Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường Tiểu học Phú Thứ (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN – LỚP 7
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức : A = 2x2 – 3x + 5 với 
b) Tìm x, biết: 
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện: 
 Tính giá trị biểu thức P = 
b) Cho biết (x -1).f(x) = (x +4).f(x +8) với mọi x. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất bốn nghiệm.
Câu 3: (2,0 điểm)
a) T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x, y) tháa m·n x - 3y + 2xy = 4
 b) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n ®Ó n2 + 2018 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Câu 4: (3,0 điểm)
1) Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN.
Chứng minh rằng: MC = BN và BN CM;
Kẻ AH BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. 
2) Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho MA: MB: MC = 1: 2: 3. Tính số đo ?
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho 2016 số nguyên dương a1 , a2, a3 , ...., a2016 thỏa mãn: 
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau trong 2016 số đã cho.
-------------- Hết ----------------
Họ và tên thí sinh:..................................................... SBD:.....................................
Giám thị 1:..................................................Giám thị 2:........................................
UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC 
NĂM HỌC : 2017 – 2018
MÔN : TOÁN - LỚP 7
(Hướng dẫn chấm gồm: 05 câu, 04 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2,0đ)
a. (1,0đ).
 Vì nên x = hoặc x = - 
* Với x = thì A = 2.()2 – 3. + 5 = 4 
0,25
0,25
 *Với x = - thì A = 2.(- )2 – 3.(-) + 5 = 7
 Vậy A = 4 với x = và A = 7 với x = - .
0,25
0,25
b. (1,0đ). vì nên ta có: 
 => 
0,25
 =>=> x + 1 = 5 hoặc x + 1 = - 5
0,25
* Trường hợp 1: x + 1 = 5 => x = 4
0,25
* Trường hợp 2: x + 1 = - 5=> x = - 6
Vậy x = - 6 hoặc x = 4
0,25
2
(2,0đ)
a. (1,0đ). 
Theo bài ra: 
 (1) víi a, b, c kh¸c 0 ta cã 
 => 
0,25
 => 
 => (2)
0,25
 + NÕu a+ b + c 0 th× tõ (2) ta cã a = b = c
Khi ®ã P = = 
0,25
+ NÕu a + b + c = 0 th× a + b = - c; b + c = - a; c + a = - b
Khi ®ã P = = 
0,25
b. (1,0đ). 
 Vì đa thức (x - 1). f (x) = (x +4). f(x +8) đúng với mọi x nên
*) Với x = 1 thì ta có: (1 - 1). f(1) = (1 + 4) . f(9) 
 0. f(1) = 5. f(9) f( 9) = 0
Suy ra x = 9 là 1 nghiệm của đa thức f(x)
0,25
*) Với x = - 4 thì ta có : -5. f(-4) = 0. f(4) f(-4) = 0
Suy ra x = - 4 là 1 nghiệm của đa thức f(x)
0,25
*) Với x = 9 thì ta có: 8. f(9) = 13. f(17) f(17) = 0 (vì f(9) = 0)
Suy ra x = 17 là 1 nghiệm của đa thức f(x)
0,25
*) Với x = 17 thì ta có: 16. f(17) = 21. f(25) f(25) = 0 (vì f(17) = 0)
Suy ra x = 25 là 1 nghiệm của đa thức f(x)
Vậy đa thức f(x) có ít nhất 4 nghiệm là 9 ; - 4; 17; 25
0,25
3
(2,0đ)
a. (1,0đ). 
 Ta có: x - 3y + 2xy = 4
 => 2x+ 4xy - 6y = 8
 => 2x + 2x.2y - 3.2y - 3 = 8 - 3 
 => 2x(1+ 2y) - 3.(2y + 1) = 5
 => (2x - 3)(1 + 2y) = 5
V× x, y Z nªn 2x - 3 ; 1 + 2y Z nªn 2x - 3 ; 1 + 2y ¦(5)
0,5
Ta cã b¶ng sau
2x – 3
 - 1
 -5
 1
 5
1 + 2y
 - 5
 -1
 5
 1
 x
 1
 -1
 2
 4
 y
 -3
 -1
 2
 0
0,25
V× x, y nguyªn nªn các cặp số nguyên thỏa mãn là:
 (x; y) (1; -3) ; ( -1; -1); (2; 2); (4; 0)
0,25
b. (1,0đ). 
Giả sử n2 + 2018 là số chính phương với n là số tự nhiên
Khi đó ta có n2 + 2018 = m2 (m)
0,25
Từ đó suy ra : m2 - n2 = 2018 m2 – mn + mn - n2 = 2018
m(m - n) + n(m – n) = 2018 (m + n) (m – n) = 2018
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
0,25
Mặt khác ta có: m + n + m – n = 2m 
 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
0,25
Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn.
 (m + n) (m – n) 4 nhưng 2018 không chia hết cho 4
 Điều giả sử sai.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2018 là số chính phương.
0,25
4
(3,0đ)
Vẽ hình đúng phần a
0,25
a) Xét AMC và ABN, có:
 AM = AB (AMB vuông cân)
(= 900 + )
AC = AN (ACN vuông cân)
Suy ra AMC = ABN (c.g.c)
 => MC = BN ( 2 cạnh t. ứng)
0,25
0,25
Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC.
Vì AMC =ABN (c.g.c) 
 mà (đối đỉnh)
do đó: MC BN
0,25
b) Kẻ ME AH tại E, NF AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH.
- Ta có: = 900 (vì = 900) (1)
 Lại có = 900 (2)
Từ (1) và (2) 
 Xét MAE và ABH, vuông tại E và H, có:
 (chứng minh trên)
 MA = AB(AMB vuông cân)
Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền - góc nhọn) 
 ME = AH 
0,25
- Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA (cạnh huyền - góc nhọn)
 FN = AH
0,25
Ta có ME// NF (cùng vuông góc với AH)=>(hai góc so le trong)
Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có:
 ME = NF (= AH)
 MED = NFD( g.c.g)
 MD = ND ( hai cạnh tương ứng) => D là trung điểm của MN
Vậy AH đi qua trung điểm của MN.
0,25
0,25
Theo bài ra: MA: MB: MC = 1: 2: 3
Đặt = a ( a > 0) 
=> MA = a; MB = 2a; MC = 3a. 
Vẽ tam giác MBK vuông cân tại B ( K và A nằm cùng phía đối với BM). 
=> BK= BM = 2a
0,25
Xét ABK và CBM có: 
 AB = BC (ABC vuông cân tại B)
 ( cùng phụ với góc ABM)
 BM = BK
Do đó suy ra CM = KA = 3a. 
0,25
Xét tam giác vuông MBK vuông tại B ta có 
Xét tam giác AMK có 
Theo định lí Py – ta – go đảo => tam giác KMA vuông tại M.
 => . Vậy 
0,25
0,25
5
(1,0đ)
Giả sử trong 2016 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a1 < a2 < a3 <... < a 2016.
Vì a1 , a2, a3 , ...., a2016 đều là các số nguyên dương
nên: 
0,25
Suy ra: 
0,25
0,25
 Mâu thuẫn với giả thiết. Do đó điều giả sử là sai.
 Vậy trong 2016 số đã cho phải có ít nhất 2 số bằng nhau.
0,25
Ghi chú: Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
------ Hết ------