Giáo án môn Toán 10 - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ( TỪ 00 đến 1800)
 1/ Định nghĩa :
 	Trên nửa đường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc = a và M(x0;y0). Khi đó ta định nghĩa:
sin của góc a là y0; ký hiệu sina = y0 	
côsin của góc a là x0; ký hiệu cosa = x0 
tan của góc a là ( x0 ¹ 0); ký hiệu tan a = 
cot của góc a là( y0 ¹ 0); ký hiệu cot a = 
	* Dấu của các tỉ số lượng giác:
00≤a ≤900
900<a <1800
sina
+
+
cosa
+
-
tana
+
-
cota
+
-
	* Chú ý: 	+ tana chỉ xác định khi a¹900
	+ cota chỉ xác định khi a¹00 và a¹ 1800
 2. Tính chất : Hai góc bù nhau (tổng hai góc bằng 1800)
sin( 1800-a ) = sina 	
cos ( 1800-a) = - cosa 
tan (1800-a) = -tana (a ¹ 900)
cot ( 1800-a ) = - Cot a ( 0 <a < 1800)
 3. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 
Góc
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
0
π
sin
0
1
0
cos
1
0
–
–
–
tan
0
1
||
–
0
cot
||
1
0
–
||
4. Góc giữa hai vectơ
Cho hai véctơ ,đều . Từ điểm O tuỳ ý dựng=,= . Góc 00 ≤ ≤ 1800 được gọi là góc giữa hai véctơ ,. 
Kí hiệu là: (,).
Nếu (,)= 900 thì ta nói vuông góc . Kí hiệu: ^
* Chú ý: : 
+ (,)= (,)
+ (,)= 00 Û cùng hướng
+ (,)= 1800 Û ngược hướng
 * Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai véc tơ và là véctơ thì ta có thể xem góc bao nhiêu cũng được. 
Các hệ thức cơ bản:
a) Nếu cos0 thì 
b) Nếu sin0 thì 
c) += 1 
d) tan.cot = 1 
e) 1 + tan2 = 
f) 1 + cot2= 
* Góc phụ nhau
 Sin(900-) = Cos 
 Cos(900-) = Sin 
 tan(900-) = Cot
 cot(900-) = tan. 
* Góc đối nhau
 sin(-) = - sin 
 cos(-) = cos
* Chú ý: sin2a = (sina)2¹ sina2
Dạng toán 1 : Sử dụng máy tính để tính giá trị lượng giác của một góc.
Bài 1: Tính các giá trị sau :
sin65049’35” 	b) cos92071’42” 	 c) tan(63050’53”) 	 d) cot(23012’)
Bài 2: Tìm x biết :
sinx= 0,233	b) cosx = 0,235	 c) tanx = 2 	 d) cotx = 1,43 
Dạng toán 2: Tính giá trị lượng giác của góc
Bài 1 : Tính giá trị lượng giác của góc:
a.45 0 b.1200 c. 1350
Bài 2: Cho hình vuông ABCD. Tính :
cos⁡(AC,BA) ; sin⁡(AC,BD) ; cos⁡(AB,CD)
Bài 3: Cho hình vuông ABCD, tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau :
(AC,BC)	;	(CA,DC)
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, AD = 3cm. Tính các góc :
(AC,AD) 	; 	(CA,CB)
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(3;4). Tìm sinα, cosα, tanα, cotα với α=xOM
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(x;4). Và xOM=1200. Tìm x
Bài 7 : Tính giá trị biểu thức:
A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600
B = Sin 1000 - sin 800 + cos 160 + cos 1640
C = cos 00 + cos100 + cos200 + . . . . . . + cos 1700
Bài 8: Biết cosx= , tính P = 3sin 2x + 4cos2x. 
Bài 9: Cho biết 1 giá trị lượng giác của 1 góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:
sinα=14, α nhọn
tanβ=22
cosγ=-13
Bài 10: Cho biết giá trị lượng giác của 1 góc, tính giác trị của 1 biểu thức:
Biết sinx=13 ,900<x<1800.Tính A=tanx+3cotx+1tanx+cotx
Biết tanx=2, Tính B=3sinx-cosxsinx+cosx
Biết tanx=2, Tính C=sinx-cosxsin3x+3cos3x+2sinx
Bài 11: Cho sinx+cosx = 43. Tìm: 
A = sinx + cosx
B = sin3x+cos3x
C = cos2x-cot2xsin2x-tan2x
Dạng toán 3 : Chứng minh :
Bài 1 : Chứng minh ;
sin1150 = sin650	b) cos1450 = - cos350	c) tan1230 = - tan570
Bài 2 : Chứng minh :
sinx+cosx2=1+2sinxcosx
tan2x-sin2x=tan2x.sin2x
Bài 3 : Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng:
sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC
cos(A + C) + cos B = 0
tan( A – C) + tan(B+2C) = 0
sinA = sin(B + C)
cosA = -cos(B + C)
sin = cos
sin = cos
sin = cosC
§2 TÍCH VÔ HƯỚNG 2 VÉCTƠ
1/ Định nghĩa:
Tích vô hướng của hai véctơ a và b là một số, kí hiệu là a.b, được xác định bởi: 
a.b=abcos⁡(a,b)
 Bình phương vô hướng : a2=a2
 * Chú ý: + a.b=a.bóa cùng hướng b 
+ a.b=-a.bóa ngược hướng b 
2/ Các tính chất: Cho " ; " k ÎR
+ . = .	( Tính giao hoán)
+ . = 0 ^ 
+ (k) = k ()
+ (±) = ± (Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ )
	 + ()2= ||2 2 + ||2 
+ (+)(-) = ||2 - ||2 
3/ Công thức hình chiếu
Tích vô hướng của hai véctơ và bằng tích vố hướng của véctơ a với hình chiếu của véctơ trên đường thẳng chứa véctơ 
	.= .
4/ Biểu thức toạ độ của tích vô hướng 
Cho = (x, y) , = (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta có 
 	.= x.x' + y.y' 	|| = 
Cos (,) = 
^	Û xx' + yy' = 0
 	MN = || = 
5/ Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định, Một đường thẳng r thay đổi, 
luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B
 Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu: P M/(O)
	P M/(O) = MO2 – R2 =
 	Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì P M/(O) = MT2
* Bất đẳng thức vectơ
 	|.| | |.|| 
 	 |+| | | + ||
Bài tập : Tính tích vô hướng – Tính góc – Chứng minh thiết lập vuông góc
Tính tích vô hướng
Ta có thể lựa chọn 1 trong các hướng sau :
Sử dụng định nghĩa bằng cách đưa 2 vectơ a,b về cùng gốc để xác định chính xác góc α=(a,b). Từ đó : a.b=a.b.cosα
Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của 2 vectơ.
Nếu đề bài cho dạng tọa độ a=(x ;y), b=(x’ ;y’) => a.b = xx’ +yy’
Tính góc
cosa,b=a.bab=xx'+yy'x2+y2x'2+y'2
Chứng minh vuông góc
Ta có thể lựa chọn các hướng sau :
Nếu đề bài không cho tọa độ, ta sử dụng tính chất của tích vô hướng.
a ^ b ó a^ b ó a.b=0 ó a.b.cosα=0 ó a=0b=0cosa,b=0
Nếu đề bài cho tọa độ a=(x ;y), b=(x’ ;y’) thì a^b ó a.b=0 ó xx’ + yy’=0
Bài tập :
Bài 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. M,N là 2 điểm thuộc cạnh AB sao cho AM=MN=NB. Tính các tích vô hướng sau :	
 	AB.AC ;	 AC.CB ;	 CM.CN
Bài 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh a ; M,N lần lượt là trung điểm BC và CD. Tính :
 AB.AM ;	 AM.AN
Bài 3 : Cho tam giác vuông tại A, có AB=a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng :
AB.AC 	b) AC.CB	
Bài 4 : Cho tam giác ABC, trọng tâm G, M là 1 điểm nằm trên đường thẳng (d) qua G và vuông góc với BC. Chứng minh rằng : MA+MB+MCBC=0
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = a, có đường cao AH. Tính :
AB.AC 	b) AH.BC	c) AB.BC
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB.CB=4 và AC.BC=9
Tính các cạnh của tam giác ABC
Gọi I, J là các điểm thỏa mãn : IA+2IB=0, 2JB-JC=0. Tính IJ theo BA,BC.
Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a3, M là trung điểm của BC. Biết rằng : AM.BC=a22. Tính AB và AC.
Bài 8 : Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường trung tuyến AM. Tính các tích vô hướng sau :
AC.(AC-AB) 	b) AM.AB 	c) (AB-AC)(AB+AC)
Bài 9 :Cho tam giác ABC có A(1 ;2) ; B(-2 ;6) ; C(9 ;8)
Tính AB.AC. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC
Tính chu vi, diện tích tam giác ABC
Tìm tọa độ điểm M trên Oy để B,M,A thẳng hàng
Tìm tọa độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N
Tìm tọa độ D để ABDC là hình chữ nhật
Tìm tọa độ đỉnh K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO
Tìm tọa độ điểm E đối xứng với A qua B
Bài 10 : Xác định hình dạng tam giác ABC biết :
A(1;0) ; B(5;0) ; C(3 ;4)
A(1;2) ; B(-2;6) ; C(9;8)
Bài 11 : Trong mặt phẳng Oxy, cho a1;3 ;b=6;-2 ; c(x;1)
Chứng minh ab
Tìm x để ac
Tìm tọa độ vectơ d sao cho ad và b.d=20
Bài 12 : Cho tam giác ABC có A(4 ;3) ; B(0 ;-5) ; C(-6 ;-2)
Chứng minh tam giác ABC vuông tại B
Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 13 : Cho 3 điểm A(7 ;4) ; B(0 ;3) ; C(4 ;0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên BC. Từ đó suy ra tọa độ điểm A1 là điểm đối xứng với A qua BC.
Bài 14 : Cho A(0;2) ; B(6;9) ; C(4;1) ; D(2 ;10)
Chứng minh tam giác ABC vuông
Chứng minh ABCD là hình chữ nhật
Gọi C’ thỏa CC'=AB. Tìm tọa độ C’ suy ra D đối xứng với C’ qua B 
Bài 15 : Cho tam giác ABC, có AB = a, AC = 2a. Gọi D là trung điểm cạnh AC, M là điểm thỏa mãn : BM=13BC. Chứng minh BD vuông góc với AM.
§3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Các kí hiệu trong tam giác 
BC = a; 	AC = b;	 AB = c 
ha = AH1;	 hb = BH2;	 hc = CH3 
ma = AM1;	 mb = BM2; 	mc= CM3 
R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 
r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
 	 p = nửa chu vi. 
 * Các góc ở đỉnh A,B,C được kí hiệu là A, B, C. 
 * ma là đường trung tuyến nối từ đỉnh A. 
2. Định lý cosin trong tam giác
 Với mọi tam giác ABC ta có: 
a2 = b2+ c2 - 2bcCosA ;
b2 = a2 + c2 - 2acCosB ; 
c2 = a2 + b2 - 2abCosC 
3. Định lý sin trong tam giác
 Trong tam giác ABC ta có: a=2RsinA; b= 2RsinB;c= 2RsinC 
hay 
4. Định lý trung tuyến 
5. Các công thức tính diện tích tam giác
 Cho tam giác ABC thì diện tích được tính theo một trong các công thức sau: 
 . SABC = =
 . SABC = = 
 . SABC = 
 . SABC = pr 
 . SABC =
6) Hệ thức trong tam giác vuông ( bổ sung).
BC2 = AB2 + AC2	AB2 =BC. BH
AC2 =BC. CH	AH2 = BH.CH
AB.AC = BC.AH	1AH2=1AB2+1AC2
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho ∆ABC vuông tại A, B=580 và cạnh a = 72cm. Tính C, cạnh b, cạnh c và đường cao ha.
Bài 2 : Cho ∆ABC biết các cạnh a = 5cm, b = 9cm và c = 6cm. Tính các góc của ∆ABC.
Bài 3 : Tính diện tích của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12.
Bài 4 : Cho ∆ABC có A=1200. Tính cạnh BC biết cạnh AC = m và AB = n.
Bài 5 : Cho ∆ABC biết cạnh a = 137,5cm ; B=830 và C=570. Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác.
Bài 6 : Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n. Chứng minh rằng m2 + n2 = 2(a2+b2) .
Bài 7 : Cho ∆ABC có BC = 40cm, CA = 13cm, AB = 37cm. Tính góc nhỏ nhất của ∆ABC.
Bài 8 : Cho ∆ABC vuông tại A, và AB = 3, AC = 4. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD=CB. Tính các cạnh BD, AD ; các góc B, D, A của tam giác ABD ; bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích của tam giác này.
Bài 9 : Cho hình vuông ABCD có cạnh 6cm, E là trung điểm của CD. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ACE và các góc của tam giác này.
Bài 10 : Cho tam giác ABC có AB = c = 45 ; AC = b = 32 ; BAC = 870 . Tính các cạnh và các góc còn lại.
Bài 11 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác, ta có :
a=b.cosC+c.cosB 
ha = 2RsinBsinC
 sinA = sinBcosC + sinC.cosB
Bài 12 : Cho ∆ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.
Chứng minh AH = a.sinB.cosB, BH = a. cos2B, CH = a. sin2B
Bài 13 : Giải tam giác, biết : 
c = 14, A=600, B=400 	c) b = 4,5, A=300, C=750
c = 35, A=400, C=1200	d) a = 137, C=570, B=830
 Bài 14 : Giải tam giác, biết :
a = 6,3 ; b = 6,3 ; C=540, 	c) a = 7, b = 23, C=1300, 
b = 32 ; c = 45 ; A=870, 	d) b = 14, c = 10, A=1450, 
Bài 15 : Giải tam giác, biết :
 a= 14 ; b=18 ; c= 20	c) a= 6 ; b= 7,3 ; c= 4,8
a = 4 ; b = 5 ; c = 7	d) a = 23 ;b=22;c= 6-2