Giáo án Đại số Lớp 8 - Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các dạng phương trình đã học
1) 3$ − 5 = 0
2) *+,-. + $ = 1 + *,.+-3) 2$ − 3 $ + 1 = 0
4) $ + 1+,1 = 1 + 1+,1
ÞPhương trình bậc nhất một ẩn có dạng 2$ + 3 = 0
ÞPhương trình đưa về dạng 2$ + 3 = 0
ÞPhương trình tích
Phương trình 4 có gì khác so 
với các phương trình còn lại? 
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
1. Ví dụ mở đầu
Giải phương trình: ! + #$%# = 1 + #$%# (*) 
Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế
! + 1! − 1 − 1! − 1 = 1
Thu gọn vế trái, ta tìm được! = 1
Nhận xét: ) = * không là nghiệm của phương trình (*) vì tại đó giá trị 
của hai vế không xác định.
1. Ví dụ mở đầu
Giải phương trình! + #$%# = 1 + #$%# (*) 
Chuyển các biểu thức chứa ẩn 
sang một vế
! + 1! − 1 − 1! − 1 = 1
Thu gọn vế trái, ta tìm được! = 1
Nhận xét: ! = 1 không là nghiệm của 
phương trình (*) vì tại đó giá trị của 
hai vế không xác định.
+ Khi biến đổi PT mà làm mất 
mẫu chứa ẩn của PT thì PT nhận 
được có thể không tương đương 
với phương trình ban đầu.
+ Khi giải PT chứa ẩn ở mẫu, ta 
phải chú ý đến điều kiện xác 
định của phương trình.
2. Tìm điều kiện xác định của một phương trình
+ Các giá trị của ẩn mà tại đó 
ít nhất một mẫu thức nhận 
giá trị bằng 0 không thể là 
nghiệm của phương trình.
Điều kiện xác định (ĐKXĐ) 
của PT là điều kiện để tất cả các 
mẫu thức trong PT khác 0.
Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a) !!"# = !%&!%# b) '!"( = (!"#!"( − *
Ta thấy* − 1 ≠ 0 .ℎ0 * ≠ 1
và * + 1 ≠ 0 .ℎ0 * ≠ −1
nên ĐKXĐ của phương trình 
là: * ≠ ±1
Ta thấy* − 2 ≠ 0 .ℎ0 * ≠ 2
nên ĐKXĐ của phương trình là:* ≠ 2
3. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ví dụ 2. Giải phương trình !!"# = !%&!%# (*)
Giải
ĐKXĐ: ' ≠ ±1
(*) ⇔ ! !%#!"# !%# = !%& !"#!"# !%#
⇔ ' = 2
⇒ ' ' + 1 = ' + 4 ' − 1 (**)(∗∗) ⇔ '4 + ' = '4 + 3' − 4⇔ 2' = 4
Tìm ĐKXĐ
Quy đồng mẫu hai vế của
phương trình và khử mẫu
Giải phương trình vừa
nhận được
Kiểm tra ĐKXĐ và kết
luận
(Nhận)
Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là:6 = 2ở bước này ta dùng kí hiệu suy ra (=>) không dùng kí hiệu tương đương ()
Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3,
các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ chính là nghiệm của phương trình đã
cho.
Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
4. Áp dụng
Ví dụ 3. Giải phương trình !"#$ = $"#&"#$ − ( (1)
Giải
ĐKXĐ: ( ≠ 2
(1) ⟺ !"#$ = $"#&"#$ − " "#$"#$⇒ 3 = 2( − 1 − ( ( − 2 (2)
(2) ⟺ 3 = 2( − 1 − ($ + 2(⟺ 3 − 2( + 1 + ($ − 2( = 0
⟺ ( = 2 (Loại)
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: 1 = ∅
⟺ ($ − 4( + 4 = 0
Bài tập 30. Giải các phương trình:
a) !"#$ + 3 = "#($#" ⟺ !"#$ + 3 = (#""#$ (1)
Giải
ĐKXĐ: * ≠ 2
(1) ⟺ !"#$ + ( "#$"#$ = (#""#$⇒ 1 + 3 * − 2 = 3 − * (2)
(2) ⟺ 1+ 3* − 6 = 3 − *⟺ 3* + * = 3 + 6 − 1
⟺ * = 2 (Loại)
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: 1 = ∅
⟺ 4* = 8
Bài tập 31. Giải các phương trình:
a) !"#! − %"&"'#! = )""&*"*! ⟺ !"#! − %"&"#! "&*"*! = )""&*"*! (1)
Giải
ĐKXĐ: , ≠ 1
(1) ⟺ "&*"*!"#! "&*"*! − %"&"#! "&*"*! = )" "#!"&*"*!⇒ ,) + , + 1 − 3,) = 2, , − 1 (2)
(2) ⟺ ,) + , + 1 − 3,) − 2,) + 2, = 0⟺ −4,) − , + 4, + 1 = 0
(Loại)
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: 5 = −!6
⟺ −4,) + 3, + 1 = 0⟺ −, 4, + 1 + 4, + 1 = 0⟺ 4, + 1 + −, + 1 = 0⟺ 4, + 1 = 0 ℎ8ặ: − , + 1 = 04, + 1 = 0 ⟺ , = −14−, + 1 = 0 ⟺ , = 1 (Nhận)
1. Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn 
Ví dụ 1. Gọi vận tốc của một ô tô là ! (#$/ℎ).
Quãng đường ô tô đi được trong 5 giờ ? 
( = *+
* = !. 5= 5!
 là 5! (#$)
Thời gian để ô tô đi được quãng đường 100 km? t = *(+ = 100!Thời gian để ô tô đi được quãng đường 100 km là 
1223 ℎ .
?1. Giả sử hàng ngày bạn Tiến dành x phút để tập chạy.
Hãy viết biểu thức với viến x biểu thị:
a) Quãng đường Tiến chạy được trong x phút, nếu chạy 
với vận tốc trung bình là 180m/phút.
b) Vận tốc trung bình của Tiến (tính theo km/h), nếu 
trong x phút Tiến chạy được quãng đường 4500m.
! = # $ℎú! ;( = 180 ,/$ℎú! ;. =?. = 180#
Giải
a) Quãng đường Tiến chạy được trong x phút, nếu chạy 
với vận tốc trung bình là 180 m/phút là 180. #(,) ! = # $ℎú! ;. = 4500 (,)( =? ,/$ℎú! ;
! = # $ℎú!= #60 (ℎ);
. = 4500 ,, 7,( = 4,5#60 = 270#
b) Vận tốc trung bình của Tiến (tính theo km/h), nếu 
trong x phút Tiến chạy được quãng đường 4500m là
:,; = ?@AB (km/h)
?2. Gọi x là số tự nhiên có 2 chữ số
Hãy lập biểu thức biểu thị số tự nhiên có 
được bằng cách:
a) Viết thêm chữ số 5 vào bên trái số x.
b) Viết thêm chữ số 5 vào bên phải số x.
Ví dụ số ban đầu 
là 12
Ví dụ số ban đầu là 12
Số mới là 512=5.100+12
Giải
a) Số tự nhiên có được khi viết thêm 
chữ số 5 vào bên trái số x là 5.100+x Ví dụ số ban đầu là 12
Ví dụ số ban đầu là 12
Số mới là 125=12.10+5b) Số tự nhiên có được khi viết thêm 
chữ số 5 vào bên phải số x là 10x+5
2. Ví dụ về giải bài toán bằng cách lập phương trình 
Ví dụ 2: (Bài toán cổ)
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?
Các đại lượng
Số con
Số chân
Số con gà
Số con chó
Số chân gà
Số con chó
Mối quan hệ giữa các đại lượng:
Tổng số con gà và con chó: 36 con
Tổng số chân gà và chân chó:100 chân
Hỏi số con gà, số con chó?
Gà
Chó 
Số con Số chân!36 − ! 2!4 36 − !
Phương trình 2! + 4 36 − ! = 100
Gà
Chó 
Số con Số chân!36 − ! 2!4 36 − !
Giải
Gọi số gà là x (con, ! ∈ Ν∗; ! < 36).
Khi đó số chân gà là 2x (chân)
Cả gà và chó có 36 con nên số chó là 36 − ! (con).
Số chân chó là 4 36 − ! ,ℎâ/
Vì tổng số chân là 100 nên ta có phương trình:2! + 4 36 − ! = 100
Giải phương trình trên2! + 4 36 − ! = 100 ⇔ 2! + 144 − 4! = 100⇔ −2! = 100 − 144⇔ −2! = −44⇔ ! = 22 Nhận
Vậy số gà là 22 (con).
Từ đó suy ra số chó là 36-22=14 (con).
Bước 1: Lập phương 
trình
Bước 2: Giải 
phương trình
Bước 3: Trả lời
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình:
ü Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.
ü Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
ü Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình,
nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
2. Ví dụ về giải bài toán bằng cách lập phương trình 
Các đại lượng
Số con
Số chân
Số con gà
Số con chó
Mối quan hệ giữa các đại lượng:
Tổng số con gà và con chó: 36 con
Tổng số chân gà và chân chó:100 chân
Hỏi số con gà, số con chó?
Nếu gọi số chó là x
Gà
Chó 
Số con Số chân!36 − ! 4!2 36 − !
Phương trình 2 36 − ! + 4! = 100
Gà
Chó 
Số con Số chân
100 − !4
!2 100 − !
!
Nếu gọi số chó là x
Phương trình 
+, + -../+0 = 36
Bài tập 34 (SGK-Tr.25)
Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị.
Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới
bằng phân số !". Tìm phân số ban đầu.
Giải
Gọi x là tử số của phân số cần tìm. Điều kiện # ∈ %.
Khi đó phân số cần tìm là &&'(.
Theo đề ta có phương trình:# + 2# + 5 = 12 ⟹ 2 # + 2 = # + 5 ⟺ # = 1
Vậy phân số cần tìm là !0
Ví dụ 3: Một xa máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc
35km/h. Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từ
Nam Định đi Hà Nội với vận tốc 45km/h. Biết quãng đường Nam Định -
Hà Nội dài 90km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe
gặp nhau?
Xe máy: V = 35km/h Ôtô: V = 45km/h
24 ph 90kmHà Nội Nam Định
Quãng đường = Vận tốc x Thời gian
Vận tốc
(km/h)
Thời gian
(h)
Quãng đường
(km)
Xe máy
Ô tô
35
45
!! − 25
35!45 ! − 25
Hai xe chuyển 
động ngược chiều
Đến khi gặp nhau 
tổng quãng đường 
hai xe đi được bằng 
quãng đường Hà 
Nội – Nam Định
35! + 45 ! − 25 = 90
Ví dụ 3: Một xa máy khởi hành từ
Hà Nội đi Nam Định với vận tốc
35km/h. Sau đó 24 phút, trên cùng
tuyến đường đó, một ô tô xuất
phát từ Nam Định đi Hà Nội với
vận tốc 45km/h. Biết quãng đường
Nam Định - Hà Nội dài 90km.
Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy
khởi hành, hai xe gặp nhau?
Vận tốc
(km/h)
Thời gian
(h)
Quãng đường
(km)
Xe 
máy
Ô tô
35
45
!
! − 25
35!
45 ! − 25
Giải Đổi: 24 phút ='( (h)
- Gọi thời gian xe máy đi từ Hà
Nội đến khi gặp ô tô là x (h)
- (Đk: ! > '( ).
- Thời gian ô tô đi từ Nam định đến
khi gặp xe máy là ! − '( (h).
- Quãng đường xe máy đi từ Hà Nội
đến khi gặp ô tô là 35! (km).
- Quãng đường ô tô đi từ Nam Định
đến khi gặp xe máy là 45 ! − '(
(km).
Vì hai xe chuyển động ngược chiều
nên đến khi gặp nhau, tổng quãng
đường hai xe đi được bằng quãng
đường Hà Nội – Nam Định, ta có
phương trình: 35! + 45 ! − '( = 90
Vận tốc
(km/h)
Thời gian
(h)
Quãng đường
(km)
Xe 
máy
Ô tô
35
45
!
! − 25
35!
45 ! − 25
Giải Đổi: 24 phút = '( (h)
- Gọi thời gian xe máy đi từ Hà
Nội đến khi gặp ô tô là x (h)
- (Đk: ! > '( ).
- Thời gian ô tô đi từ Nam định đến
khi gặp xe máy là ! − '( (h).
- Quãng đường xe máy đi từ Hà Nội
đến khi gặp ô tô là 35! (km).
- Quãng đường ô tô đi từ Nam Định
đến khi gặp xe máy là 45 ! − '(
(km).
Vì hai xe chuyển động ngược chiều
nên đến khi gặp nhau, tổng quãng
đường hai xe đi được bằng quãng
đường Hà Nội – Nam Định, ta có
phương trình: 35! + 45 ! − '( = 90
Giải phương trình:35! + 45 ! − 25 = 90⟺ 35! + 45! − 18 = 90
⟺ x = 2720
Vậy sau '3'4 giờ, kể từ lúc xe máy 
khởi hành thì hai xe gặp nhau.
⟺ 80! =108
(TMĐK)
Vận tốc
(km/h)
Thời gian
(h)
Quãng đường
(km)
Xe máy
Ô tô
35
45
!
! − 25
35!
45 ! − 25
Vận tốc
(km/h)
Thời gian
(h)
Quãng đường
(km)
Xe máy
Ô tô
35
45
'90 − '
'3590 − '45
35! + 45 ! − 25 = 90
'35 − 90 − '45 = 25
Bài tập 37: Lúc 6 giờ, một xe máy khởi hành từ A. Sau đó 1 giờ một ô
tô cũng xuất phát từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h.
Biết hai xe gặp nhau lúc 9 giờ 30 phút cùng ngày, hỏi hai xe gặp nhau tại
điểm cách A bao nhiêu km?
Vận tốc
(km/h)
Thời gian
(h)
Quãng đường
(km)
Xe 
máy
Ô tô
3,5
2,5
!
! + 20
3,5!
2,5 ! + 20
Hai xe đi 
cùng chiều
Đến khi gặp nhau,
quãng đường hai xe đi
được bằng nhau, ta có
phương trình
3,5! = 2,5 ! + 20
Bài tập 37: Lúc 6 giờ, một
xe máy khởi hành từ A. Sau
đó 1 giờ một ô tô cũng xuất
phát từ A với vận tốc lớn hơn
vận tốc xe máy là 20km/h.
Biết hai xe gặp nhau lúc 9 giờ
30 phút cùng ngày, hỏi hai xe
gặp nhau tại điểm cách A bao
nhiêu km?
Vận tốc
(km/h)
Thời gian
(h)
Quãng 
đường
(km)
Xe 
máy
Ô tô
3,5
2,5
!
! + 20
3,5!
2,5 ! + 20
Giải 
Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h)
(Đk: ! > 0 ).
Vận tốc của ô tô là ! + 20 (km/h).
Thời gian xe máy đi đến lúc hai xe gặp
nhau là
9 giờ 30 phút – 6 giờ = 3giờ 30 phút = 3,5 giờ
Thời gian ô tô đi đến lúc hai xe gặp nhau
là
3,5 – 1 giờ = 2,5 giờ
Quãng đường xe máy đi đến lúc hai xe gặp
nhau là 3,5! (km).
Quãng đường ô tô đi đến lúc hai xe gặp
nhau là 2,5 ! + 20 (km)
Vì hai xe chuyển động cùng chiều nên đến
khi gặp nhau, quãng đường hai xe đã đi
bằng nhau, ta có phương trình:3,5! = 2,5 ! + 20
Vận tốc
(km/h)
Thời gian
(h)
Quãng 
đường
(km)
Xe 
máy
Ô tô
3,5
2,5
!
! + 20
3,5!
2,5 ! + 20
Giải 
Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h)
(Đk: ! > 0 ).
Vận tốc của ô tô là ! + 20 (km/h).
Thời gian xe máy đi đến lúc hai xe gặp
nhau là
9 giờ 30 phút – 6 giờ = 3giờ 30 phút = 3,5 giờ
Thời gian ô tô đi đến lúc hai xe gặp nhau
là
3,5 – 1 giờ = 2,5 giờ
Quãng đường xe máy đi đến lúc hai xe gặp
nhau là 3,5! (km).
Quãng đường ô tô đi đến lúc hai xe gặp
nhau là 2,5 ! + 20 (km)
Vì hai xe chuyển động cùng chiều nên đến
khi gặp nhau, quãng đường hai xe đã đi
bằng nhau, ta có phương trình:3,5! = 2,5 ! + 20
Giải phương trình:3,5! = 2,5 ! + 20⟺ 3,5! − 2,5 = 50
Vậy hai xe gặp nhau tại
một điểm cách A là:
50.3,5 = 175 (km)
(TMĐK)⟺ ! = 50
Bài tập 46: Một người lái ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 48 km/h.
Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn
đường trong 10 phút. Do đó, để kịp đến B đúng thời gian đã định, người
đó phải tăng tốc thêm 6 km/h. Tính độ dài quãng đường AB?
Vận tốc
(km/h)
Quãng
đường
(km)
Thời 
gian
Dự 
định AB
Thực 
tế
AC
BC
48
48
54
!
48! − 48
!481! − 4854
Người đó đến B đúng thời gian đã 
định nên ta có phương trình
!48 = ! − 4854 + 1 + 16
Bài tập 46: Một người lái ô tô dự định
từ A đến B với vận tốc 48 km/h.
Nhưng sau khi đi được một giờ với
vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn đường
trong 10 phút. Do đó, để kịp đến B
đúng thời gian đã định, người đó phải
tăng tốc thêm 6 km/h. Tính độ dài
quãng đường AB?
Vận 
tốc
(km/h)
Quãng
đường
(km)
Thời 
gian
Dự 
định AB
Thực 
tế
AC
BC
48
48
54
!
48! − 48
!481! − 4854
Giải Đổi: 10 phút = '( (h)
Gọi độ dài quãng đường AB là! (km) (Đk: ! > 48 ).
Thời gian người đó dự định đi quãng
đường AB là *+, (h).
Thực tế, một giờ đầu, người đó đi
với vận tốc 48 km/h nên quãng
đường còn lại là:! − 48.1 = ! − 48
Trên quãng đường còn lại, người đó
đi với vận tốc: 48+6=54 (km/h).
Thời gian người đó đi quãng đường
còn lại với vận tốc mới là: */+,0+ (h).
Thời gian thực tế người đó đi được
quãng đường AB (kể cả thời gian bị
tàu hỏa chắn) là:!48 = ! − 4854 + 1 + 16
Giải Đổi: 10 phút = !" (h)
Gọi độ dài quãng đường AB là# (km) (Đk: # > 48 ).
Thời gian người đó dự định đi quãng
đường AB là '() (h).
Thực tế, một giờ đầu, người đó đi
với vận tốc 48 km/h nên quãng
đường còn lại là:# − 48.1 = # − 48
Trên quãng đường còn lại, người đó
đi với vận tốc: 48+6=54 (km/h).
Thời gian người đó đi quãng đường
còn lại với vận tốc mới là: '.()/( (h).
Thời gian thực tế người đó đi được
quãng đường AB (kể cả thời gian bị
tàu hỏa chắn) là:# − 4854 + 1 + 16 (ℎ)
Vận 
tốc
(km/h)
Quãng
đường
(km)
Thời 
gian
Dự 
định AB
Thực 
tế
AC
BC
48
48
54
#
48# − 48
#481# − 4854
Người đó đến B đúng thời gian đã định 
nên ta có pt:#48 = # − 4854 + 1 + 16
Giải phương trình:#48 = # − 4854 + 1 + 16⇔ 54# = 48 # + 15⇔ 6# = 720 ⇔ x = 120 (TMĐK)
Vậy độ dài quãng đường AB là: 120 (km)