Đề thi olympic Toán 8 năm học 2014 - 2015 - Trường THCS Thanh Cao
Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh : a) BD.CE=
b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
TRƯỜNG THCS THANH CAO THANH OAI – HÀ NỘI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8 NĂM HỌC 2014-2015 Câu 1 : (2 điểm) Cho P= a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên Câu 2 : (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó . Câu 3 : (2 điểm) a) Giải phương trình : b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : A = Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh : a) BD.CE= b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Câu 5 : (1 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi . ----------HẾT--------- đáp án Câu 1 : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 0,25 Rút gọn P= 0,25 b) (0,5đ) P= ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3, mà Ư(3)= 0,25 Từ đó tìm được a 0,25 Câu 2 : (2đ) a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 . 0,25 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)= =(a+b) 0,5 Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ; Do vậy (a+b) chia hết cho 9 0,25 b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36 -36 0,25 Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 Từ đó ta tìm được x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36 0,25 Câu 3 : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 ĐKXĐ : 0,25 Phương trình trở thành : 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm được x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ đó suy ra a= ; 0,5 Thay vào ta được A= 0,25 Từ đó suy ra A hay A 0,25 Câu 4 : (3 đ) a) (1đ) Trong tam giác BDM ta có : Vì =600 nên ta có : Suy ra Chứng minh ∾ (1) 0,5 Suy ra , từ đó BD.CE=BM.CM Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= 0,5 b) (1đ) Từ (1) suy ra mà BM=CM nên ta có Chứng minh ∾ 0,5 Từ đó suy ra , do đó DM là tia phân giác của góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận. 0,5 Câu 5 : (1đ) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25
File đính kèm:
- Thanh Cao.doc