Giải toán trên máy tính điện tử casio

Vậy nghiệm tổng quát có dạng: .
Với thì C1 = 1 và => C2 = 0.
Vậy nghiệm tổng quát có dạng: .
Bài tập
Tìm nghiệm un của các phương trình sau:
a. 
b. 
c. 
7.2. Phương trình sai phân phi tuyến bậc 2:
7.2.1. Mở đầu:
Dạng tổng quát: F(xn+2, xn+1, xn) = 0; n = 0; 1; 2; .
	Dạng chính tắc: xn+2 =f( xn+1, xn) ; n = 0; 1; 2; .
Ví dụ: Tính giá trị dãy: 
7.2.2. Phương pháp tuyến tính hóa:
7.2.2.1. Phương pháp biểu diễn nghiệm dưới dạng tuyến tính:
Ví dụ 1: Cho dãy . Tìm dạng tuyến tính của dãy đã cho?
-- Giải --
Gọi số hạng tổng quát của dãy có dạng: 	(*)
Cho n = 1; 2; 3 ta được 
Thay vào (*) ta được hệ: => 
Vậy 
Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp qui nạp để chứng minh công thức trên.
7.2.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 2: Cho dãy . Tìm công thức tổng quát của dãy.
-- Giải --
Ta thấy (với mọi n) vì nếu un = 0 thì un-1 = 0 hoặc un-2 = 0 do đó u2 = 0 hoặc u1 = 0. Vô lí.
Đặt khi ấy có phương trình đặc trưng có nghiệm .
Công thức nghiệm tổng quát: . Với n = 0; 1 ta có: .
Vậy hay 
7.2.2.3. Phương pháp biến đổi tương đương:
Ví dụ 3: Cho dãy . Tìm công thức tổng quát của dãy.
-- Giải --
Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có: .
Thay n + 1 bởi n ta được: .
Trừ từng vế của hai phương trình trên ta được: 
Do nên 
Suy ra có phương trình đặc trưng có nghiệm 
Công thức nghiệm tổng quát 
Từ các giá trị ban đầu suy ra: 
Vậy số hạng tổng quát: 
Bài tập
Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau: 
Bài 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số: 
7.3. Một số dạng toán thường gặp:
7.3.1. Lập công thức truy hồi từ công thức tổng quát:
Ví dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số . Lập công thức truy hồi để tính theo , .
-- Giải --
Cách 1:
Giả sử (*).
Với n = 0, 1, 2, 3 ta tính được .
Thay vào (*) ta được hệ phương trình : => 
Vậy 
Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử thì bài toán sẽ giải nhanh hơn.
Cách 2:
Đặt khi ấy chứng tỏ là nghiệm của phương trình đặc trưng do đó ta có: và 
Suy ra: 
Vậy 
hay 
tức là .
7.3.2. Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi:
Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy số(*). Tìm công thức tổng quát un của dãy?
-- Giải --
Phương trình đặc trưng của phương trình (*) là: có hai nghiệm 
Vậy 
Với n = 0; 1 ta có hệ phương trình sau: => 
Vậy số hạng tổng quát .
7.3.3. Tính số hạng thứ n của dãy khi biết công thức truy hồi:
Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều sẽ dẫn đến thao tác sai, do đó ta sẽ đi tìm công thức tổng quát cho số hạng un theo n sau đó thực hiện tính.
Ví dụ 3: Cho dãy số. Tính số hạng thứ u100?
-- Giải --
Cách 1:
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 
Lặp lại các phím: 
Bây giờ muốn tính u100 ta 96 lần.
Cách 2:
Tìm công thức tổng quát .
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Nhận xét: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chính xác hơn nhiều so với cách 1 nhưng sẽ mất thời gian để tìm ra công thức tổng quát. Do đó nếu số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta sẽ dùng cách 2.
VIII. Dạng 8: MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ TRỢ GIÚP GIẢI TOÁN
Với máy tính điện tử, xuất hiện một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới: kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử. Có những bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, ) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, ), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp. Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu. Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử. (Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) 
Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010n2010) sao cho cũng là số tự nhiên.
-- Giải --
Vì 1010 n 2010 nên 203,5 » an » 249,82. 
Vì an nguyên nên 204 n 249. Ta có an2 = 20203 + 21n = 21.962 + 1 + 21n.
Suy ra: an2 – 1 = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n).
Do đó, chia hết cho 7.
Chứng tỏ (an - 1) hoặc (an + 1) chia hết cho 7. Vậy an = 7k + 1 hoặc an = 7k – 1.
* Nếu an = 7k – 1 thi do 204 n =7k-1 249 => 29,42 k 35,7. Do k nguyên nên . Vì chia hết cho 21 nên k chỉ là: 30; 32; 33; 35. Ta có:
k
30
32
33
35
n
1118
1406
1557
1873
an
209
223
230
244
k
30
32
33
35
n
1118
1406
1557
1873
an
209
223
230
244
* Nếu an = 7k + 1 thi do 204 n =7k-1 249 => 29,14 k 35,57. Do k nguyên nên . Vì chia hết cho 21 nên k chỉ là: 30; 31; 33; 34. Ta có:
Như vậy ta có tất cả 8 đáp số.
Ví dụ 2: Tính A = 999 999 9993
-- Giải --
Ta có: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999.
Từ đó ta có quy luật: 
Vậy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999.
Bài tập tổng hợp
Bài 1: (Thi khu vực, 2002, lớp 9, dự bị) 
a. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có ba chữ số đầu và bốn chữ số cuối đều bằng 1, tức là n3 = .
b. Tìm số tự nhiên n sao cho (1000 n 2000) sao cho là số tự nhiên.
c. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 = , các dấu * ở vị trí khác nhau có thể là các số khác nhau.
d. Tìm tất cả các số n có ba chữ số sao cho n69 = , n121 = 
Bài 2: (Thi khu vực 2003, lớp 9, dự bị)
a. Tìm các chữ số a, b, c để ta có: 
b. Tìm các số có không quá 10 chữ số mà khi ta đưa chữ số cuối cùng lên vị trí đầu tiên thì số đó tăng lên gấp 5 lần.
c. Hãy tìm 5 chữ số cuối cùng của số (Số Fecma thứ 24)
d. Giải phương trình x2 – 2003+ 2002 = 0 với là phần nguyên của x.
Bài 3: (Thi khu vực 2003, lớp 12) Tìm số dư khi chia 20012010 cho số 2003.
Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 10) 
a. Tìm các ước số nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 2152 + 3142.
b. Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng chia hết cho 7.
Bài 5: (Sở GD Cần Thơ 2003) Số 312 – 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79. Tìm hai số đó?
Bài 6: (Thi khu vực 2002, lớp 12) Tìm UCLN của hai số sau: a = 24614205; b = 10719433.
Bài 7: Kiểm nghiệm trên máy tính các số dạng 10n + 1 là hợp số với n = 3, , 10. Chứng minh rằng, số dạng 10n + 1 có thể là số nguyên tố chỉ khi n có dạng n = 2p. (Giả thiết: 10n + 1 là số nguyên tố khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 2).
Bài 8: Tìm tất cả các cặp số và sao cho khi đổi ngược hai số đó thì tích không đổi, tức là: (Ví dụ: 12.42 = 21.24 = 504)
Bài 9: Tìm phân số xấp xỉ tốt nhất là nhỏ nhất), trong đó m, n là số có hai chữ số.
Bài 10: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên, 2005) Cho số tự nhiên n (5050 8040) sao cho an = cũng là số tự nhiên.
a. an phải nằm trong khoảng nào?
b. Chứng minh rằng an chỉ có thể là một trong các dạng sau: an = 7k + 1 hoặc an = 7k – 1 (với kN)
Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho k = a1 + a2 + a3 +  + a100 và . Tính k?
Nhận xét: 	@ Dạng bài này thực chất là bài thi học sinh giỏi toán, nó nâng cao ý nghĩa của mục đích đưa máy tính vào trường phổ thông, phù hợp với nội dung toán SGK đổi mới. Nhờ máy tính bỏ túi giúp cho ta dẫn dắt tới những giải thuyết, những quy luật toán học, những nghiên cứu toán học nghiêm túc.
	@ Trong các kỳ thi tỉnh dạng bài này chiếm khoảng 20% - 40%, các kỳ thi khu vực khoảng 40% - 60% số điểm bài thi. Có thể nói dạng toán này quyết định các thí sinh tham dự kỳ thi có đạt được giải hay không. Như vậy, yêu cầu đặt ra là phải giỏi toán trước, rồi mới giỏi tính. 
	@ Hiện nay, đa số thí sinh có mặt trong đội tuyển, cũng như phụ huynh nhận định chưa chính xác quan điểm về môn thi này, thường đánh giá thấp hơn môn toán (thậm chí coi môn thi này là một môn học không chính thức, chỉ mang tính chất hình thức “thử cho biết”) nhưng thực tế hầu hết các thí sinh đạt giải là các thí sinh hoàn thành được các bài tập dạng này. Trong khi xu hướng của toán học hiện đại là kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học và máy tính điện tử (vi tính), ngay cả trong chương trình học chính khóa, SGK luôn có bài tập về sử dụng máy tính điện tử. 
IX. Dạng 9: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Trong rất nhiều trường hợp để giải một phương trình ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng của nó (nghiệm thường là những số thập phân vô hạn), các phương trình ứng dụng trong cuộc sống thực tế phần lớn thuộc dạng phương trình này, các phương trình có nghiệm nguyên chỉ là hữu hạn mà thôi. 
Phương pháp lặp: Giả sử phương trình đa thức f(x) = 0 có nghiệm trong .
Ta biến đổi f(x) thành dạng x = g(x) (1). Lấy một giá trị x1 (đủ lớn) nào đó tùy ý trong khoảng nghiệm . Thay x1 vào (1) ta được: x2 = g(x1)	(2). Thay x2 vào (2) ta được: x3 = g(x2) (3), , cứ tiếp tục như vậy cho đến bước n + 1 mà sao cho các giá trị liên tiếp  = xn-1 = xn = xn+1 thì giá trị x đó là nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:x16 + x – 8 = 0.
-- Giải --
Ta có: x16 + x – 8 = 0 x = . Chọn x1 = 2.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Dùng phép lặp: x = 
Ấn các phím: 2 
	Kết quả: 1,128022103
Ví dụ 2: Tìm nghiệm gần đúng 
-- Giải --
Ta có: x = 1 + . Chọn x1 = 2.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Dùng phép lặp: x = 1 + 
Ấn các phím: 2
	Kết quả: 2,618033989
Nhận xét: 	@ Phương pháp lặp để tìm nghiệm gần đúng của phương trình, xét về cách làm tương đối đơn giản, chỉ cần thay những vị trí có x trong g(x) bằng biến nhớ Ans, sau khi ấn phím giá trị kế tiếp theo lại được thay thế vào g(x). Nhưng đây là dạng toán mà hay bị sai đáp số nhất, lý do là cách biến đổi để nhận được biểu thức x = g(x) không hợp lý, biểu thức g(x) càng phức tạp thì sai số càng lớn dẫn đến những đáp số không chính xác, có trường hợp do chọn biểu thức x = g(x) khi thực hiện phép lặp làm tràn bộ nhớ máy tính hoặc quá tải.
	Ví dụ: Ở ví dụ 1 nếu biến đổi x = 8 – x16, cho x = 2 là giá trị ban đầu thì sau ba lần thực hiện phép lặp máy tính sẽ báo lỗi Math ERROR. Ở ví dụ 2, nếu biến đổi và chọn x = 2 là giá trị ban đầu thì có hai nghiệm 0 và 1 nhưng đều là số nguyên, còn nếu chọn x = 15 thì sau một số lần lặp máy báo lỗi Math ERROR. Nhưng x = 1 + thì x ban đầu lớn bao nhiêu máy vẫn cho nghiệm là 2,618033989 sau một số lần lặp và hiển nhiên không thể chọn x ban đầu là âm được.
	@ Như vậy khi dùng phép lặp để tìm một nghiệm gần đúng của x = g(x), việc hội tụ của dãy (các giá trị x1 > x2 > > xn-1 = xn = xn+1)tùy thuộc vào điều kiện hội tụ của hàm x = g(x) và giá trị ban đầu x1 trên đoạn chứa nghiệm có thỏa mãn thì mới có kết quả. Một phường trình đa thức có thể tìm được nhiều nghiệm gần đúng, do đó khi làm bài cần ghi rõ là dùng phép lặp nào và cẩn thận biến đổi các hàm x = g(x) cho phù hợp.
Bài tập tổng hợp (Xem trong các đề thi ở chương sau)
X. Dạng 10: THỐNG KÊ MỘT BIẾN
	Đây là một dạng toán cơ bản được nói đến rất nhiều trong cách sách tham khảo. Yêu cầu các thành viên trong đội tuyển tự nghiên cứu về phương pháp giải dạng toán này và các vấn đề có liên quan đến bộ nhớ máy tính khi giải dạng toán này.
Ví dụ: Một vận động viên bắn súng, có số điểm mỗi lần bắn và số lần bắn theo bảng sau:
Điểm số
10
9
8
7
6
Số lần bắn
25
42
14
15
4
Hãy tính ?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Đọc các số liệu
	(= 8,69)
	()
	()
	()
	()
Chú ý: - Trước khi nhập một bài toán thống kê khác nên xóa dữ liệu cũ trong máy.
	- Nếu số liệu cho chưa được lập dưới dạng bảng tần số cần lập bảng tần số mới giải.
	- Không để máy nhận những số liệu không rõ ràng từ số nhớ, thống kê hai biến, hồi quy.
Bài tập tổng hợp (Xem trong các đề thi ở chương sau)
XI.Dạng11: LÃI KÉP – NIÊN KHOẢN
	Bài toán mở đầu: Gởi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng. Tính cả vốn lẫn lãi A sau n tháng?
-- Giải --
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2
Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n
Vậy A = a(1 + r)n	(*)
Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.
Từ công thức (*) A = a(1 + a)n ta tính được các đại lượng khác như sau:
1) ; 2); 3) ; 4) 
(ln trong công thức 1 là Lôgarit Nêpe, trên máy fx-500 MS và fx-570 MS phímấn trực tiếp)
Ví dụ 1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng. Tính cả vốn lẫn lãi sau 8 tháng?
-- Giải --
Ta có: A = 58000000(1 + 0,7%)8
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 61 328 699, 87
Ví dụ 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021 000đ. Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng?
-- Giải --
Số tháng tối thiểu phải gửi là: 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 27,0015 tháng
Vậy tối thiểu phải gửi là 27 tháng.
(Chú ý: Nếu không cho phép làm tròn, thì ứng với kết quả trên số tháng tối thiểu là 28 tháng)
Ví dụ 3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000đ. Tìm lãi suất hàng tháng?
-- Giải --
Lãi suất hàng tháng: 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 0,7%
Ví dụ 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng. Hỏi sau 10 tháng thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
--Giải--
Số tiền lãnh cả gốc lẫn lãi:	
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 6028055,598
Ví dụ 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao nhiêu mỗi tháng. Với lãi suất gửi là 0,6%?
-- Giải --
Số tiền gửi hàng tháng: 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 9674911,478
Nhận xét: 	@ Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm: 
	+ Gửi số tiền a một lần -----> lấy cả vốn lẫn lãi A.
	+ Gửi hàng tháng số tiền a -----> lấy cả vốn lẫn lãi A.
	@ Cần phân tích các bài toán một cách hợp lý để được các khoảng tính đúng đắn.
	 	@ Có thể suy luận để tìm ra các công thức từ 1) -> 4) tương tự như bài toán mở đầu
	@ Các bài toán về dân số cũng có thể áp dụng các công thức trên đây.
Bài tập tổng hợp (Xem trong các đề thi ở chương sau)
CHƯƠNG II: MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
“GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO”
Qui định:	@ Yêu cầu các em trong đội tuyển của trường THCS Trần Cao Vân chỉ sử dụng máy Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS để giải.
	@ Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các đề thi phải viết đủ 10 chữ số hiện trên màn hình máy tính. 
	@ Trình bày bài giải theo các bước sau:
	- Lời giải vắn tắt
	- Thay số vào công thức (nếu có)
	- Viết qui trình ấn phím
	- Kết quả
Nhận xét: - Qua chương “Các dạng toán thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử Casio” ta rút ra các nhận xét như sau:
	1. Máy tính điện tử giúp củng cố các kiến thức cơ bản và tăng nhanh tốc độ làm toán. 
	2. Máy tính điện tử giúp liên kết kiến thức toán học với thực tế.
	3. Máy tính điện tử giúp mở rộng các kiến thức toán học.
- Qua các đề thi tỉnh, thi khu vực của các năm, đặc biệt từ năm 2001 đến nay (tháng 05/2005), đề thi thể hiện rõ nét các nhận xét trên đây. Có thể nhìn thấy đề thi từ năm 2001 đến nay được soạn theo các định hướng sau đây:
	1. Bài thi học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính điện tử” phải là một bài thi học sinh giỏi toán có sự trở giúp của máy tính để thử nghiệm tìm ra các quy luật toán học hoặc tăng tốc độ tính toán.
	2. Đằng sau những bài toán ẩn tàng những định lý, thậm chí một lý thuyết toán học (số học, dãy truy hồi, phương trình sai phân, .).
	3. Phát huy vai trò tích cực của toán học và của máy tính trong giải các bài toán thực tế.
Đề 1:
(Thi chọn đội tuyển thi vòng huyện trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên năm 2004)
Bài 1: 
1.1. Thực hiện phép tính (kết quả viết dưới dạng hỗn số)
	A = 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 0,993	
1.2. Tính giá trị biểu thức (làm tròn với 5 chữ số thập phân)
1.3. Rút gọn biểu thức (kết quả viết dưới dạng phân số)
1.4. Cho cotga = 0,06993 (00 < a < 900). Tính:
1.5. Tính: 	
Bài 2:
2.1. Cho đa thức P(x) = 5x7 + 8x6 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m.
	a. Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,1394
	b. Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x + 2,312) 
	c. Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
x
-2,53
4,72149
P(x)
2.2. Giải hệ phương trình sau: 
2.3. Tìm góc a hợp bởi trục Ox với đường thẳng y = ax + b đi qua
hai điểm A(0;-4) và B(2;0)
Bài 3:
3.1. Cho DABC có ba cạnh a = 17,894 cm; b = 15,154 cm; c = 14,981 cm. 
Kẻ ba đường phân giác trong của DABC cắt ba cạnh lần lượt tại A1, B1, C1. 
Tính phần diện tích được giới hạn bởi DABC và DA1B1C1?
3.2. Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn bán kính R, có các cạnh 
a = 3,657 cm; b = 4,155 cm; c = 5,651 cm; d = 2,765 cm. Tính phần diện tích
được giới hạn bởi đường tròn và tứ giác ABCD?
3.3. Cho bảng số liệu sau. Hãy tính Tổng số trứng (); số trứng trung bình của mỗi 
con gà (); phương sai () và độ lệch tiêu chuẩn ()?
Số lượng trứng
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Số gà mẹ
6
10
14
25
28
20
14
12
9
7
3.4. Dân số tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm tăng từ 30 000 000 người lên đến 30 048 288 người. 
Tính tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm đó?
(Kết quả làm tròn hai chữ số thập phân)
3.5. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 1 000 000đ với lãi suất 0,45% một tháng.
Hỏi sau 2 năm người ấy nhận được bao nhiêu tiền lãi? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Bài 4:
4.1. Cho DABC vuông tại A, có AB = c, AC = b.
	a. Tính khoảng cách d từ chân đường phân giác trong của góc vuông
đến mỗi cạnh góc vuông?
	b. Với b = 5,78914 cm; c = 8,911456 cm. Tính khoảng cách đó?
4.2. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất mà a2 bắt đầu bởi chữ số 15 và kết thúc bởi 56?
Bài 5:
5.1. Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2).
	a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy?
	b. Tìm số hạng u14 của dãy?
5.2. Cho số tự nhiên n (5050 8040) sao cho an = cũng là số tự nhiên.
	a. an phải nằm trong khoảng nào?
	b. Chứng minh rằng an chỉ có thể là một trong các dạng sau: 
	an = 7k + 1 hoặc an = 7k – 1 (với kN)
Đề 2: