Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

yên tốp chia hêt cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r
Giải
Ta có p =42k + r = 2.3.7.k + r 
Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2, 3, 7
Các hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho 2 là 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 29
Loại đi các sô chia hết cho 3, cho 7 chỉ con 25
 Vậy r = 25.
Bài 8:
 Điền các chử số thích hợp trong phép phân tích ra thừa số nguyên tố
Giải.
Ta có:
Suy ra n = 2 do đo e = 5, c = 3
Vì nên f = 1
Vậy 
Ta được 
Bài 9:
 Tìm số tự nhiên có 4 chử số, chứ số hàng nghìn bằng chử số hàng đơn vị, chử số hàng trăm bằng chử số hàng chục và số đố viết được dưới dạng tích của ba số nguyên tố liên tiếp.
Giải.
 Gọi số tự nhiên cần tìm là n, theo đề bài chử số hàng nghin bằng chử số hàng đơn vị, chử số hàng trăm bằng chử số hàng chục vậy n có dạng 
 Có mà là tích của 3 số nguyên tố liên tiếp nên một trông các số nguyên tố này phải là 11
Xét các tích
= 385 (loại)
= 1001 (đúng)
 11.13.17 = 2431 (loại)
Vậy số tự nhiên cần tìm là 1001.
Bài 10:
 Chứng minh rằng nếu 2n – 1 là số nguyên tố (n > 2) thì 2n + 1 là hợp số.
Giải.
Xét số A = (2n – 1)2n(2n + 1)
A là tích của 3 số tự nhiên liên tiệp nên 
Mặt khác 2n – 1 là số nguyên tố ( theo giả thiết )
 2n không chia hết cho 3
Vậy 2n + 1 phải chia hết cho 3 2n + 1 là hợp số.
Bài 11:
 Tìm số tự nhiên k để dãy k + 1, k + 2,,k + 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất .
Giải.
Với k = 0 ta có dãy 1, 2, 3,,10 chứa 4 số nguyên tố 2, 3, 5, 7
Với k = 1 ta có dãy 2, 3, 4,, 11 chứa 5 số nguyên tố là 2, 3, 5, 7, 11
Với k = 2 ta có dãy 3, 4, 5,, 12 chứa 4 số nguyên tố là 3, 5, 7, 11
Với dãy k + 1, k + 2,,k + 10 chứa 5 số lẽ liên tiếp, dãy số này đều lớn hơn 3 nên có một số chia hết cho 3, trong dãy có 5 số chẵn hiễn nhiên không phải là số nguyên tố nếu 
Vậy k = 1 thì dãy k + 1, k + 2,,k + 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất.
Bài 12 :
Chứng minh rắng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Khi chia cho 60 thì kết quả ra sao
chứng minh rằng nếu tổng của n luỹ thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5 là một số nguyên tố thì (n, 30) = 1
Giải.
1.Giả sử p là số nguyên tố và p = 30k + r (0 < r < 30)
Nếu r là hợp số thì r co ước nguyên tố q = 2, 3, 5
Nhưng với q = 3, 3, 5 thì p lần lượt chia hết cho 2, 3, 5 vô lí . Vậy r = 1 hoặc r là số nguyên tố.
 Khi chia cho 60 thì kết quả không còn đúng nữa
 Chẳng hạn p = 109 = 60.1 + 49 ( 49 là hợp số )
2. Số nguyên tố p khi chia cho 30 chỉ có thể dư là 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Với r = 1, 11, 19, 29 thì p2 1 (mod 30 )
Với r = 7, 13, 17, 23 thì p2 19 (mod 30 )
Suy ra p4 1 (mod 30 )
Giả sử p1, p2,, pn là các số nguyen tố lớn hơn 5 
Khi đó (mod 30)
Suy ra p = 30k + n là số nguyên tố nên (n, 30 ) = 1
Bài 13:
 Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2p + p2 cũng là số nguyên tố
Giải.
Với p = 2 ta co 2p + p2 = 12 không là số nguyên tố
Với p = 2 ta có 2p + p2 = 17 là số nguyên tố
Với p > 3 ta có p2 + 2p = (p2 – 1) + (2p + 1 )
Vì p lẽ và p không chia hết cho 3 nên p2 – 1 chia hết cho 3 và 2p + 1 chia hết cho 3. Do đó 2p + p2 là hợp số
Vậy với p = 3 thì 2p + p2 là số nguyên tố.
Bài 14:
 Tìm tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho abc < ab + bc + ca
Giải.
Vì a, b, c có vai trò như nhau nên giả sử khi đó
 ( vì a là số nguyên tố )
Với a = 2 ta có 
Nếu b = 2 thì 4c < 2 + 4c thoả mãn với c là nguyên tố bất kì 
Nếu b = 3 thì 6c < 6b + 5c suy ra c < 6 vậy c = 3 hoặc c = 5
Vậy các cạp số (a, b, c) càn tìm là (2, 2, p) ; (2, 3, 3 ) ; (2, 3, 5 ) và các hoán vị vủa chúng , vơi p là số nguyên tố .
DẠNG 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.
Bài 1:
 Tìm sao cho : n3 – n2 + n – 1 là số nguyên tố 
Giải.
Ta có :
Nếu n = 1 suy ra A = 0
Nếu n = 2 suy ra A = 5 là số nguyên tố 
Nếu n>2 thì A là tích của hai thừa số mà mỗi thừa số đều lớn hơn hai . Vậy A là hợp số
Vậy để A = n3 – n2 + n – 1 là số nguyên tố thì n = 2.
Bài 2:
 Tìm 2 số tự nhiên , sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố 
Giải.
 Tích của hai số tự nhiên là số nguyên tố nên một số là 1 , số còn lại kí hiệu là a là số nguyên tố
 Theo đề bài 1 + a củng là số nguyên tố. Xét hai trường hợp:
Nếu 1 + a là số lẽ thì a là số chẵn. Do a là số nguyên tố nên a =2 
Nếu 1 + a la số chẵn thì 1 + a = 2 vì 1 + a là số nguyên tô . Khi đó a= 1 không là số nguyên tố ( loại )
Vậy hai số tự nhiên phải tìm 1 và 2
Bài 3:
 Tìm các số nguyên tố a, b, c thoả mãn điiêù kiện 
 abc = 3(a + b + c)
Giải.
Từ abc = 3(a + b + c) suy ra a chia hết cho 3 hoạc b chia hết cho 3 hoặc c chia hết cho 3. Vậy 
Do b và c là các sốnguyên tố và b – 1 , c – 1 là ước của 4 vậy chúng nhận 1 trông các giá trị là 1, 2, 4. Vậy ta có các trường hợp sau:
Hoạc 
Hoặc 
Hoặc 
Các cặp số (a, b, c) phải tìm là : (3, 3, 3) ; (3, 2, 5) ; (3, 5, 2) ; (5, 3, 2 ) ; (5, 2, 3) ; (2, 3, 5) ; (2, 5, 3)
Bài 4:
Tìm số nguyên tố a biết rằng 2a + 1 là lập phương của một số nguyên tố 
Tìm các số nguyên tố p để 13p + 1 là lập phương của một số tự nhiên
Giải.
1.Với a = 2 ta có 2a + 1 = 5 không thích hợp
Với do a là số nguyên tố nên a lẽ
Vậy 2a + 1 là lập phương của một số lẽ nghĩa là 
 Từ đó k là ước của a. Do k là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = a
Nếu k = 1 thì 2a + 1 = (2.1 + 1)3 suy ra a = 13 thích hợp
Nếu a = k từ a = a(4a2 + 6a + 3) do a là nguyên tố nên suy ra 
 1 = 4a2 + 6a + 3 không có số nguyên tố a nào thoả mãn phương trình này vì vế phải luôn lớn hơn 1
Vậy a = 13
2.Giả sử 
13 và p là các số nguyên tố , mà n – 1 > 1 và n2 + n + 1 > 1
Nên n – 1 = 13 hoặc n – 1 = p
Với n – 1 =13 thì n = 14 khi đó 13p = n3 – 1 = 2743 suy ta p = 211 là số nguyên tố 
Với n – 1 = p thi n2 + n + 1 = 13 suy ra n = 3 . Khi đó p = 2 là số nguyên tố
 Vậy p = 2, p = 211 thì 13p + 1 là lập phương của một số tự nhiên
Bài 5:
 Tìm tất cả các số có hai chử số sao cho là số nguyen tố
Giải.
 Vì a, b có vai trò như nhau nên có thể giả sử a > b
Giả sử , với p là số nguyên tố
Suy ra 
Ta có :
Với p = 2 ta có 
Với p = 3 ta có 
Với p = 5 hoặc p = 7 ta có a có hai chử số (loại)
Vậy các số cần tìm là 21, 12, 62, 26
Bài 6:
 Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z
Giải.
 Vì x, y là các số nguyên tố nên vậy z là số nguyên tố lẽ
Suy ra xy là số chẵn vậy x = 2 khi đó z = 2y + 1
 Nếu y lẽ thì (mod 3)
 (vô lí vì z là nguyên tố )
 Vậy y chẵn , suy ra y = z
 z = 22 + 1 = 5
Vậy các số nguyên tố cần tìm là x = y = z , z = 5
Bài 7:
 Cho , chứng minh A = n4 + 4n và hợp số với n > 1
Giải.
 Xét các trường hợp chẵn
n chẵn thì A chia hết cho 2
n lẽ đặt n = 2k + 1 . Ta có
A phân tích được tích của 2 thừa số vậy A là hợp số .
Bài 8:
 Tìm để
n4 + 4 là số nguyên tố.
n2003 + n2002 + 1 la số nguyên tố
Giải.
1.Ta có 
 n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 – 4n2
 = (n2 + 2 )2 – (2n)2
 = (n2 + 2 – 2n )(n2 + 2 + 2n)
Vì n4 + 4 là số nguyên tố nên n2 + 2 – 2n = 1 hoặc n2 + 2 + 2n = 1
Mà n2 + 2 + 2n > 1 vậy n2 + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1
Thử lại : n = 1 thì 14 + 4 = 5 là số nguyên tố
Vậy với n = 1 thì n4 + 4 là số nguyên tố./
2.Ta có :
 n2003 + n2002 + 1 = n2(n2001 – 1) + n(n2001 – 1) + n2 + n + 1 
Với n > 1 ta có :
Do đó 
 Mà n2 + n + 1 > 1 nên n2003 + n2002 + 1 là hợp số
Với n = 1 ta có 
 n2003 + n2002 + 1 = 12003 + 12002 + 1 = 3 là số nguyên tố .
Bài 9:
 Chứng minh rằng trong 15 số tự nhiên lớn hơn 1 không vượt quá 2004 và đôi một nguyên tố cùng nhau tìm được một số là số nguyên tố.
Giải .
 Giả sử n1, n2, n15 là các số thoả mãn yêu cầu bài toán. Giả sử tất cả chúng là hợp số. Gọi pi là ước nguyên tố nhỏ nhất của ni (i = 1, 2, , 15).
 Gọi p là số lớn nhất trong các số p1, p2, ,p15
 Do các số n1, n2, n15 là đôi nguyên tố cùng nhau nên các số p1, p2, ,p15 khác nhau tất cả.
 Số nguyên tố thứ 15 là số 47 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 ) ta có . Đối với số n có ước nguyên tố nhỏ nhất là p thì suy ra (vô lí)
 Vậy trong 15 số n1, n2, n15 ta tìm được một số nguyên tố./
Bài 10:
 Tìm số nguyên tố sao cho là số nguyên tố và 
Giải.
 Vì là số nguyên tố nên là số lẽ hay b, c, d, lẽ và khác 5 . Ta có:
Suy ra b = 7 hoặc b = 9
Với b = 7 . Ta có : 
 suy ra d = 3 hoặc d = 9
+ Nếu d = 3 thì (loại)
+ Nếu d = 9 thì (loại)
Với b = 9 thì 
 và là số nguyên tố thì a = 1
Vậy số thoả mãn yêu cầu bài toán 
C. Bài tập 
1. Chøng minh r»ng nÕu n vµ n2 + 2 lµ c¸c sè nguyªn tè th× còng lµ sè nguyªn tè.
2. Cho ,chøng minh r»ng c¸c sè sau lµ hîp sè:
 a) A = ;
 b) B = ;
 c) C = .
3. p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 5, chøng minh r»ng (mod 240).
4. Chøng minh r»ng d·y cã v« sè hîp sè.
5. Chøng minh r»ng víi mçi sè nguyªn tè p cã v« sè d¹ng chia hÕt cho p.
6. T×m c¸c sè sao cho lµ sè nguyªn tè.
7. Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố đó là số chẳn hay số lẻ.
8. Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó.
9. Tìm 4 số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố.
10. Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không.
11. Tìm số nguyên tố có 3 chữ số , biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên
12. Tìm một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r. Tìm r biết r không là số nguyên tố
 Hướng dẫn giải.
1 . n = 3.
2. Chứng minh .
3. 240 = 24.3.5
4. n = 6k + 4 
5. p = 2 lấy n chẳn; p > 2 lấy n = (pk – 1)(p – 1), 
6. th× lµ sè nguyªn tè.
7. Trong 25 số nguyên tố (từ 2 đến 97) có một số chẳn duy nhất, còn 24 số kia là số lẻ. Do đó tổng của 25 số là số chẳn.
8. Trong 3 số nguyên tố có tổng bằng 1012, phải có một số chẳn, là số 2, đó là số nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố trên.
9. Bốn số đó là 2, 3, 5, 7.
10. Tổng của hai số nguyên tố bằng 2003, là số lẻ, nên một trong hai số phải là 2. khi đó số kia là 2001, là hợp số. Vậy không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng 2003.
11. Xét số có 3 chử số là lập phương của một số tự nhiên, đó là 125, 126, 343, 512, 729 chỉ có số 125 thoả mãn bài toán (521 là số nguyên tố) 
 CHUYÊN ĐỀ 3: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
LÍ THUYẾT
Định nghĩa
 Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên 
Ví dụ : 32 = 9
 152 = 225
 Các số 9, 225 là bình phương các số tự nhiên 3, 15 được gọi là số chính phương 
Tính chất 
1, Số chính phương chỉ có thể tận cùng băng 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
2, Một số chính phương có chử số tận cùng là 5 thì chử số hàng chục là 2.
 Thật vậy, giả sử vì chử số hàng chục của 100a2 và 100a là chử số 0 nên chử số hàng chục của M là 2.
3, Một số chính phương có chử số hàng đơn vị là 6 thì chử số hàng chục của nó là số lẽ.
 Thật vậy, giả sử số chính phương N = a2 có chử số tận cùng là 6 thì chử số hàng đơn vị của số a chỉ có thể 4 hoặc 6.
 Giả sử hai chử số tận cùng của số a là ( nếu là thì chứng minh tương tự ) khi đó :
Vì chử số hàng chục của số 100b2 là 80b là số chẵn nên chử số hàng chục của N là số lẽ
4, Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số với số mũ lẽ
 Thật vậy, giả sử A = k2 và k = axbycz(a, b, c là số nguyên tố) thì 
 A = (axbycz)2 = a2xb2yc2z
 Từ tính chất này suy ra:
Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16
5, Số lượng các ước của một số chính phương là số lẽ. Đảo lại một số có số lượng các ước là số lẽ thì số đó là số chính phương
 Thật vậy , nếu A = 1 thì A là số chính phương có 1 ước . Ta giả sử số A > 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A = axbycz thì số lượng ước của nó bằng (x + 1)(y + 1)(z + 1)
a, Nếu A là số chính phương thì x, y, z chẵn nên x + 1, y + 1 , z +1 lẽ . Vậy số lượng các ước của A là số lẽ.
b, Nếu số lượng các ước của A là số lẽ thì (x + 1)(y + 1)(z + 1)lẽ do đó các thừa số x + 1, y + 1, z + 1 .đều lẽ , suy ra x, y, z chẵn.
 Đặt x = ax’ , y = 2y’, z = 2z’ (x’, y’ ,z’  thì 
 nên A là số chính phương
CÁC DẠNG TOÁN.
DẠNG 1: CÁCH BIỄU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ THẬP PHÂN.
Đặc biệt : 
Bài 1: 
 Chứng minh rằng số sau là một số chính phương
Giải.
Ta có :
 Suy ra điều chứng minh
Bài 2:
 Cho 
So sánh tổng các chử số của A2 với tổng các chử số của A
Giải.
 Ta có :
Vậy 
Tổng của các chử số của 
 = (n – 1).9 + 9 = 9n
Tổng của các chử số của A = 9n
Vậy tổng các chử số của A2 bằng tổng các chử số của A
Bài 3:
 Tìm các chử số a, b, c > 0 sao cho mọi số tự nhiên n > 0 thì 
Giải.
Đặt 
Ta có :
Điều kiện bài toán đã cho tương đương với 
 Suy ra ta có ba bộ (a, b, c) thoả mãn là (1, 5, 3) ; (4, 8, 6) ; (9, 9, 9)
Bài 4:
 Cho 
Chứng minh rằng A + B + C + 8 là một số chính phương với 
Giải.
 Ta có :
Vậy 
 Là một số chính phương 
Bài 5:
 Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n thì
 A = (10n + 10n-1 + + 10 + 1)(10n+1 + 5) + 1
Là số chính phương nhưng không thể là lập phương của một số tự nhiên được
Giải.
 Đặt B = 10n+1 ta có 
 (1)
Ta có (2)
 Từ (1) ta thấy A là một số chính phương nhưng từ (2) ta lại thấy A chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8 nên A không thể là lập phương của một số tự nhiên được.
Bài 6:
 Chứng minh rằng .
 là số chính phương
Giải.
 Ta có:
(5.10n – 3)2 là bình phương của một số tự nhiên . Vậy A là số chính phương
Bài 7:
 Tìm một số có hai chử số biết rằng hiệu bình phương của nó và số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương
Giải.
 Giả sử là số có hai chử số sao cho là số chính phương.
 Ta có :
Vì là số chính phương nên suy ra
 ( vì )
Mà nên a + b = 11 (*)
Từ (*) suy ra là số chính phương nên a – b = 1 hoặc a – b = 4 
 + Nếu a – b = 1 thì từ (*) ta có hệ 
Thử lại 652 – 562 = 332
 + Nếu a – b =4 thì từ (*) ta có hệ 
 (loại)
 Vậy số cần tìm là 65
Bài 8:
 Tìm số chính phương biết rằng 
Giải.
 Giả sử 
Suy ra : 
Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên 
 n + 10 = 101 suy ra n = 91
thử lại 	 có 82 – 81 =1
vậy số cần tìm là 8281
Bài 9:
 Tìm số chính phương có 4 chử số mà hai chử số đầu giống nhau và hai chử số cuối giống nhau
Giải.
 Giả sử là một số chính phương ta có:
 Do 	 là số chính phương nên 
Do nên x + y = 11
 Suy ra 9x + 1 là số chính phương suy ra x = 7, y = 4
 Thử lại 7744 = 882 . Vậy số cần tìm là 7744.
Bài 10:
 Cho là số nguyên tố , chứng minh rằng phương trình
 không có nghiệm hữu tỉ.
Giải.
 Giả sử phương trình ax2 + bx + c = o có nghiệm hữu tỉ , khi đó 
 )
Ta có:
Do là số nguyên tố nên 
Vì do đó 
 (vô lí)
Vậy không thể là số chính phương nên phương trình không có nghiệm hữu tỉ
Bài 11.
 Tìm số nguyên tố (a > b > 0) sao cho là số chính phương.
Giải.
Do là số chính phương nên a – b là số chính phương
Ta thấy nên 
Với a – b = 1 thì loại các hợp số 21, 32, 54, 65, 76, 87, 98
Còn 43 là số nguyên tố
- Với a – b = 4 thì loại các hợp số 51, 62, 84, 95 còn 73 là số nguyên tố
Vậy = 43 hoặc 73
Khi đó 43 – 34 = 9 = 32
 73 – 37 = 36 = 62
Bài 12:
 Cho số tự nhiên A gồm 100 chử số 1, số tự nhiên B gồm 50 chử số 2. Chứng minh rằng A – B là một số chính phương.
Giải
 Đặt thì B = 2C
Do đó A – B = C.1050 + C – 2C
 = C. 1050 – C
 = C (1050 – 1 )
Ta lại có 
Vậy A – B = C.9C = (3C)2 là số chính phương.
DẠNG 2: DÙNG TÍCH CHIA HẾT .
Bài 1:
 Tìm một số chính phương có 4 chử số sao cho khi viết 4 chử số đó theo thứ tự ngược lại ta củng được một số chính phương và số chính phương này là bội số của số chính phương cần tìm.
Giải.
 Đặt số phải tìm là thì 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50
Ta lại có . Tính tổng và hiệu hai số chính phương này ta được
Vì là bội của nên vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho 3 tức là bội số của 33
 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 và ta có 
Bài 2:
 Chứng minh rằng nếu tích hai số nguyên tố cùng nhau là số chính phương thì mỗi số sẽ là số chính phương .
Giải.
 Giả sử (a, b) = 1 và ab = c2 ta chứng minh a, b đều là các số chính phương
 Gọi d = (a, c) khi đó a = a1d , c = c1d, (a1, c1 ) = 1. Từ đó suy ra 
+ vì (a1, c1 )
+ vì (b, d) = (b, a) = 1
Vậy và 
Nhận xét:
 Ta có thể phân tích a, b ra thừa số nguyên tố rồi từ ab = c2 và (a, b ) = 1. Suy ra a, b là các số chính phương
Bài 3:
 Tìm dư trong phép chia một số chính phương cho 3, cho 5
Giải.
Số chính phương có dạng n2 ( )
Chia n cho 3 thì n = 3k hoặc 
Nếu n = 3k thì 
Nếu thì chia 3 dư 1
Vậy số chính phương chia cho 3 có dư la 0 hoặc 1. Từ đó ta có kết quả sau. Một số có dạng 3k + 2 không thể là một số chính phương
Chia n cho 5 thì 
Nếu n = 5k thì 
Nếu thì chia 5 dư 1
Nếu thì chia 5 dư 4
Vậy số chính phương khi chia cho 5 dư 0, 1 hoặc 4. Từ đó ta có kết quả sau : một số có dạng 5k +2 hoặc 5k + 3 không thể là một số chính phương.
Bài 4:
 Chứng minh rằng tổng luỹ thừa chẵn của ba số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương.
Giải.
 Tổng luỹ thừa 2k của ba số nguyên liên tiếp có dạng
 (n – 1)2k + n2k + (n + 1)2k
 Trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3, hai số còn lại có dạng nên tổng luỹ thừa chẵn của ba số nguyên liên tiếp chia cho 3 có dư là 2 nên không thể là một số chính phương.
Bài 5:
 Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương.
Giải.
 Tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp có dạng
 T = ( n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2
 = 5n2 + 10
 = 5(n2 + 2 )
 Ta chứng minh n2 + 2 không chia hết cho 5 với mọi n
Nếu thì n2 + 2 chia cho 5 dư 2
Nếu thì chia 5 dư 3
Nếu thì chia 5 dư 1
Vậy n2 + 2 không chia hết cho 5 nên T chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 do đó T không phải là một số chính phương.
Bài 6:
 Các tổng sau có là số chính phương hay không
A = 3 + 32 + 33 + + 320
B = 11 + 112 + 113
1010 + 8
100! + 7
1010 + 5
10100 + 1050 +1
Giải.
Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. A chia hết cho 3, nhưng chia 9 dư 3 , do đó A không là số chính phương.
B tận cùng bằng 3 nên không là số chính phương
1010 + 8 không là số chính phương vì tận cùng bằng 8.
100! + 7 không là số chính phương vì tận cùng bằng 7
1010 + 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương.
10100 + 1050 + 1 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương.
Bài 7:
 Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương
1. 
2. 
3. 
Giải.
 Giả sử các số trên đều là số chính phương. Ta có
1. 
 (vô lí )
2. 
Vì 3, 11, 13 là số nguyên tố nên (vô lí )
2. 
Vì 3, 7, 13, 37 là số nguyên tố nên (vô lí)
 Vậy các số trên đều không phải là số chính phương.
Bài 8:
 Biết a + 1 và 2a + 1 đồng thời là hai số chính phương. Chứng minh rằng a chia hết cho 24
Giải.
Đặt 
Vì 2a + 1 là một số lẽ nên m2 là số lẽ do đó m là số lẽ 
 Đặt m = 2t + 1 khi đó 
 là số chẵn nên a + 1 là số lẽ vì k2 là số lẽ.
Ta lại có a = k2 – 1 = (k – 1)(k + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp nên a chia hết cho 8 (1)
 Mặt khác a + 1 + 2a + 1 = 3a + 2 = k2 + m2 là số chia cho 3 dư 2. Do vậy cả hai số k2 và m2 khi chia cho 3 đều dư 1
 Khi đó m2 – k2 = 2a + 1 – a – 1 = a chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Bài 9:
 Từ các chử số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các chử số có 6 chử số , mỗi số gồm các chử số khác nhau . Hỏi trong các số lập được có số nào chia hết cho 11 không ? có số nào là chính phương không ?
Giải.
 Gọi số co 6 chử số lập được là trong đó a, b, c, d, e, f là các chử số đôi một khác nhau lấy trong 6 chử số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
 Tổng các chử số lập được đều bằng 21. giả sử chia hết cho 11 khi đó ta có 
 (a + c + e ) – ( b + d + f ) chia hết cho 11
Vì 
Mà nên (a + c + e ) – ( b + d + f ) = 0
Suy ra a + c + e = b + d + f
Mặt khác a + b + c + d + e + f = 21 do đó
 2(a + c + e) = 2(b + d + f) = 21 
 21 không thể chia hêt cho 2 
Vậy trong các số lập được không có số nào chia hết cho 11.
 Giả sử là số chính phương. Vì tổng các chử số của A là 21 nên A chia hết cho 3 . Đặt A = n2 thì n là số nguyên dương chia hết cho 3 , suy ra A chia hết cho 9 . Mặt khác tổng các chử số của A là 21 , do đó A không chia hêt cho 9.
Mâu thuẫn này chứng tỏ A không là số chính phương.
Bài 10:
 Cho A là một số tự nhiên gồm 100 chử số trong đó có 999 chử số 5 và một chử số khác 5 . Chứng minh A không thể là một