Giáo án Ôn thi HSG Toán 9

hương trình có một nghiệm: hoặc 
* Bài toán 4: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:
* Bài toán 5: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghệm dương ( 0 < x1 x2 ).
* Bài toán 6: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm âm ( x1 x2 < 0 ):
* Bài toán 7: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu ( x1 < 0 < x2 ):
P < 0
* Bài toán 8: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: 0 = x1 < x2:	
* Bài toán 9: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: x1 < x2 = 0:
* Bài toán 10: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: x1 = x2 = 0 
*/ Chú ý: Ta lưu ý đến điều kiện a # 0 để phương trình có hai nghiệm
So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số 
* Số nằm giữa hai nghệm: x1 < < x2 
* Số nằm phía trái của hai nghiệm: < x1 < x2
* Số nằm phía phải của hai nghiệm: x1 < x2 < 
* So sánh nghiệm với 2 số . 
II/ BÀI TẬP
1.Bài toán 1: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 (1) 
 a/ Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
 b/ Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
 c/ Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: -2 < x < 4
Giải
a/ Phương trình (1) có: = (- m)2 – m2 + 1
 = m2 – m2 + 1 > 0
 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b/ Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu:
Vậy với m > 1 hoặc m < - 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
c/ Để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: -2 < x < 4
( I )
( II )
Giải (I) ta được: m > - 1
Giải (II) ta được: m < 3 
Vậy với - 1 < m < 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn -2 < x < 4
Tiết 2:
2.Bài toán 2: Cho phương trình: x2 – (a2 + 3 )x +a2 + 2 = 0 (*)
 CMR: phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt
HD
Để pt có hai nghiệm dương phân biệt: 
Ta có: 
Vậy (1) luôn đúng với mọi a
Ta có: S = x1 + x2 = a2 + 3 3 	Vậy (2) luôn đúng với mọi a
Ta có: P = x1.x2 = a2 + 2 2	Vậy (3) luôn đúng với mọi a
 KL: Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt dương với mọi a
3. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Cho phương trình : .
Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi .
Chứng minh có một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm số không phụ thuộc .
Tìm những giá trị nguyên của để biệt thức của phương trình sau là số chính phương : .
Tìm để phương trình có 4 nghiệm phân biệt sao cho khi biểu diễn 4 nghiệm đó lên trục số nó chắn trục số thành 3 đoạn bằng nhau.
Tìm để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt : 
Chứng minh rằng phương trình bậc hai : không thể có nghiệm hữu tỷ nếu đều là số lẻ.
Tìm để hai phương trình sau tương đương : 
 và 
Giả sử là các nghiệm của phương trình : 
 Chứng minh : . 
Chứng minh rằng nếu các hệ số phương trình sau luôn có nghiệm :
Chứng minh rằng nếu các hệ số của phương trình : thỏa mãn điều kiện : thì phương trình sẽ có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Chứng minh rằng nếu với là các số dương thì phương trình sau đây vô nghiệm : .
Chứng minh rằng : là nghiệm của phương trình : .
Tìm giá trị của tham số để 2 bất phương trình sau đây có đúng một nghiệm chung : .
Cho 2 phương trình . Chứng minh rằng nếu thì ít nhất có một trong 2 phương trình trên phải có nghiệm.
Cho phương trình có nghiệm là .
Tính theo các biểu thức sau : 
Cho . Tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào .
Chứng minh rằng nếu phương trình có 2 nghiệm dương thì phương trình cũng có 2 nghiệm dương.
Với giá trị nào của thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung :
 .
Cho hai phương trình : 
Tìm để 2 phương trình (1), (2) có cùng tập hợp nghiệm.
Tìm để phương trình có 2 nghiệm sao cho .
Cho hàm số , tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ thỏa mãn : .
Tìm các giá trị của sao cho 2 phương trình có nghiệm chung.
Cho phương trình : ( là tham số)
Tìm để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt . Khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào . Tìm để phương trình trên có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức : .
Tiết 3-4
III/ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp 1:
- Trường hợp phương trình có ẩn số ở mẫu, ta thu tất cả về một vế, vế còn lại bằng 0
- Đặt điều kiện các mẫu khác 0. Do đó suy ra điều kiện của ẩn trong phương trình
- Giải phương trình bằng cách quy đồng mẫu thức. So với điều kiện trước khi trả lời
Phương pháp 2:
Trường hợp ẩn x có bậc cao
- Biến đổi phương trình thành phương trình tích hoặc 
- Hoặc vận dụng cách đặt ẩn phụ
Các ví dụ:
Giải các phương trình:
Hướng dẫn:
b/ Đặt với y 1, x 1 (*) 
Do đó (2) x2 - 5x + 6 = 0 
Phương trình có hai nghiệm là: x1 = 3; x2 = 2( thỏa mãn (*))
c/ Đặt x3 = t phương trình đã cho tương đương với: t2 – 2y – 80 = 0
d/ Phương trình đã cho tương đương với: (x + 1)2(x2 + 2)(x – 1) = 0 
IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 	 2) 	
3) 4) 	 
Bài 2: Giải các phương trình sau: 
 1) 	2) 	 3) 
Bài 3: Giải các phương trình sau:
 a/ 	b/ 	c/ 
Bài 4: Giải các phương trình:
a/ b/ 	
c/ d/ 	
Bài 5: Giải các PT sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 6. Giải các PT sau:
a) 	b) 
c) 	d) 	
Ngày soạn: 
Ngày giảng: 
CHUYÊN ĐỀ 6: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
I-Phương trình nghiệm nguyên dạng:
ax + by = c (1) với a, b, c Î Z
1.Các định lí:
 a. Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình ax + by = c (trong đó a,b,c là các số nguyên khác 0 ) có nghiệm nguyên (a,b) là ước của c.
 b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) là một nghiệm nguyên của phương trình ax + by = c thì nó có vô số nghiệm nguyên và nghiệm nguyên (x,y) được cho bởi công thức: 
 Với t Z, d = (a,b)
2.Cách giải:
Bước 1: Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y)
Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y 
Bước 3: Thay y vào x sẽ tìm được nghiệm nguyên 
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2x + 5y =7 
Hướng dẫn:	Ta có 2x + 5y =7 Û x = 
Û x = 3 – 2y +
Do x, y nguyên Þ nguyên. Đặt = t với (t Z )
Þ y = 1 – 2t Þ x = 3 – 2(1- 2t) + t = 5t + 1
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
 x = 5t + 1
 y = -2t +1	(t Z )
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên
 6x – 15 y = 25
Hướng dẫn:
Ta thấy( 6,15 ) = 3 mà 3/25 
	Vậy không tồn tại x,y nguyên sao cho 6x- 15y = 25
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình.
	5x + 7y = 112
Hướng dẫn:
	Ta có 5x + 7y = 112
 Þ x = = 22 - y + 
 Do x, y nguyên Þ nguyên hay (2 – 2y) 5 Û 2(1-y) 5; (2 , 5) = 1
 Þ (1-y) 5 hay (y-1)5 . Đặt y-1 = 5t 	(t Z ) 
Þ y = 5t +1 
 thay y vào x ta có x = 21 – 7t
Þ
 lại có x > 0; y > 0 Þ 	5t + 1 > 0	t > -
	 21 – 7t > 0	t < 3
 Þ t = 
	 Nếu t = 0 Þ x = 21; y = 1
 	 Nếu t = 1 Þ x = 14; y = 6
 	 Nếu t = 2 Þ x = 7; y = 11
II. Phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng
 	 g (x1, x2,., xn) . h (x1, x2,., xn) = a (3) Với a Z
1.Cách giải:
Đặt	g (x1, x2,., xn) = m 	(với m là ước của a)
Þ	h(x1, x2,., xn) = 
Giải hệ:	g (x1, x2,., xn) = m 	
	h(x1, x2,., xn) = 
tìm được x1, x2,., xn thử vào (3) ta được nghiệm của phương trình.
2.Chú ý:
-Nếu a = 0 ta có	g (x1, x2,., xn) = 0	
	h(x1, x2,., xn) = 0
-Nếu a = pa với p nguyên tố thì từ pt (3) ta có: g (x1, x2,., xn) = pa1
	 h(x1, x2,., xn) = pa2
 Với a1 + a2 = a
Ví dụ 4: Tìm x, y º Z biết x – y + 2xy = 6
Hướng dẫn: Ta có x – y + 2xy = 6 Û 2 x – 2y + 4 xy = 12
Û 2 x – 2y + 4 xy –1 = 11 Û (2x – 1) + 2y(2x-1) = 11Û (2x – 1) (2y + 1) = 11
Ta có 11 = 1.11= (-1)(-11) = 11.1 = (-11)(-1)
 Ta có	2y + 1 = 1	Þ (x; y) = (6; 0)
	2x – 1 = 11
	2y + 1 = -1	Þ (x; y) = (-5; -1)
	2x – 1 = -11
	2y + 1 = 11	Þ (x; y) = (1, 5)
	2x – 1 = 1
2y + 1 = -11	Þ (x; y) = ( 0; -6)
	2x – 1 = -1
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1 + x + x2 + x3 = 2y
Hướng dẫn: Ta có 1 + x + x2 + x3 = 2y Û (1 + x) (1 + x2) = 2y
Þ 1 + x = 2 m và 1 + x2 = 2y – m (m nguyên dương)
Þ 	x = 2 m – 1	Þ 	x2 = 22m – 2 m +1 + 1
x2 = 2y – m - 1	 x2 = 2y – m – 1
Þ 22m – 2m + 1 + 1 = 2 y – m - 1
Þ 2 y – m – 22m + 2m +1 = 2
Nếu m = 0 Þ x = 0 ; y = 0 (t/m)
Nếu m > 0 Þ 2 y – m – 1 – 22m – 1 + 2m = 1 mà 22m – 1và 2m đều là số chẵn nên:
Þ 2 y – m – 1 lẻ Þ 2 y – m – 1 = 1 Þ y – m – 1 = 0 Þ y = m + 1
Þ 2 m - 22m – 1 = 0 Þ 2 m = 22m – 1 Þ m = 2m – 1 Þ m = 1
Þ y = 2 ; x = 1
Vậy (x, y) = (0; 0); (1; 2)
III. Phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng
[g1 (x1, x2,., xn)]2 + [g2 (x1, x2,., xn)]2 + + [gn (x1, x2,., xn)]2 = 0
1.Cách giải:Ta thấy vế trái của phương trình là các số hạng không âm, tổng của chúng bằng 0 nên mỗi số hạng phải bằng 0 
 	 g1 (x1, x2,., xn) = 0
Do vậy có:	g2 (x1, x2,., xn) = 0
..
gn (x1, x2,., xn) = 0
	Giải hệ này ta được x1 , x2 ,, xn
Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + y 2 –2xy + 2y – 6x + 5 = 0
Hướng dẫn:
 (Dùng phương pháp phân tích thành nhân tử ta biến đổi vế trái của phương trình)
 Ta có 	2x2 + y 2 –2xy + 2y – 6x + 5 = 0
 	 Û y 2 – 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 – 4x + 4 = 0
	 Û	(y – x + 1)2 + (x – 2 )2 = 0
 Vậy	 y – x + 1 = 0	 hay 	x = 2
 	 	x – 2 = 0	y = 1
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là x = 2 ; y = 1
Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : (x –1) (y+1) = (x+ y)2
Hướng dẫn: Ta có	(x-1) (y+1) = (x+ y)2
	Û 	(x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2
	Û	[(x-1) + (y+1)]2 - (x-1) (y+1) = 0
	Û 	(x-1)2 + (y+1)2 + (x-1) (y+1) = 0
	Û	[(x-1) + (y+1)]2 + (y+1)2 = 0
	Û	 y + 1 = 0	Û y = -1
	(x-1) + (y+1) = 0	 x = 1
 	Vậy nghiệm của phương trình là ( x = 1 ; y = -1)
IV- Phương trình nghiệm nguyên mà các ẩn có vai trò bình đẳng
Khi làm toán ta thường gặp một số bài toán mà trong đó các ẩn bình đẳng với nhau . Để giải các bài toán đó có nhiều cách giải khác nhau tuỳ thuộc vào từng loại cụ thể. Ở đây ta nghiên cứu đến 1 phương pháp giải toán này:
Ta giả sử các ẩn xảy ra theo một trật tự tăng dần rồi tiến hành giải
Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: + + + = 1
Hướng dẫn: Giả sử 1	£ x £ y £ z Þ x2 £ xy £ xz £ yz £ xyz 
 Þ 	1 = + + + £ + + + 
Û	1 £ Þ x2 £ 12 Þ x º 1, 2,3	
Nếu x = 1 Þ + + + = 1
Þ z + 1 + y + 9 = yz Þ yz – z – y + 1 = 11 
(y- 1) (z - 1) = 11 Þ y = 2 ; z = 12 hoặc z =2 ; y = 12
Nếu x = 2 Þ + + + = 1
Þ (2y - 1) (2z-1) = 23 Þ y = 1; z = 12 hoặc y = 12; z = 1
Nếu x = 3 Þ (3y – 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm
Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) và các hoán vị 
Ngày soạn: 
Ngày giảng: 
CHUYÊN ĐỀ 7: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
PHƯƠNG PHÁP 1 : DÙNG ĐỊNH NGHĨA
 Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta chứng minh A –B > 0
 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M
 Ví dụ 1 " x, y, z chứng minh rằng :
 a) x + y + z xy+ yz + zx
 b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
 c) x + y + z+3 2 (x + y + z)
 Giải: a) Ta xét hiệu: x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
 =đúng với mọi x;y;z
 Vì (x-y)2 0 với"x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y; (x-z)2 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
 (y-z)2 0 với" z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
 Vậy x + y + z xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
 b)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz
 =( x – y + z) đúng với mọi x;y;z
 Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z. Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
 c) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1
 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a) ; b) 
c) Hãy tổng quát bài toán
Giải: a) Ta xét hiệu = = 
 	=. Vậy ; Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu: =
 Vậy; Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát: 
PHƯƠNG PHÁP 2 : DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
 Chú ý các hằng đẳng thức sau: 
 Ví dụ 1:Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng: a) 
 b) c)
 Giải: a) 
 (bất đẳng thức này luôn đúng)
 Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
 b) 
 Bất đẳng thức cuối đúng.
 Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
 c) 
 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 
Giải: Dùng phép biến đổi tương đương ;
	 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) ó 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 
 ó 9 4ab + 8 ó 1 4ab ó (a + b)2 4ab
 	Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x>y Chứng minh 
Giải: Ta có: vì : xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y)
 x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0
 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 
Giải : Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0
 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0 a2 + b2 - 0 . Vì a + b = 1
 Û 2a2 + 2b2 - 1 0 Û 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) Û 4a2 - 4a + 1 0Û ( 2a - 1 )2 0
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab 
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 
PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC
A/ một số bất đẳng thức hay dùng
 1) Các bất đẳng thức phụ:
 a) b) 	c)
 2)Bất đẳng thức Cô sy: Với 
 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski: 
 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
 Nếu 
 Nếu . Dấu bằng xảy ra khi
B/ Các ví dụ
 Ví dụ 1: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: 
 Tacó ; ; 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
 Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng:
 Giải: áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) ó 
 Tương tự ta thu được : , 
 Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : 
 a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dương ).
	Từ đó suy ra : 
Ví dụ 2 : Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : x2 + y2 = 
 	Chứng minh rằng : 3x + 4y 5
Giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 
 (x2 + y2)2 = ()2 ( ; )
 (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) => x2 + y2 1
 Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 5 
 Đẳng thức xảy ra ó ó . Điều kiện : 
Ví dụ 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
	 a, 
	 b, 
Giải : a, Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
 => => .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 b, Áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : 
 Tương tự : ; 
 Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 
 Vậy : 
Ví dụ 4 : Cho các số dương a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : 
Giải : Ta có : , a , b > 0
 Ta có : .1 = .(a + b + c)
 == 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 => Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = 
 Ví dụ 5: Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng : 
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : Þ 
 => (x + y)( ) 4 => 
Ví dụ 6: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 tacó ac+bd
 mà 
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: 
	Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 
 3
 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
PHƯƠNG PHÁP 4:DÙNG TÍNH CHẤTCỦA TỶ SỐ
Kiến thức
 1) Cho a, b ,c là các số dương thì
 a) Nếu thì 
 b) Nếu thì 
 2) Nếu b, d >0 thì từ 
`
 Ví dụ 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng: 
 Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có: (1)
 Mặt khác : (2)
 Từ (1) và (2) ta có: < < (3)
 Tương tự ta có: (4)
 (5)
 (6)
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có 
 điều phải chứng minh
Ví dụ 2 : Cho: 0 .Chứng minh rằng <
Giải: Từ < 
Vậy < điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Cho a;b;c;d là các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI
 Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
 (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = 
 Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: 
 Khi đó :
 S = 
 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = 
 Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:= 
 Khi đó P = 
 Ví dụ 1 :Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng : 
 Giải: Ta có với k = 1,2,3,,n-1
 Do đó: 
 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với n là số nguyên
 Giải : Ta có 
Ta có: 1 > 2
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng 
 Giải: Ta có 
 Ta có: 
 Vậy 
 PHƯƠNG PHÁP 6: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0; và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a 
Ví dụ 1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải: a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
 Þ 
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 
 a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > êb-c ï Þ > 0
 b > êa-c ï	Þ > 0
 c > êa-b ï	Þ 
 Nhân vế các bất đẳng thức ta được
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác) . Chứng minh rằng : 
Giải: Ta có : p - a = 
 Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; 
 áp dụng bất đẳng thức ta được ; 
 Tương tự : ; 
 => => điều phải chứng minh .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c ó a = b = c. Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
PHƯƠNG PHÁP 7: ĐỔI BIẾN SỐ
Ví dụ1: Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : 
 Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = 
 => a = , b = , c = 
 Khi đó : VT = = 
 = 
Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. cmr: (1)
Giải: Đặt x = ; y = ; z = 
 Ta có 
 (1) Với x+y+z 0
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 3. 
	3. . 
 Mà x+y+z < 1. Vậy (đpcm)
PHƯƠNG PHÁP 8: DÙNG TAM THỨC BẬC HAI
 Cho tam thức bậc hai 
 Nếu thì 
 Nếu thì 
 Nếu thì với hoặc ()
 với 
Ví dụ: Chứng minh rằng: (1)
 Giải:Ta có (1) 
 Vậy với mọi x, 
Các bài tập nâng cao
I / DÙNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
 1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng: 
 Giải :Ta có (vì xy = 1) 
 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với
 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng: 
 Giải : Ta có 
BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh
II / DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1. Chứng minh rằng: 
 Giải : Áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
 Ta có 
 (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
 2) Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: (1)
 Giải : (1) 
 Áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0
 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng. Vậy (đpcm)
III / DÙNG PHƯƠNG PHÁP BẮC CẦU
 So sánh 31 và 17
 Giải : Ta thấy < 
 Mặt khác 
 Vậy 31 < 17 (đpcm)
 IV/ DÙNG TÍNH CHẤT TỈ SỐ
 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng :
 Giải : Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có
 (1)
 (2)
 (3)
 Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
 (đpcm)
 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác
 Chứng minh rằng:
 Giải :Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0
 Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
 Từ (1) . Mặt khác 
 Vậy ta có Tương tự ta có 
 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có :
 (đpcm)
 V/ PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI :
 1) Chứng minh BĐT sau: a) ; b) 
 Giải : a) Ta có 
Cho n chạy từ 1 đến k . Sau đó cộng lại ta có: (đpcm)
 b) Ta có: 
 < (đpcm)
Ngày soạn: 
Ngày giảng: 
CHUYÊN ĐỀ 8: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
I . KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các kiến thức thường dùng
1.1. Luỹ thừa :
a) x2 ³ 0 "x Î |R Þ x2k ³ 0 "x Î |R, k Î z Þ - x2k £ 0
Tổng quát : [f (x)]2k ³ 0 "x Î |R, k Î z Þ - [f (x)]2k £ 0
Từ đó suy ra : 	[f (x)]2k + m ³ m 	"x Î |R, k Î z
M - [f (x)]2k £ M 
b) ³ 0 	"x ³ 0 	Þ ()2k ³ 0 	"x³0	; k Îz
Tổng quát : ()2k ³ 0	" A ³0	(A là 1 biểu thức)
1.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối :
a) |x| ³ 0	" xÎ|R
b) |x+y| £ |x| + |y| 	; nếu "=" xảy ra Û x.y ³ 0
c) |x-y| ³ |x| - |y|	; nếu "=" xảy ra Û x.y ³ 0 và |x| ³ |y|
1.3. Bất đẳng thức côsi :
 "ai ³ 0 	; i = : "nÎN, n ³2.
dấu "=" xảy ra Û a1 = a2 = ... = an
1.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với n cặp số bất kỳ a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta có :
(a1b1+ a2b2 +...+anbn)2 £ (
Dấu "=" xảy ra Û = Const (i = )
1.5. Bất đẳng thức Bernonlly : 
Với a ³ 0 	:	(1+a)n ³ 1+na	"n ÎN.
Dấu "=" xảy ra Û a = 0.
Một số Bất đẳng thức đơn giản thường gặp được suy ra từ bất đẳng thức (A+B)2 ³ 0.
a2 + b2 ³ 2ab
(a + b)2 ³ 4ab
2( a2 + b2 ) ³ (a + b)2
e. 
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁ