Giáo án Dạy thêm Hình 10

ường hợp nào thì hai véctơ và cùng hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng. 
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm trên hình vẽ các véctơ bằng ,,. 
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
Tìm các vectơ cùng phương với ;
Tìm các vectơ cùng hướng với ;
Tìm các vectơ ngược hướng với ;
Tìm các vectơ bằng với , bằng với .
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác và cùng phương ;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ ;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ và có:
	+ Các điểm đầu là B, F, C
	+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
bằng vectơ ; 
Có độ dài bằng ê ê
Bài 9: Cho tứ giác ABCD. 
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu thì 
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. 
Chứng minh : 
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
	a) và cùng hướng, ||>||;
	b) và ngược hướng;
	c) và cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
 . Chứng minh .
Hướng dẫn:
Bài 1: 	có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.
Bài 2: có, đó là vectơ-không
Bài 3:	nếu ngược hướng và ngược hướng thì cùng hướng
Bài 4:	Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.
Bài 7: a) 
	b) 
	c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó 
* là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB Þ 
+ tương tự 
Bài 8: 	a) ,
b) 
Bài 9: 
Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành 	
 * 
Chứng minh chiều : * = , cùng hướng và 
 * và cùng hướng AB // CD (1)
 * AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 10: Þ AB=DC, AB//CDÞABCD là hình bình hành Þ 
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng AC
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
Þ đpcm
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
	a) và cùng hướng, ||>||;
	b) và ngược hướng;
	c) và cùng phương;
	HD: a) và cùng hướng, ||>|| khi C nằm giữa A và B
	b) và ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
	c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
	+ cùng hướng: nếu ||>|| thì theo a); nếu ||<| thì B nằm giữa A và C.
	+ Ngược hướng thì theo b)
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
 . Chứng minh .
HD: Ta có 
Þ AM=NP và AM//NPÞ AMNP là hình bình hành (1)
	Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)
Từ (1)&(2)Þ AºQÞ 
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
 Cho DABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR : = 
Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với 
b/ Xác định các vectơ bằng 
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ và bằng 
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ = . CMR :
a/ I là trung điểm AB và = 
b/ = = 
Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng = và = 
a/ CMR : = 
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR : = 
CĐ : TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Tóm tắt lý thuyết 
1. Tổng các vectơ
· Định nghĩa: Cho 2 véc tơ và. Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng =,=.
 Khi đó +=
Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ .
· Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : + =
· Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì + =
A
B
C
D
2. Vectơ đối
	+ Cho vectơ . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là - 	Þ +(-)=
	+ Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ có vectơ đối là nghĩa là
 = -
	+ vectơ đối của là .
3. Hiệu các vectơ (phép trừ)
	Định nghĩa: -= +(-)
	· Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
 (hoặc )hay 	
4. Tính chất : với bất kì ta có:
+ Giao hoán : = 
+ Kết hợp 	() + = +)
+ +=+=
+ +(-)=-+=
+ |+| ≤ ||+||, dấu “=” xảy ra khi , cùng hướng.
+ ­¯ và || ≥ || Þ |+|=||-||
+ = Û+=+
+ += Û =-, =-
+ -(+)=--; -(-)=-+
Ghi chú:
	+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB Û
	+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC Û 
 CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tìm tổng 
b) Chứng minh : 
Giải:
a) + Vì nên ta có 
 = ==
 +Vì nên ta có 
 = ==
 +Vì nên ta có 
 = =, E là đỉnh của hình bình hành AMED.
b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có 
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên 
Vậy 
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. 
	Chứng minh: 
Giải
	Vì O là tâm của lục giác đều nên:
	Þ đpcm
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.
	a) Chứng minh rằng vectơ đều cùng phương 
	b) Chứng minh và cùng phương.
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa ODÞ d là trục đối xứng của 
ngũ giác đều. Ta có , trong đó M là đỉnh
hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự 
, N Î d. Vậy và cùng phương 
vì cùng giá d.
b) AB và EC cùng vuông góc d Þ AB//EC
	Þ //
Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
	a) Tìm .
	b) Phân tích theo hai vectơ .
Giải
a)= 
==(Vì )
==
==
b)
B
A
C
D
Bài 5: Cho hình thoi ABCD có =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. 
Tính 
Giải 
Vì ABCD là hình thoi cạnh a và =600 nên AC=
và BD=a. Khi đó ta có :
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo.
	Tính 
Giải
Ta có AC=BD=; 
Do đó	 
	 (vì )
Ta có Þ ||=BD=
* Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
	1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
	3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì. 
	Chứng minh rằng: 	(theo 3 cách)
Giải 
	Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái
	Cách 2: (sử dụng hiệu)
	Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. 
	Chứng minh:
Giải
VT	=
	=
	= (vì )=VPÞ đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. 
Chứng minh rằng: 
Giải
Ta có nên
VT	= =
	==VPÞ đpcm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: 
Giải
VT	=
	=
	=
	Mà 
Þ=
Þ VT==VPÞ đpcm
BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : + = + 
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. 
CMR : + + = + 
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. 
CMR : 
Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. 
CMR : + + + = + + + 
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/ + = 	b/ + =
c/ + + + = 	
d/ + = + (với M là 1 điểm tùy ý)
Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR : + = + 
Cho DABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý , , 
CMR : + + = + + .
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính úç theo a
Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính ½ç	b/ Dựng = . Tính ú½
Cho DABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng = . 	b/ Tính ú½.
Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ có độ dài bằng nhau và = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : - = + 
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/ + - - + - = 
b/ - - = - - 
c/ - - = - + 
Cho DABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/ - + = 	b/ - + = 
c/ - + = 	d/ - - = 
e/ + - + = 
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính ½- ç	b/ Dựng = - . Tính ½ç
Cho DABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính ½ç	b/ Tính ½- ç
Cho DABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính½ç
BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:
 a) 	b) 
 c) .	d) 
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt = ; = 
	Tính ; ; ; theo và 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính ê + ê ; ê - ê theo a.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa 
	a) ê - ê= êê
	b) ê - ê= êê
Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a) + + = + 
b) + + = + + 
c) + + + = + + 
d) - + - + - = 
Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử . Khi nào điểm M nằm trên đường phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh : 
Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:
Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
	a) +++++=	b) ++ = 
	c) ++ =	d) ++ = ++ ( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
Chứng minh rằng + = 
Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng + + = 
Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : ê + ê = ê - ê
PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa: Cho ≠, 0≠k Î ta có =k (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:
	+ cùng phương 
	+ cùng hướng khi k>0
	+ ngược hướng khi k<0
	+ ||=| k|=|k|.| |
	Quy ước: 0=; k=
2) Tính chất: Cho , bất kì và k,h Î , khi đó
+ k(+)= k+k
+ (k+h) = k+h
+ k(h)= (kh) 
+ 1. =; (-1) =-
* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm DABC, với mọi M ta có:
3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương
	" ,; cùng phương ≠Û $ 0≠k Î : =k
(" ,; cùng phương ≠Û $ 0≠k Î : =k)
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
	Û cùng phương Û$ 0≠k Î : 
5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai , khác và không cùng phương. Khi đó " bao giờ cũng tìm được hai số m, n sao cho: = m+n.
Nếu G là trọng tâm 
AG=AI; GI=AI
AG=2GI
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Xác định vectơ k
	PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k và các tính chất
1) Cho và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
O
M
N
Giải
 Vẽ d đi qua O và // với giá của (nếu O Î giá của thì d là giá của )
- Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| |, và cùng hướng khi đó .
- Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4||, và ngược hướng nên 
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=AB. Tìm k trong các đẳng thức sau:
Giải
a) , vì Þ k=
b) k= -	c) k= -
3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 là (-5) 
	b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2+3 , -2
Giải
a) -5=(-1)(5)=((-1)5) = -(-5) 
b) -(2+3)= (-1)( 2+3)= (-1) 2+(-1)3=(-2)+(-3) =-2-3
c) Tương tự
2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
A
1) Cho D ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt . Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ .
Giải Ta có 
2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ .
Giải
	Ta có 
	mà 
	Þ 
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
	+ A, B, C thẳng hàng Û cùng phương Û$ 0≠k Î : 
	+ Nếu và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
	Ta có 
Ta có
	Từ (1)&(2)Þ Þ B, I, K thẳng hàng.
2) Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức: 
, . Chứng minh MN//AC
Giải
. Theo giả thiết
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
Þ M không thuộc ACÞ MN//AC
4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
Giải
2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: .
Giải
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có 
Þ VT=(đpcm)
3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì .
Giải
5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
	+ 
	+ Cho điểm A và . Có duy nhất M sao cho : 
	+ 
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết .
D
Giải
Þ A,G,D thẳng hàng. 
AG=2GD gà G nằm giữa A và D. 
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: .
HD
	hay IA=2IB , . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=AB
3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: 
Giải
Ta có , trong đó I là trung điểm AB
Tương tự , K là trung điểm CD
Þ G là trung điểm IK
 BÀI TẬP
Bài 1: Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : + + = 	
b/ CMR : + + = + + 
Bài 2: Cho DABC có trọng tâm G. Gọi MÎBC sao cho = 2
a/ CMR : + 2 = 3
b/ CMR : + + = 3
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : + = 2
b/ CMR : + + + = 
c/ CMR : + + + = 4 (với M tùy ý)
 d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho½ + ++½ nhỏ nhất
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : + + + = 
b/ CMR : +++ = +++
c/ CMR : + = 4 (với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai DABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. 
CMR : + + = 3
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/ + + + = 
b/ + + 2 = 3
c/ + 2+ 4= 
Bài 7: Cho DABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho = . Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR : = + 	b/ CMR : = + 
Bài 8: Cho DABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho = 2 , = 3. Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
a/ = + 
b/ = + 
Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a
	a) Phân tích theo và 
	b) Tinh theo a
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC). 
Phân tích theo và 
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích theo và .
Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
	a) Tính 
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính theo và 
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 + 3 = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 17: Cho DABC, lấy M, N, P sao cho = 3;+3= và + = 
a/ Tính , theo và 
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
	a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
	b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
a/ .	b/ 	c/ |
d/ 	e/ | 
CĐ : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.Trục tọa độ
Ä Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ có độ dài bằng 1. Ký hiệu trục (O; ) hoặc x’Ox
O gọi là gốc tọa độ; vectơ đơn vị của trục tọa độ.
Ä Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
+ Cho điểm M nằm trên trục (O; ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho . Số m gọi là tọa độ của m đối với trục (O; ) (nó cũng là tọa độ của ).
+ Cho vectơ trên trục (O; ). Khi đó có duy nhất số x sao cho . Số x gọi là tọa độ của vectơ đối với trục (O; ).
Ä Độ dài đại số của vectơ trên trục
Cho A,B nằm trên trục (O; ). Khi đó có duy nhất số a sao cho = a. Ta gọi số a là độ dài đại số của đối với trục đã cho.
Kí hiệu: a=. Như vậy =
	*Nhận xét: 	
+ Nếu thì = AB
+ Nếu thì = -AB
+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O; ) có tọa độ lần lượt là a và b thì 
= b-a
Ø Tính chất: 
+ 
+ (hệ thức Sa-lơ)
2. Hệ trục tọa độ
Ä Hệ trục tọa độ
 Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là , vectơ đơn vị trên Oy là . Ký hiệu Oxy hoặc (O; ;).
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.
Ä Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ
Đối với hệ trục (O; ;), nếu =x +y thì cặp số (x;y) là toạ độ của .
 	Ký hiệu = (x ; y) hoặc (x ; y)
Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho = (x ; y), = (x’;y’) 
	=
Ä Một số tính chất: Cho = (x ; y), = (x’;y’). Khi đó:
	1) ± = (x ± x’; y ± y’)
	2) k=(kx ; ky) với " kÎ
	3) m+ n=(mx+nx’ ; my+ny’)
	4) //¹ Û có số k thỏa =k Û Û
Ø Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M Û =(x ; y)
	Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M
+ M(x ; y)Û Û=(x;y)
	x=; y=
+ Gốc tọa độ là O(0;0)
« Tọa độ vectơ khi biết tọa độ hai điểm M, N
Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có :
	 = (xM – xN ; yM – yN) 
« Tọa độ trung điểm: Nếu P() là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:
 = ; = 
« Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG;yG) được tính theo công thức:
 xG = ; yG = 
1) | | = với = (x;y)
2) | | = với A(xA ; yA) , B(xB ; yB)
3) Cho hai ñieåm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Neáu ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k 1 thì M(xM ; yM) coù toaï ñoä laø: 
 ; 	(nếu k= -1 thì M là trung điểm AB)
4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng 
ÛÛÞ ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi
BÀI TẬP CƠ BẢN
1) Biểu diễn vectơ dưới dạng 
	a) =(1;-1)	b) =(5;0)	c) =(0;-2)	d) =(0;0)
2) Xác định tọa độ vectơ , biết:
	a) =3-4	b) =-2+	c) = -3	d) =
3) Xác định tọa độ của vectơ , biết:
	a) =+3; với (2;-1), (3;4). Tính độ dài của 
	b) =2-5; với (-1;2), (-2;-3)
Đáp án: a) =(11;11), ||=11	b) =(8;19)
4) Cho =(2;4);=(-3;1);=(5;-2). Tìm vectơ: 
a) b) .
Đáp án:	a) =	(-30;21)	b) =(118;68)
5) Cho hai điểm A(-1;1), B(1;3)
	a) Xác định tọa độ các vectơ .
	b) Tìm tọa độ điểm M sao cho .
	c) Tìm tọa độ điểm N sao cho .
Đáp án: 	a) 	b) M(4;3) 	c) N(-2;0)
6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A;), trong đó và cùng hướng, và cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điển N của BC và trung điểm M của CD.
	Đáp án: 	A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0)
7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc . Chọn hệ trục tọa độ (A;), trong đó và cùng hướng. Tìm tọa độ các véctơ 
	Đáp án: Kẻ BH^AD, ta có 
BH=3Þ AB=2 (vì DHAB vuông và )
Þ AH=. Do đó;A(0;0), B(;3), C(4+;0), D=(4;0)
8) Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(-1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác.
Đáp án: A(0;5), B(-2;1), C(4;-1)
9) Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D.
	Đáp án: D(-3;0)
10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8) 
a) Xác định tọa độ của .Tính AB. 
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. 
 c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC.
 d) A’ là điểm đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ A’.
Đáp án: a) =(12;5) 	b) I(7;11/2)	c) 
11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). 
a) Tìm tọa độ trọng tâm G.
b) Tính chu vi tam giác ABC.
Đáp án:	a) 	b) 
12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5). Tính tọa độ các véc tơ . Tính chu vi tam giác ABC.
	Đáp án: 
13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng:
 b) . 
Đáp án: 
14) Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1). Xaùc ñònh t ñeå =. 
Đáp án: t=1
15) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay không cùng phương 
a) = (1;2) và = (3;6)	b) =(= -1) và = (-2;). 
c) = (-1;4) và = (3;7)	d) = (-1;-3) và =(1;2). 
16) Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương
	a) =(2;3), =(4;x)	b) =(0;5), =(x;7)
	c) =(2;3), =(1;x)	d) =( t+1;2) =(3;4-t).
	Đáp án: 	a) x= 6	b) x= 0	c) x= 	d) t=1; t=2
17) Biểu diễn véctơ theo hai véctơ và 
 a) = (-4;7) ; = (2;-1) ;= (-3;4)
 b) = (-1;3) ; = (1;1) ;= (2;-3)
 c) = (0;5) ; = (-4;3) ;= (-2;-1). 
 HD: Tìm các số m, n sao cho = m+ ngiải hệ 
	Đáp án:	a) =+2	b) =-	c) =-2
18) Cho bốn điểm A(1;1), B(2;-1), C(4;3) và D(16;3). Hãy biểu diễn theo .
	Đáp án: =3+4
19) Cho ba điểm A(-1;1), B(1;3), C(-2;0). Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
	HD: 
20) Cho A(3;4), B(2;5). Tìm x để điểm C(-7;x) thuộc đường thẳng AB.
	Đáp án: A, B, C thẳng hàngÞ Þx=14
21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chứng minh đường thẳng AB//CD.
	Đáp án: ta có Þ AB và CD song song hoặc trùng nhau
	Ta 
Þ không cùng phương Þ C không thuộc AB Þ