Đề thi olympic Toán 8 năm học: 2014 - 2015

 Trường THCS Bình Minh
Đề thi olympic toán 8
Năm học: 2014-2015
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đ̉)
Bài I : (6 đ)
1. (4đ) Cho biểu thức 
A =( + + ) : (x - 2 + )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi = 
c) Tìm giá trị của x để A < 0
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 
2. (2đ) Giải phương trình: x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0
Bài II: 1. (2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
9x2 + y2 + 2z2 - 18x + 4z - 6y + 20 = 0
 2.(2đ) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2014 là một số chính phương. 
Bài III: (3đ)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Bài IV: (6đ) cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA'; BB'; CC', H là trực tâm, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. 
a. Tính tổng + + 
b. Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác MON và AH = 2.OM
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh 3 điểm H, G, O thẳng hàng. 
Bài V: (1đ) Chứng minh với mọi số nguyên a thì a7 - a chia hết cho 7. 
THCS Bình Minh
đáp án thi olympic toán (2014-2015)
Môn: Toán 8
Bài
Nội dung đáp án
Điểm
Bài I
(6 điểm)
1.a) Rút gọn 	ĐKXĐ: x ≠ ± 2
 A = 
b) |x| = suy ra x = ẵ hoặc x = -1/2 (thoả mãn) => 
c) A . Lập luận suy ra x > 2 thoả mãn
d) A ẻ Z => ẻ Z=> x ẻ {1; 3} thoả mãn
0,25đ
2,0đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
2. Giải phương trình (2đ):
 x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0
 x3(x - 4) - 19x (x - 4) + 30 (x - 4) = 0 
 ( x - 4)(x3 - 19x + 30) = 0 
 (x - 4)(x - 2)(x - 3)(x + 5) = 0 
 Kết luận: S = {2; 3; 4; -5}
0,5đ
0,5đ
1đ
Bài II
(4đ)
1) 9x2 + y2 + 2z2 - 18x + 4z - 6y + 20 = 0
ú (9x2 - 18x + 9) + (y2 - 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
ú 9(x - 1)2 + (y - 3) 2 + 2(z + 1)2 = 0
lập luận có x = 1; y = 3 ; z = -1
Kết luận
1,0đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
2) Giả sử: n2 + 2014 = k2 (k ẻN*)
ú k2 - n2 = 2014 ú (k + n) (k - n) = 2014
- Lập luận có (k + n) và (k - n) cùng chẵn
 => (k + n) (k - n) chia hết cho 4
mà 2014 không chia hết cho 4	 suy ra không tồn tại n ẻ Z thoả mãn đầu bài
0,5đ
1,0đ
0,5đ
Bài III
(3đ)
Ta că: A = = = - 1
lập luận có A > -1 => MinA = -1 khi x = 6
mặt khác A = = = 4 - 
Lập luận có A MaxA = 4 khi x =- 
1,0đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
Bài IV
(6đ)
Vẽ hình đúng 
a) = = ; 
Tương tự: = ; = 
 + + = = = 1
b) C/m MN là đường trung bình của ABC nên MN //AB
OM//AH (cùng BC); ON//BH (cùng vuụng gúc AC) các góc có cạnh tương ứng song song cùng nhọn bằng nhau AHB đồng dạng MON = = 2 (do MN là đường trung bình (cmt)) AH = 2MO
c) C/m HAG đồng dạng OMG (cgc) 
 = 
Mà + = 1800 (kề bù) + = 1800 H,G,O thẳng hàng
0,5đ
0.5đ
0,5đ
0,5đ
1,0d
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
Bài V
(1đ)
D = a(a3+1)(a3-1) = a(a+1)(a-1)(a2-a+1)(a2+a+1)
Xột phộp chia cho 7
- Nếu a = 7k (kZ) thỡ D 7
- Nếu a = 7k 1 ( kZ) thỡ (a1) 7 D 7
- Nếu a = 7k 2 ( kZ) thỡ (a2-a+1) hoặc (a2+a+1) 7 thỡ D 7
- Nếu a = 7k 3 ( kZ) thỡ (a2-a+1) hoặc (a2+a+1) 7 thỡ D 7
Vậy a7- a 7 "a Z
0,25đ
0,5đ
0,25đ