m2? 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 
1. Bài toán mở đầu: 
- Ta gọi bề rộng mặt đường là x (m), 
- Chiều dài phần đất sử dụng làm đường 2x (m) 
- Chiều dài phần đất còn lại là 32 – 2x (m) 
- Chiều rộng phần đất sử dụng làm đường là 2x (m) 
- Chiều rộng phần đất còn lại là 24 – 2x (m) 
- Diện tích hình chữ nhật còn lại là (32 – 2x).( 24 – 2x)(m2) 
 Theo đề bài ta có phương trình: 
 (32 – 2x)(24 – 2x) = 560 
  x
2
 – 28x + 52 = 0 () 
Phương trình () là phương trình bậc hai một ẩn. 
?1 
 Phương trình 
Phương trình bậc hai Hệ số 
 a b c 
a) x2 - 4 = 0 x 1 0 -4 
b) x3 - 4x2 -2 = 0 Không phải là Phương 
trình bậc hai 
c) 2x2 + 5x = 0 x 2 5 0 
d) 
4x - 5 = 0 
Không phải là Phương 
trình bậc hai 
e) - 3x2 = 0 x -3 0 0 
3. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai 
a) Phương trình bậc hai khuyết c : ax² + bx = 0 (a ≠ 0) 
Ví dụ: Giải phương trình 3x² - 6x = 0 
b) Phương trình bậc hai khuyết b : ax² + c = 0 (a ≠ 0) 
Ví dụ: Giải phương trình x² - 3 = 0 
4. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 
Cho phương trình bậc hai: 
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) 
Giải  = b2 – 4ac (đọc là “đenta” ) 
• Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 1 
2
b
x
a
− + 
= , 2 x
2
b
a
− − 
= 
Giải Ta có 3x² - 6x = 0 
  3x(x - 2) = 0 
  3x = 0 hay x - 2 = 0 
  x = 0 hay x = 2 
vậy phương trình có hai nghiệm : x
1
 = 0, x
2
 = 2 
Giải Ta có x² - 3 = 0 
  x2 = 3 
  x= 3 
vậy phương trình có hai nghiệm : x
1
 = 3 , x
2
 = 3− 
• Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép là: 
1 2
2
= = −
b
x x
a
• Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ: a) Giải phương trình: 3x2 + 5x – 1 = 0 
Giải: 
• Tính  = b2 – 4ac. (a = 3, b = 5, c = –1) 
Ta có:  = 52 – 4 .3.( –1) = 25 + 12 = 37 
• Do  = 37 > 0  37 = 
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
1
5 37 5 37
2.3 6
− + − +
= =x ; 
2
5 37
6
− −
=x 
b)5x2 – x + 2 = 0 (với a = 5; b = –1; c = 2) 
• Tính  = b2 – 4ac . 
Ta có :  = (–1)2 – 4.5.2 = 1 – 40 = –39. 
• Do  = –39 < 0 
 Phương trình đã cho vô nghiệm. 
c) 4x2 – 4x + 1 = 0 (a = 4; b = –4; c = 1) 
• Tính  = b2 – 4ac. 
Ta có:  = ( – 4)2 – 4.4.1 = 16 – 16 = 0 
• Do  = 0  Phương trình có nghiệm kép: 
1 2
( 4) 1
2.4 2
− −
= = =x x 
d) –3x2 + x + 5 = 0 (a = – 3; b = 1; c = 5) 
• Tính  = b2 – 4ac. 
Ta có:  = 12 – 4.(– 3).5 = 1 + 60 = 61. 
• Do  = 61 > 0  61 = 
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
1 2
1 61 1 61 1 61 1 61
= ; x
6 6 6 6
− + − − − +
= = =
− −
x 
Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a và c trái dấu tức là a . c < 0 thì  = b2 – 
4ac < 0. K hi đó phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt. 
BÀI TẬP 
Bài 1: Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + c = 0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c: 
(Đáp án chi tiết) 
a) 5x2 + 2x = 4 – x 
⇔ 5x2 + 2x + x – 4 = 0 
⇔ 5x2 + 3x – 4 = 0 
Phương trình bậc hai trên có a = 5; b = 3; c = -4 
c) 2x2 + x - 3= x. 3+ 1 
⇔ 2x2 + x - x. 3 - 3– 1 = 0 
⇔ 2x2 + x.(1 - 3 ) – ( 3+ 1) = 0 
Phương trình bậc hai trên có a = 2; b = 1 - 3 ; c = - ( 3+ 1) 
d) 2x2 + m2 = 2(m – 1).x 
⇔ 2x2 – 2(m – 1).x + m2 = 0 
Phương trình bậc hai trên có a = 2; b = -2(m – 1); c = m2. 
Bài 2 Giải các phương trình bậc hai sau (KHUYẾT b hoặc c) 
a) x2 – 18 = 0 b)3y2 – 15 = 0 c)1,35x2 + 2 = 0 d)-16x2 + 9 = 0 
e)2 3 x2 - 3 =0 f)4 – 27m2 = 0 g) 2x2 – 7x = 0 h)5x2 – 5 x = 0 
i)
20,3x 1,2x 0− + = k)
23,4x 8,2x 0+ = l)-2x2 – 10x = 0 m) 22 2 0x x− + = 
Bài 3 Giải các phương trình sau (Bằng công thức nghiệm của phương trình bậc hai) 
a) 22x 7x 3 0− + = b) 3x2 + 7x + 4 = 0 c) 25x 6x 1 0− + = 
d) x2 – 8x + 15 = 0 e) 
2x 8x 16 0− + = f) 216y 24y 9 0+ + = 
g) 25x2 – 20x + 4 = 0 h) – x2 + 14x – 49 = 0 i) 
26x x 5 0+ + = 
k) 22x 5x 9 0− − − = l) 
24x 7x 2 0+ − = m) 2185x 16x 1 0− + = 
n) 2 23x 3 x 2x− = + o) 22(x 1) 3x 3+ − = p) 20,5x(x 1) (x 1)+ = − 
q) 2x 3x 6 0+ − = r) 22x 6x 6 0− − = s) 
22x 2 3x 1 0− + = 
t) ( )2x 1 3 x 3 0− + + = u) ( )23x 2 1 x 3 0− + + = v) 2(1 2)x x 2 0+ − − =