Giáo án Toán học 12 - Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Chương II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
§ 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ.
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:
Định nghĩa 1: Với a≠0, n=0 hoặc n là 1 số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số an xác định bởi: 
 a0=1 ; a1=a , an= 1a-n với n ∈Z-.
 a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ của lũy thừa an
Chú ý: 
Các kí hiệu 00,0n n ∈Z- không có nghĩa.
Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị những số rất lớn và những số rất bé.
Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên: Với a≠0, b≠0 và các số nguyên m, n ta có:
an.am=an+m , anam=an-m , amn=am.n , abn=an.bn , abn=anbn
Định lý 1: Cho m, n là những số nguyên. Khi đó:
Với a > 1 thì am>an khi và chỉ khi m > n.
Với a an khi và chỉ khi m < n.
Hệ quả 1: Với 0 < a < b và m là số nguyên thì:
am 0.
am>bm khi và chỉ khi m < 0.
Hệ quả 2: Với a, b là những số dương và n là 1 số nguyên khác 0 thì: an=bn khi và chỉ khi a = b.
2. Căn bậc n và lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Định nghĩa 2: Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b (nếu có) sao cho: bn=a
Ta thừa nhận 2 khẳng định sau đây:
Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có 1 căn bậc n, kí hiệu na
Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương a có đúng 2 căn bậc n là hai số đối nhau. Căn có giá trị dương kí hiệu là na (còn gọi là căn số học bậc n của a), căn có giá trị âm kí hiệu là -na.
Mốt số tính chất của căn bậc n: Với a, b > 0 và n, m ∈Z+ ta có:
na.b=na.nb , nab=nanb , nam=nam, knakm=nam với k∈Z+, mna=m.na 
Chú ý: 
1a=a , n0=0
Số âm không có căn bậc chẵn vì lũy thừa bậc chẵn của 1 số thực bất kì là số không âm.
Với n ∈Z+ lẻ, ta có: na>0 khi a>0, na<0 khi a<0.
nan=a khi n lẻa khi n chẵn
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho a là số thực dương và r là số hữu tỉ. Giả sử r=mn , trong đó m ∈Z , n ∈Z+. Khi đó, lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi: ar=amn=nam . Từ đó: na=a1n