Đề thi olympic môn: Toán 8 năm học: 2014 - 2015 - Trường THCS Kim Thư

TRƯỜNG THCS KIM THƯ
ĐỀ THI OLYMPIC
Môn: Toán 8
Năm học: 2014-2015
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (6 điểm)
1. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 và thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2015.
2. Giải phương trình sau:
a) 
b) 
Bài II (4 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên
X2 + 2y2 - 3xy - x + y + 2 = 0
2. Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là một lập phương
Bài III (3 điểm) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết:
A = (x-1)4 + (x - 3)4 + 6 (x - 1)2 (x - 3)2
Bài IV (6 điểm)
Cho ABC vuông tại A, đường cao AH (HBC). Gọi I, K lần lượt là giao điểm các đường phân giác của tam giác AHB, tam giác AHC. Đường thẳng IK cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.
Chứng minh: a) AIH đồng dạng CKH
 b) 
Bài V (1 điểm):
Cho số tự nhiên n>1 và 2n - 2 chia hết n. chứng minh rằng chia hết cho 2n - 1
ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM
Bài
Đáp án
Điểm
Bài I
1) Từ suy ra được 
(bc+ac+bc) (a+b+c) - abc = 0
Phân tích vế trái thành nhân tử (a+b)(b+c)(c+a)=0
ó a+b=0
 b+c=0
 c+a=0
Nếu a+b=0 mà a+b+c=2015 nên c=2015
Nếu b+c=0 mà a+b+c=2015 nên a=2015
Nếu a+c=0 mà a+b+c=2015 nên b=2015
Vậy một trong ba số a,b,c bằng 2015
1 điểm
1 đ
1 đ
2. a) Phân tích được vế trái thành nhân tử
(x-1)(x+3)2 = 0
ó x-1=0 	ó x=1
 (x+3)2=0	 x=-3
Vậy S = 
1 đ
0,5 đ
b) = -x+21 (1)
với x≥ thì (1) ó2x-3 = -x+21 óx =8 (thỏa mãn đk)
Với x < thì (1) ó3 - 2x = -x +21 ó x= -18 ( thỏa mãn đk)
Vậy S 
0,75 đ
0,75 đ
Bài II
1) x2 + 2y2 - 3xy - x + y + 2 = 0
ó (x - y) (x - 2y - 1) = -2
Do x,y nguyên nên x - y; x - 2y - 1 nguyên mà -2=2.(-1)= (-2).1
ta có bảng sau:
 x-y
-1
1
2
-2
x-2y-1
2
-2
-1
1
x
-5
3
4
-6
y
-4
2
2
-4
Vậy (x;y) = (-5;-4); (3;2); (-6;-4); (4;2)
2. Giả sử 2p + 1 = k3 (kN, k>1)
ó2p = k3 - 1
ó2p = (k-1) (k2 + k + 1)
Ta có k2 + k + 1 > 2 ( do k> 1) mà p là số nguyên tố
Do đó k - 1= 2 suy ra k = 3
Vậy p = 13
1 đ
1 đ
1 đ
1 đ
Bài III
Đặt a = x - 1, b =3-x ta có a + b = 2
A = a4 + b4 + 6a2b2 = (a2+b2)2 + 4a2b2
Dấu “=” xảy ra óa + b = 2 và ab = 1 ó a = b = 1
Suy ra x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất A bằng 8 tại x = 2
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài IV
Vẽ được hình chính xác
a) 
mà nên 
Nên AIH đồng dạng CKH (g-g)
b. Theo câu a 
suy ra: 	B
	M
	 	H
	A	C
 N
0,5đ
1đ
1đ
1đ
1đ
1,5đ
Bài V
Theo giả thiết 2n - 2 chia hết n suy ra 2n - 2 = nk (kN)
Ta có 
Vì chia hết cho 2n - 1
Nên suy ra: chia hết cho 2n - 1
0,5đ
0,5đ
Xác nhận của tổ KHTN	 Người ra đề
	 	Tạ Thị Quang
Xác nhận của Ban giám hiệu