Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 môn Toán khối B

 1
Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm 
 ..................... đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 
 ........................................... 
 Đề chính thức Môn: Toán, Khối B 
 (Đáp án - thang điểm có 4 trang) 
Câu ý Nội dung Điểm
I 2,0 
 1 Khảo sát hàm số (1,0 điểm) 
 3 2
1y x 2x 3x
3
= − + (1). 
 a) Tập xác định: R . 
b) Sự biến thiên: 
 y' = x2 − 4x + 3; 3,10' ==⇔= xxy . 
0,25 
 yCĐ = y(1) = 
4
3
, yCT = y(3) = 0; y" = 2x − 4, y'' = 0 ( ) 2x 2, y 2 3⇔ = = . Đồ thị 
hàm số lồi trên khoảng ( ; 2),−∞ lõm trên khoảng ( 2; + ∞ ) và có điểm uốn là 
2U 2;
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
0,25 
 Bảng biến thiên: 
 x −∞ 1 3 +∞ 
 y' + 0 − 0 + 
 y 
4
3
 +∞ 
 −∞ 0 
0,25 
 c) Đồ thị: 
 Giao điểm của đồ thị với các trục 
 Ox, Oy là các điểm ( ) ( )0;0 , 3;0 . 
0,25 
 2
 2 Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn, ...(1,0 điểm) 
Tại điểm uốn U
22;
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , tiếp tuyến của (C) có hệ số góc 1)2(' −=y . 0,25
 Tiếp tuyến ∆ tại điểm uốn của đồ thị (C) có ph−ơng trình: 
2 8y 1.(x 2) y x
3 3
= − − + ⇔ = − + . 
0,25
 Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x bằng: 
 y'(x) = x2 34 +− x = 1)2( 2 −−x ≥ 1− ⇒ y' (x) ≥ y' (2), ∀ x. 0,25
 Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi x = 2 ( là hoành độ điểm uốn). 
Do đó tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. 0,25
II 2,0 
 1 Giải ph−ơng trình (1,0 điểm) 
 5sinx 2− = 3 tg2x ( 1 sinx− ) (1) . 
 Điều kiện: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ k ,k Z
2
π
+ π ∈ (*). 0,25
Khi đó (1) ⇔ 
2
2
3sin x5sin x 2 (1 sin x)
1 sin x
− = −
−
 02sin3sin2 2 =−+⇔ xx . 0,25
2
1
sin =⇔ x hoặc 2sin −=x (vô nghiệm). 
0,25
π+
π
=⇔= 2
62
1
sin kxx hoặc π+π= 2
6
5 kx , Zk∈ ( thoả mãn (*)). 
0,25
 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (1,0 điểm) 
 y = 
2ln x
x
 ⇒ 2ln x(2 ln x)y ' x
−
= ⋅ 0,25
y'= 0 
3
2 3
ln x 0 x 1 [1; e ]
ln x 2 x e [1; e ].
⎡= = ∈⎡
⇔ ⇔ ⎢⎢
= = ∈⎢⎣ ⎣
 0.25
 Khi đó: y(1) = 0, 2 32 3
4 9y(e ) , y(e )
e e
= = ⋅ 
0,25
 So sánh 3 giá trị trên, ta có: 
33
2
2 [1; e ][1; e ]
4max y khi x e , min y 0 khi x 1
e
= = = = . 
 0,25
III 3,0 
 1 Tìm điểm C (1,0 điểm) 
 Ph−ơng trình đ−ờng thẳng AB: 
4
1
3
1
−
−
=
− yx
 ⇔ 4x + 3y – 7 = 0. 0,25
 Giả sử );( yxC . Theo giả thiết ta có: 012 =−− yx (1). 
d(C, (AB)) = 6 
2 2
4x 3y 37 0 (2a)4x 3y 7
6
4x 3y 23 0 (2b).4 3
+ − =+ − ⎡
⇔ = ⇔ ⎢ + + =+ ⎣ 0,25
 Giải hệ (1), (2a) ta đ−ợc: C1( 7 ; 3). 0,25
 Giải hệ (1), (2b) ta đ−ợc: 2
43 27C ;
11 11
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25
 2 Tính góc và thể tích (1,0 điểm) 
 3
 Gọi giao điểm của AC và BD là 
O thì SO (ABCD)⊥ , suy ra 
nSAO = ϕ . 
Gọi trung điểm của AB là M thì 
OM AB⊥ và ⇒⊥ ABSM Góc 
giữa hai mặt phẳng (SAB) và 
(ABCD) là nSMO . 
0,25
Tam giác OAB vuông cân tại O, nên ϕ=⇒== tgaSOaOAaOM
2
2
2
2
,
2
. 
Do đó: n SOtgSMO 2 tg
OM
= = ϕ . 
0,25
 2 3
S.ABCD ABCD
1 1 a 2 2V S .SO a tg a tg .
3 3 2 6
= = ϕ = ϕ 0,50
 3 Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng ∆ (1,0 điểm) 
 Đ−ờng thẳng d có vectơ chỉ ph−ơng )4;1;2( −=v . 0,25
 B ∈ d ⇔ )41;1;23( tttB +−−+− (với một số thực t nào đó ). 
( )AB 1 2t;3 t; 5 4t⇒ = + − − +JJJG . 0,25
 AB ⊥ d ⇔ 0. =vAB 2(1 2t) (3 t) 4( 5 4t) 0⇔ + − − + − + = ⇔ t = 1. 0,25
AB (3; 2; 1)⇒ = −JJJG ⇒ Ph−ơng trình của 
1
4
2
2
3
4
:
−
−
=
+
=
+∆ zyx . 0,25
IV 2,0 
 1 Tính tích phân (1,0 điểm) 
dx
x
xxI
e
∫ +=
1
lnln31
. 
 Đặt: 2 dxt 1 3ln x t 1 3ln x 2tdt 3
x
= + ⇒ = + ⇒ = . 
 x 1 t 1= ⇒ = , x e t 2= ⇒ = . 0,25
Ta có: ( )2 22 2 4 2
1 1
2 t 1 2I t dt t t dt
3 3 9
−
= = −∫ ∫ . 
0,25
2
5 3
1
2 1 1I t t
9 5 3
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25
 I = 
135
116
. 
0,25
 4
 2 Xác định số đề kiểm tra lập đ−ợc ... (1,0 điểm) 
 Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các tr−ờng hợp sau: 
• Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: 
 23625.. 15
2
10
2
15 =CCC . 0,25
 • Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó, thì số cách chọn là: 
 10500.. 25
1
10
2
15 =CCC . 0,25
 • Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: 
 22750.. 15
1
10
3
15 =CCC . 0,25
 Vì các cách chọn trên đôi một khác nhau, nên số đề kiểm tra có thể lập đ−ợc là: 
 56875227501050023625 =++ . 0,25
V Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm 1,0
 Điều kiện: − 1 ≤ x ≤ 1. Đặt t 2 21 x 1 x= + − − . 
Ta có: 2 21 x 1 x t 0+ ≥ − ⇒ ≥ , t = 0 khi x = 0. 
 2 4t 2 2 1 x 2 t 2= − − ≤ ⇒ ≤ , t = 2 khi x = ± 1. 
 ⇒ Tập giá trị của t là [0; 2 ] ( t liên tục trên đoạn [ − 1; 1]). 0,25
Ph−ơng trình đã cho trở thành: m ( ) 2t 2 t t 2+ = − + + 
2t t 2 m
t 2
− + +
⇔ =
+
 (*) 
Xét f(t) =
2t t 2
t 2
− + +
+
 với 0 ≤ t ≤ 2 . Ta có f(t) liên tục trên đoạn [0; 2 ]. 
Ph−ơng trình đã cho có nghiệm x ⇔ Ph−ơng trình (*) có nghiệm t ∈ [0; 2 ] 
 ⇔ 
]2;0[]2;0[
)(max)(min tfmtf ≤≤ . 
0,25
Ta có: f '(t) = ( )
2
2
t 4t 0, t 0; 2
t 2
− − ⎡ ⎤≤ ∀ ∈ ⎣ ⎦+ ⇒ f(t) nghịch biến trên [0; 2 ]. 0,25
 Suy ra: 
[0; 2 ] [0; 2 ]
min f (t) f ( 2) 2 1 ; max f (t) f (0) 1= = − = = . 
Vậy giá trị của m cần tìm là 2 1 m 1− ≤ ≤ . 0,25