Đề thi olympic môn: Toán lớp 8 năm học 2014 – 2015

PHÒNG GIÁO DỤC THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN: TOÁN – LỚP 8
Năm học 2014 – 2015
Thời gian: 120 phút
Bài 1: ( 6 điểm)
Cho 
Chứng minh rằng 
Giải các phương trình sau:
( 2x + 1)( x +1)2( 2x + 3) = 18
Bài 2:( 4 điểm)
Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình sau:
( 1 + x2)( 1 + y2) +4xy + 2(x + y)( 1 + xy) = 25
Tìm số tự nhiên n để biểu thức là số nguyên tố.
Bài 3:( 3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 - xy + y2 – x + y +1
Cho và a + b + c = 2
 Tìm giá trị lớn nhất của P = a2 + b2 + c2
Bài 4:(6 điểm). Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G thuộc cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD sao cho góc . Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:
Tam giác OHD đồng dạng với tam giác OGB.
MG song song với AH
Bài 5:(1 điểm) 
Cho M = 19931997 + 19971993
Chứng minh rằng: M chia hết cho 15
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GIÁO DỤC THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM OLYMPIC
MÔN: TOÁN – LỚP 8
Năm học 2014 – 2015
Thời gian: 120 phút
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
( 6 điểm)
1) Từ gt => 
Hay x2+y2+z2= 0 (*) Suy luận để có 
; ; 
Và x2; y2; z2 0 (*) nên đẳng thức (*) sảy ra khi và chỉ khi x2= y2= z2 =0
 hay x = y = z = 0. 
Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
0,5 đ
0,5
0,5
0,5
2) 
 a/ ( 2x + 1)( x +1)2( 2x + 3) = 18
ó ( 2x + 1)( 2x +2)2( 2x + 3) = 72
Đặt 2x + 2 = y, ta có pt: ( y – 1)y2( y + 1) = 72
 ó y4 – y2 – 72 = 0
Giải pt tìm được y = 3 hoặc y = - 3
=> tìm được x = 0,5 hoặc x = -2,5 và kết luận.
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
b/ suy luận để có 
=> Mỗi biểu thức trong dấu gttđ luôn dương
Ta có pt: 
Thu gọn dược pt: 
Kết luận 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5
0,25 đ
Bài 2
( 4 điểm)
a)( 1 + x2)( 1 + y2) +4xy + 2(x + y)( 1 + xy) = 25
Biến đổi pt về dạng ( x + 1)( y + 1) = 5
Lập luận để tìm được ( x;y) = ( 0;4), ( 4;0)
1 đ
1 đ
b) Đặt
Suy luận để có n( n + 3) chia hết cho 4
Vì n và n+ 3 không thể cùng chẵn
=>n 4 hoặc n + 3 4
- TH1: n 4 .
 Xét lần lượt n = 0; n = 4; n = 4k( )
- TH2: n + 34 .
 Xét lần lượt n + 3 = 4; n + 3 = 4k( )
Kết luận : n = 4 thì A là số nguyên tố 7
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
 0,5 đ
Bài 3
( 3 điểm)
a) Biến đổi x2 - xy + y2 – x + y + 1 = 
Suy luận để có GTNN của biểu thức là khi và chỉ khi x = và y =
1 đ
0,5 đ
b) Suy luận để có a( a – 1) 0 ó a2 a
tương tự b2 b; c2 c
suy ra được a2 + b2 + c2 a + b + c = 2
M
B
A
Tìm được GTLN của P bằng 2 khi và chỉ khi a = b = 1; c = 0 hoặc b = c = 1; a = 0 hoặc a = c = 1; b = 0
0,5 đ
0,25 đ
0,25đ
0,5 đ
Bài 4
( 6 điểm)
O
G
H
C
D
a) Suy luận để có 
Chứng minh được 
0,5 đ
0,5 đ
1,5 đ
b) Đặt BM = a => AB = AD = 2a; OB = OD = a
Chứng minh được: HD.BG = AD.BM
0,25 đ
1 đ
Chứng minh được 
1,25 đ
 Chứng minh được => AH//MG
1, đ
Bài 5
( 2 điểm)
Kết luận được M 15
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
DUYỆT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Người ra đề