Giáo án Đại số 8 - Chủ đề 6: Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Nguyễn Chí Thanh

Chủ đề 6 
GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình 
Bước 1: Chon ẩn và đặt điều kiện cho ẩn, đơn vị của ẩn. 
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn. Từ đó lập phương trình hoặc hệ phương 
trình. 
Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình, kiểm tra điều kiện và trả lời. 
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
I. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 
Một số chú ý khi giải toán chuyển động 
- Phương trình chuyển động quãng đường = vận tốc x thời gian. 
.S v t 
- Với các phương tiện chuyển động trên mặt nước thì ngoài vân tốc của phương 
tiện còn có vận tốc dòng nước. Vận tốc dòng nước thường được mô tả bằng vận 
tốc của một vật trôi tự do. Vận tốc (vận tốc riêng) của phương tiện được mô tả 
bằng vận tốc phương tiện chuyển động trên mặt nước yên lặng, (ta luôn phải đặt 
vận tốc ban đầu là vận tốc phương tiện lớn hơn vận tốc dòng nước). 
+ Vận tốc phương tiện xuôi dòng = vận tốc thực của phương tiện + vận tốc 
dòng nước. 
+ Vận tốc phương tiện ngược dòng = vận tốc thực – vận tốc dòng nước. 
Ta thường xác định đẳng thức về quãng đường hoặc thời gian để lập phương trình 
chuyển động. Nếu bài toán cho sự chênh lệch về vận tốc của các phương tiện thì ta 
có thể xác định đẳng thức về vận tốc để lập phương trình chuyển động. 
- Nếu hai phương tiện cùng xuất phát tại một mốc thời gian và sau đó gặp nhau thì 
tại thời điểm gặp nhau thời gian đi của hai phương tiện bằng nhau. Với tình huống 
này ta sử dụng đẳng thức về thời gian để lập phương trình chuyển động. 
- Nếu hai phương tiện chuyển động ngược chiều nhau từ hai phía của quãng đường 
AB thì tại vị trí hai phương tiện gặp nhau, tổng quãng đường đi được luôn bằng 
quãng đường AB. Với tình huống này ta sử dụng đẳng thức về quãng đường để lập 
phương trình chuyển động: AC + CB = AB. 
- Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và 
B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có 
hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng 
quãng đường AB. 
Ví dụ 1. Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 45km/h. Sau đó 1 giờ 30 phút thì 
một xe con cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng lúc với 
xe tải. Tính quãng đường AB. 
Ví dụ 2. Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc của họ 
hơn kém nhau 3km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của 
mỗi người, biết quãng đường AB dài 30km. 
Ví dụ 3. Đoạn đường AB dài 170km. Lúc 8 giờ một xe tải đi từ A đến B với vận 
tốc 40km/h. Sau đó 30 phút, một taxi đi từ B đến A với vận tốc 60km/h. Hỏi hai xe 
gặp nhau lúc mấy giờ? 
Ví dụ 4. Đường từ Ninh Bình tới Hà Nội dài 110km, đường từ Ninh Bình tới Phủ 
Lí dài 40km. Lúc 8 giờ, một xe tải đi từ Ninh Bình tới Hà Nội với vận tốc là 
50km/h, lúc 9 giờ thì một taxi đi từ Phủ Lí tới Hà Nội với vận tốc 70km/h và đuổi 
kịp xe tải. Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ. Địa điểm gặp nhau cách Hà Nội bao 
nhiêu ki-lô-mét? 
Ví dụ 5. Hai tỉnh A, B cách nhau 180km. Cùng một lúc, một ô tô đi từ A đến B và 
một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ô tô đi hết 2 
giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của xe ô tô và của xe 
máy biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi. 
Ví dụ 6. Trong một cuộc đua, ba tay đua mô tô đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi 
giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 
3km. Người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người 
thứ ba 3 phút. Tính thời gian chạy hết quãng đường đua của các tay đua. 
Ví dụ 7. Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng 
thêm 20km/h thì đến sớm 1 giờ, nếu giảm vận tốc đi 10km/h thì đến muộn 1 giờ. 
Tính quãng đường AB. 
Ví dụ 8. Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc, một ô tô khác đi từ B đến A với 
vận tốc bằng 
2
3
 vận tốc ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả 
quãng đường AB mất bao lâu? 
Ví dụ 9. Hai bến sông A và B cách nhau 40km. Cùng một lúc với ca nô xuôi từ 
bến A và một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến bến B, ca nô 
quay trở về bến A ngay và gặp bè, khi đó bè đã trôi được 8km. Tính vận tốc riêng 
của ca nô. 
Ví dụ 10. Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20m, xuất phát 
cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 
giây gặp lại nhau. Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây gặp nhau. 
Tính vận tốc của mỗi vật. 
II. CÁC BÀI TOÁN VỀ CÔNG VIỆC, TỈ SỐ, TỈ SỐ PHẦN TRĂM 
Ví dụ 11. Một nhóm học sinh được giao nhệm vụ trồng 60 cây. Nhưng khi thực 
hiện nhóm đó được tăng cường thêm 3 học sinh nên mỗi học sinh đã trồng ít nhất 
hơn 1 cây so với dự định. Hỏi lúc đầu nhóm có bao nhiêu học sinh? (Biết rằng số 
cây mỗi học sinh trồng là như nhau). 
Ví dụ 12. Một đội công nhân hoàn thành một công việc với 360 công thợ. Hãy tính 
số công nhân của đội biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn 
thành công việc sẽ giảm đi 1 ngày. 
Ví dụ 13. Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 
ngày. Hỏi nếu A làm một mình 3 ngày rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc 
trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì B làm lâu 
hơn A là 9 ngày. 
Ví dụ 14. Trong đầu tuần, hai tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ 
hai, tổ A vượt mức 25%, tổ B giảm mức 18% nên trong tuần này, cả hai tổ sản xuất 
được 1617 bộ. Hỏi trong tuần đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ quần áo? 
Ví dụ 15. Trong một kì thi, hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết 
quả là hai trường đó có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A 
có 97% và trường B có 96% số học sinh dự thi trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao 
nhiêu thí sinh dự thi? 
Ví dụ 16. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể trong một giờ thì được 
11
30
 bể. 
Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì được 
9
10
 bể. 
Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu bể sẽ đầy? 
Ví dụ 17. Có hai loại quặng sắt: quặng sắt A chứa 60% sắt, quặng sắt B chứa 60% 
sắt. Người ta trộn một lượng quặng loại A với một lượn quặng loại B thì được hỗn 
hợp quặng chứa 
8
15
 sắt. Nếu lấy tăng hơn lúc đầu 10 tấn quặng A và lấy giảm hơn 
lúc đầu 10 tấn quặng B thì được hỗn hợp quặng chứa 
17
30
 sắt. 
Tính khối lượng quặng mỗi loại đem trộn lúc đầu. 
 III. TOÁN ĐỐ HÌNH HỌC 
Ví dụ 18. Một hình chữ nhật có chu vi 24m. Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm 
chiều dài đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đó không thay đổi. Tính diện tích hình 
chữ nhật đó. 
Ví dụ 19. Một hình chữ nhật có tính chất: Nếu giảm chiều rộng đi 1cm và tăng 
chiều dài thêm 4cm; nếu tăng chiều rộng thêm 2cm, giảm chiều dài 4cm thì diện 
tích không thay đổi. Tính diện tích của hình chữ nhật. 
Ví dụ 20. Cho tam giác ABC, đường cao AH có độ dài nhỏ hơn cạnh BC là 14cm. 
Giả sử có một hình vuông MNPQ mà 4 đỉnh nằm trên các cạnh của tam giác với 
𝑀𝜖𝐴𝐵; 𝑁𝜖𝐴𝐶; 𝑃𝜖𝐵𝐶. Biết độ dài cạnh của hình vuông là 24cm. Tính diện tích tam 
giác ABC.