Đề thi olympic năm học 2014 - 2015 môn: Toán lớp 8 - Trường THCS Liên Châu

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
ĐỀ THI OLYMPIC
NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1:(6đ) 
1.(3điểm) Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm để A > 0.
2. (3 điểm) Giải phương trình.
b) 
c) 4x – 12.2x + 32 = 0 
Bài 2: (4đ)
1 (2điểm). Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x2 + 2x – 10 = y2.
2 (2điểm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.
Bài 3:(3đ)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 4: (6đ)
	Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a) Tính tổng 
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 5: (1đ)
	Chứng minh rằng: Nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n Î N) đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40.
------Hết-----
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC
NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1(6điểm)
1(3điểm). a) KXĐ: x ≠ ± 1 (0,5điểm)
A = = (1,5điểm)
b)A > 0 Û 1 – 2x > 0 Û x < (0,5điểm)
Đối chiếu ĐKXĐ, ta được - 1 ≠ x < . 	 (0,5điểm)
2(3điểm). a Tính đúng x = 2007 ( 1,5 điểm )
 c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,5điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,5điểm) 
Bài 2(4điểm):
1(2điểm).Ta có: x2 + 2x – 10 = y2 ( x + 1)2 – y2 = 11 	(0,25điểm) 
(x + 1 + y)(x + 1- y ) = 11 (2)	(0,25điểm) 
Vì x, y N nên x + 1 + y > 0 và do đó x + 1 – y > 0 	(0,25điểm) 
Nhận xét : x + 1 + y > x + 1 – y với mọi x, y N	(0,25điểm) 
(2) viết thành: (x + 1 + y)(x + 1- y ) = 11.1 	(0,25điểm) 
 	(0,5điểm) 
Kết luận : x = 5, y = 5 là nghiệm 	(0,25điểm) 
2(2điểm).A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)	(1 điểm) 
§Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1n=2 khi ®ã A=5	(1điểm) 
Bài 3(3điểm)
 Vì x + y +z = 1 nên:
	(0,5điểm).
Ta có: 
	(0,5điểm).
Tương tự: ; ( Với mọi x, y > 0) (0,5điểm).
Từ đó.Dấu “=” xảy ra khi (1điểm).
Vậy GTNN của M là khi (0,5điểm).
Bài 4(6điểm)
Vẽ hình đúng đến câu a (0,25điểm)
 a) ; (0,75điểm)
 Tương tự: ; (0,75điểm)
 (0,5điểm) 
 b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
 (0,75điểm ) 
(0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
 AB2 + AD2 (BC+CD)2
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,5điểm)
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
	 (0,25điểm)
Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều
Kết luận đúng (0,25điểm) 
Bài 5(1điểm).
b) Do 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn.	(0,25điểm) 
Vì 3n + 1 là số chính phương lẻ nên 3n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 
3n 8 Þ n 8 (1)	(0,25điểm) 
Do 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng bằng 
1; 5; 9 do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4 	(0,25điểm) 
Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + 2 , do đó 2n + 1 và 3n + 1 khi chia cho 5 đều dư1. Suy ra 2n 5 và 3n 5 Þ n 5 (2)
Từ (1) và (2) Þ n BCNN(5; 8) hay n 40 	(0,25điểm) 
(Học sinh làm cách khác đúng và hợp lý vẫn cho đủ điểm)