Giải phương trình vô tỷ cho học sinh lớp 9

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHO HỌC SINH LỚP 9
A- Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức mở rộng .
1. Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ.
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , các hằng đẳng thức .
3. Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối.
4. Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất , bậc 2 một ẩn, cách giải hệ phương trình.
5. Bổ sung các kiến thức để giải các phương trình đơn giản:
* = 
*
*
B. Cung cấp cho học sinh các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỷ .
PHƯƠNG PHÁP 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương trình( thường dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc).
Ví dụ: Giải phương trình
 (1)
+ Ở phương trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để nguyên hai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất của luỹ thừa bậc 2:
 a = b a2 = b2 ( Khi a, b cùng dấu )
 Vì vậy khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu khi hai vế cùng dấu.
 Ở phương trình (1), VP 0 , nhưng vế trái chưa chắc đã 0 vì vậy ta nên chuyển vế đưa về phương trình có 2 vế cùng 0.
(1) 
 Đến đây học sinh có thể bình phương hai vế:
 	(*)
Ta lại gặp phương trình có một vế chứa căn , học sinh có thể mắc sai lầm là bình phương tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay chưa.
	 Và trả lời phương trình (*) có 2 nghiệm : 
 Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm :
 + Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải không đó chiếu với điều kiện ở (1) : ĐK : vì vậy không phải là nghiệm của (1)
+ Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện vậy không là nghiệm của (1) 
- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp , từ đó tôi cho học sinh tìm ra cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích .
 C1: Sau khi tìm được và thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô nghiệm.
 ( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phương trình đã cho là tương đối phức tạp )
C2: Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (1)
Sau khi giải đến (*) khi bình phương hai vế đặt thêm điều kiện vậy thoả mãn : nên phương trình (1)vô nghiệm
C3: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phương trình .
 Điều kiện của (1) : do đó 
 Vế trái <0. VP 0 nên phương trình (1) vô nghiệm .
Sau đó tôi ra một số bài tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải.
 Bài tập tương tự : Giải phương trình 
 b)
Ví dụ 2: Giải phương trình :
 (2) 
 Ở phương trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc lập phương hai vế :
 Chú ý: + ở căn bậc lẻ: có nghĩa với nên không cần đặt điều kiện 
	+ Ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b a2n+1=b2n+1; (nN) nên không cần xét đến dấu của hai vế.
Giải:+ Lập phương hai vế
 (**)
 Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái nhìn rất phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:
 ( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b)
 Vậy (**) có thể viết :
 (I)
 (đến đây thay vào phương trình) ta được:
 ( II)
 Giải ra: ; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là 2 nghiệm của PT ban đầu. Vậy (2) có nghiệm 
 + Ở phương trình (2) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải.
Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi không tương đương , vì nó chỉ tương đương khi x thoả mãn : . Vì vậy việc thay lại nghiệm của (II) vào phương trình đã cho là cần thiết . Nếu không thử lại có thể sẽ có nghiệm ngoại lai.
 Bài tập tương tự : Giải phương trình :
a) 
b) 
c) ( Đề thi vào toán tin -2000)
PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối.
 Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức :
 để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản
Ví dụ: Giải phương trình :
 (3)
 Nhận xét: + Ở phương trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc hai nên có thể bình phương hai vế. Nhưng ở phương trình này sau khi bình phương (lần 1) vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp.
 + Biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức .
Giải : ĐK: ; 
C1: Đến đây để giải (***) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trước khi phá dấu thì cần xét dấu của A
Nhận xét: vậy chỉ xét dấu 
 Nếu 
 Thì 
Giải ra (Không thoả mãn điều kiện)
+ Nếu 
Thì vô số nghiệm x thoả mãn 
 Kết luận: 
C2: ( Để giải (***) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối . dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A.B0)
Giải: (***)
Ta có: 
Vậy: Khi 
	 Giải ra: 
Bài tập tương tự: Giải phương trình
a) 
b) (Nhân 2 vế với thì trong căn sẽ xuất hiện hằng đẳng thức)
 PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ:
Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hay mà tôi rất tâm đắc , phương pháp này có thể dùng để giải được rất nhiều phương trình 
Ở phương pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng phương trình vô tỷ đơn giản 
 Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ 
	 + Đặt 2 ẩn phụ 
	 + Đặt nhiều ẩn phụ 
Cách đặt 1 ẩn phụ :
C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình về phương trình có một ẩn là ẩn phụ đã đặt .Giải phương trình tìm ẩn phụ , từ đó tìm ẩn chính.
VD1:Giải phương trình: 
 2+6x+12+ =9 (4)
-Nhận xét:+ ở phương trình này nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về một phương trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó 
 + Biểu thức trong và ngoài căn có mối liên quan :
	2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8
Hướng giải:+ Đặt ẩn phụ là y=
	+ Chú ý: Đối với ĐK: x2+3x+2 có thể giải được nhưng với những bài toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại xem có thoả mãn ĐK hay không
Giải: ĐK: x2+3x + 2x+1) (x+2) 
 Đặt : =y
PT (4) 2y2+y+8=9
	 2y2+y -1=0
Giải ra:y1=1/2 ( Thoả mãn ĐK); y2=-1( Loại)
Thay vào: =1/2x2+3x+2=1/4
	 Giải ra:x1= ; x2= 
Đối chiếu với ĐK: x= thoả mãn là nghiệm của PT (4) 
VD2: Giải phương trình:
Hướng dẫn : ĐK :
Ta biến đổi để thấy được mối quan hệ giữa các biểu thứctrong phương trình:
 Đặt : 
Ta có phương trình: (I)
Giải(I) tìm a từ đó tìm x.
VD2: Giải phương trình: 
HD: Ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt : ; 
Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phương trình để đưa về phương trình ẩn u.
Giải: ĐK : -1;
C1: Đặt: 
+ Nếu :thoả mãn) (Thoả mãn ĐK)
Giải ra: loại); thoả mãn điều kiện 
Vậy là nghiệm của (5) 
c2:Ở bài này có thể đặt : ; 
Đưa về hệ phương trình:
C2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình về 2 ẩn: ẩn chính và ẩn phụ, tìm mối quan hệ giưã ẩn chính và ẩn phụ.
VD3: Giải phương trình: (6)
 Nhận xét:- Nếu bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô tỷ.Vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ nhưng chưa đưa được về phương trình chỉ chứa một ẩn. -Hãy tìm cách đưa về một hệ phương trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đ ưa về phương trình đơn giản.
 Giải: ĐK: 
Đặt: ;Ta có hệ:
Đây là hệ phương trình đối xứng
+ Nếu x=y ta có phương trình: giải ra (thoả mãn điều kiện)
+ Nếu1-x=y ta có phương trình: giải ra: ( Thoả mãn điều kiện)
 Vậy phương trình (6) có 2 nghiệm 
VD4: Giải phương trình: 
Cách 1: Đặt ta có hệ phương trình
 giải ra 
từ đó sử dụng phương pháp 1 để giải tiếp.
Chú ý : Cách này thường sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đưa được về hệ phương trình đối xứng.
Cách 2: Đưa 2 vế về cùng bậc:
Đến đây tiếp tục giải theo phương pháp 1
Bài tập tương tự : Giải phương trình
a) ; HD: Đặt ẩn phụ ta có hệ : 
b) ; HD : Đặt ẩn phụ 
c)
B) Đặt 2 ẩn phụ: 
 Ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình 2 ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị của ẩn phụ, từ đó từ mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đưa về phương trình đơn giản.
 VD1: Giải phương trình: (7)
Nhận xét: Ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn là rất khó.
 + Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: (hằng số)
 + Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đưa về hệ 2 phương trình không chứa căn và giải.
 Giải: ĐK: Đặt:
 Ta có hệ phương trình:
 giải ra 
 Từ đó: ( thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình (7) có 3 nghiệm: 
VD2: Giải phương trình:
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
HD: Đặt; Ta có hệ:
Giải ra:a=1; b=1 ; từ đó giải ra tìm x=3
Tổng quát: Đối với phương trình có dạng:
Ta thường đặt: Khi đó ta được hệ phương trình:
 hoặc 
Giải hệ này tìm u, v sau dó tìm x
VD3: Giải phương trình:
 (9)
Nhận xét: Nếu lập phương hai vế thì cũng rất phức tạp vì không đưa được về dạng a.b=0 như ở phương trình (2)
 . Nên có thể đặt 2 ẩn phụ
Giải: Đặt 
(9) trở thành: Giải ra: 
 vậy ta có: 
 Vậy (9) có nghiệm x=0
Bài tập tương tự: Giải phương trình : 
a) 
b) 
 Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhưng không đưa được về hệ PT thì ta có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ , thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đưa về phương trình đơn giản. Như các VD sau:
VD4: Giải phương trình:
 (10)
Nhận xét: Nếu bình phương hai vế của phương trình sẽ đưa về phương trình bậc 4 rất khó giải:
Hướng dẫn: + Nhận xét gì về biểu thức x3+1 ?
 có dạng HĐT: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1)
+ Tìm mối quan hệ giữa x2+2 và x3 +1 
 x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1)
+ Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ: và tìm mối quan hệ a, b từ đó tìm x
Giải: 
ĐK :
 Đặt 
 Ta có: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2
Phương trình đã cho trở thành: 
 * Với a= 2b ta có: 
	( Thoả mãn điều kiện)
+ Với b=2a Ta có: . Từ đó giải ra tìm x
 ( Ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng . Vì vậy trước khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra phương pháp giải phù hợp).
VD5:Giải phương trình:
 ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005)
HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức:
Đặt: ;
Ta có PT: 
Giải ra:; Giải ra: x=0
VD5: Giải phương trình:
 ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
HD: Biến đổi 
 Mối liên hệ:;
 Đặt:
 Ta có phương trình:
Từ đó tìm a,b, và tìm được x
 BT Tương tự: Giải phương trình
a) 
b) 
Hướng dẫn:Nhận xét: 
Đặt : 
 Nên ta có phương trình: 
Đặt: u+v=t. Ta có phương trình: t2-t-20=0
 Giải ra: Do đó: 
 Đến đây dùng phương pháp 1 để giải: x=3
C) Đặt nhiều ẩn phụ:
VD1: Giải phương trình: 
Nhận xét: + Phương trình này nhìn rất phức tạp , nếu nghĩ đến phương pháp bình phương 2 vế thì sẽ đưa về một phương trình phức tạp .
+ Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể phức tạp , nên ta giải phương trình tìm x rồi thử lại.
+ Quan sát nhận xét các biểu thức trong căn :
Nên có thể nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ :
Giải: Đặt 
Ta có hệ : Từ đó suy ra: Giải ra : x=-2
Thay vào thoả mãn phương trình đã cho , Vậy phương trình có nghiệm x=-2
( Phương pháp này tôi thấy hay và độc đáo , từ đó GV có thể đặt nhiều đề toán đẹp)
Bài tập tương tự: Giải phương trình
PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa về dạng : A2 + B2 = 0 hoặc A.B=0
ở phương pháp này ta sử dụng A2 + B2 = 0 A = B = 0 ; A.B =0 
Khi A=0 hoặc B=0
Ví dụ: Giải phương trình: 
Nhận xét: + Sử dụng các phương pháp 1, 2, 3 đều khó giải
	 + Biến đổi đưa về dạng A2 + B2 = 0
 Giải:Điều kiện: 
Giải ra x=-1
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Nhận xét: 
+ Ở phương trình này ta có thể đặt ẩn phụ y = x2 + x từ đó đưa về hệ phương trình đối xứng: 
Từ đó suy ra: rồi giải tìm x
+ Ta cũng có thể nhân 2 vế của phương trình với 2 rồi đưa về dạng: 
 giải ra x=0 ( cách giải này đơn giản hơn)
Bài tập tương tự: Giải phương trình
 a) 	 b) 
VD: Giải phương trình: 
 HD: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức: ; PT trở thành:
Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK)
Ngoài ra ta có thể đặt:; ta có hê:
; Từ đó giải ra tìm a;b và tìm được x
Bài tập tương tự : Giải phương trình
HD: Nhận xét Từ đó biến đổi đưa về dạng :A.B =0
PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức
 Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt.
VD1: Giải phương trình: (`11)
Giải: ĐK: ;Sử dụng bất đẳng thức: với a, b > 0 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b Ta có: 
Do đó (11) Giải ra: thoả mãn điều kiện
Vậy (11) có hai nghiệm 
VD2: Giải phương trình: 
 (12)
Nhận xét:+Ở phương trình này ta không nên bình phương hai vế 
 + Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn.
 3x2+6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 từ đó có lời giải: 
Giải: VT: 
	VP: 
 Vậy 2 vế đều bằng 5, khi đó 
Kết luận pt (12) có một nghiệm x=-1
BT tương tự: Giải phương trình
a) 
b) 
VD3: Giải phương trình: 
Nhận xét: Nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về phơng trình bậc 4, khó giải
Hướng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh 2 vế
Giải: ĐK: 
 Ta thấy: 
 Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
Vậy ta suy ra: x2-10x+27=2 (1)
	 (2)
Giải (1) ta được x=5 thay vào (2) ta thấy 2 vế bằng nhau. Vậy phương trình có nghiệm x=5
BT tương tự : Giải phương trình
a) (HD: áp dụng BĐT cô si)
b) 
 Đưa về dạng: rồi áp dụng BĐT Bunhiacopxki
Tổng quát cách giải:
 + Biến đổi pt về dạng f(x)=g(x) mà với a là hằng số. Nghiệm của pt là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x)=a và g(x) = a
 + Biến đổi pt về dạng h(x) =m ( m là hằng số) mà ta luôn có h(x)m và h(x)m thì nghiệm của pt là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra
 + Áp dụng BĐT Côsi và Bunhiacôpxki 
PHƯƠNG PHÁP 6: Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất
 Ví dụ: Giải pt: 
Nhận xét: Nếu sử dụng 5 phương pháp trên đều khó giải được nên suy nghĩ để tìm cách giải khác.
Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm của pt
	+ Chứng minh nghiệm duy nhất
Giải: Nhận thấy là một nghiiệm của pt
 + Xét thì 
 nên pt vô nghiệm
 + xét ta có: nên pt vô nghiệm
Vậy pt có 2 nghiệm x=-1 và x=1
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Giải: Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phương trình
+Nếu x<0 thì 
 Vậy VP 1 nên phương trình vô nghiệm .
+ Nếu x>0 thì VP1 nên phươnhg trình vô nghiệm.
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình
BT tương tự: Giải phương trình
Hướng dẫn: TXĐ: x1
 Nhận thấy x=2 là nghiệm
 Chứng tỏ: 1x<2 thì phương trình vô nghiệm
	x>2 phương trình vô nghiệm
 (Ở những phương trình phức tạp mà việc sử dụng các phương pháp 1 đến phương pháp 4 đều không giải được thì ta nghĩ đến phương pháp 5).