Đề thi Olympic môn Toán 11 - Lần thứ 1 năm 2016 - Tỉnh Đắk Lắk

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐĂK LĂK 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ I NĂM 2016 
MÔN TOÁN, LỚP 11 
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
 Ghi chú: Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy ghi riêng 
Câu 1 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình 
 2 21 1 1 2 1
1 1 2
1 1 1
y y x
x y xy
     



 
  
Câu 2 (4,0 điểm). Cho dãy số (x )n được xác định bởi công thức: 
1
*
1
2
1
;
2 3
n
n
n
x
x
x n
x



   
  
 Tìm công thức tổng quát của số hạng x n . 
Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AH, BE, CF của tam giác cắt 
đường tròn ngoại tiếp tam giác tại các điểm tương ứng là M, N, K. 
a) Chứng minh rằng: 4
AM BN CK
AH BE CF
   
b) Nếu MH NE KF  thì tam giác ABC có đặc điểm gì? 
Câu 4 (3 điểm). Cho hàm số f(x) xác định trên  1; và thỏa mãn : 
1
(1)
3.2016
f  và 
 2(x 1) f(x) 2015(f(x)) ; 1;f x      . 
Tính 
(1) (2) ( )
lim ...
(2) (3) ( 1)
f f f n
f f f n
 
   
 
 . 
Câu 5 (3 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 3 32 2n n   là số nguyên 
dương. 
Câu 6 (3 điểm) Gọi A là tập tất cả các số tự nhiên lẻ không chia hết cho 5 và nhỏ hơn 30. Tìm số 
k nguyên dương nhỏ nhất sao cho mỗi tập con của A gồm k phần tử đều tồn tại hai số, mà số này chia 
hết cho số kia. 
............... Hết 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải tích gì thêm 
Họ và tên thí sinh:.Số báo danh:  
 Chữ ký giám thị 1: .. Chữ ký giám thị 2:  
ĐÁP ÁN 
Câu 1 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình 
 2 21 1 1 2 1 (1)
1 1 2
(2)
1 1 1
y y x
x y xy
     



 
  
Giải 
Điều kiện: 0 , 1x y  (*) 
Xét hàm số  
1
2
1
( ) 1 , 0
1
t
t
f t e t
e

   

.  
3
2
1
'( ) 1 .e
2
t tf t e

   , 
   
5
2
1
''( ) 1 2 .e 0, 0
4
t t tf t e e t

       . suy ra ( )f t là hàm lồi trên khoảng  ;0 . 
 0 , 1 ln , ln 0x y x y    . Do đó, ta có: 
ln ln ln ln
2
1 1 2
1 1
1
x y x ye e
e

 
 

 (BĐT Jensen) 
1 1 2
1 1 1x y xy
  
  
và dấu đẳng thức xẩy ra khi ln lnx y x y   
Vậy pt(2) x y  . thay vào (1), ta được: 
    2 2 2 2 2 21 1 1 2 1 1 2 1 1 0 1 1 1 0x x x x x x x x x x x                   
2
2
1
1
2
1 1 1
xx x
x x x
    
    
 thỏa mãn đk (*) 
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm:  
1 1
( ; y) ; , 1;1 .
2 2
x
 
  
 
Câu 2 (4,0 điểm). Cho dãy số (x )n được xác định bởi công thức: 
1
*
1
2
1
;
2 3
n
n
n
x
x
x n
x



   
  
Giải 
Dễ thấy *0;nx n   . ta có: 
1
2
1
1 2 3
1
2 3
n
n
n n nn
x
x
x x xx


    
 
. Đặt 
1
n
n
a
x
 . ta có 2 *
1 2 3 1;nn na a a n      
1
2 2 2
1 12 3 1 4 1 0 (1)n n nn n n na a a a a a a         
Trong (1) ta thay 1n n  . ta được 
1
2 2
14 1 0 (2)n nn na a a a     . Từ (1) và (2) ta có 1 1;n na a  là nghiệm 
của phương trình 2 24 1 0 (2)
nn
x a x a    . Do đó ta có: 1 1 1 14 4 0(3)n n n n n na a a a a a         . (3) 
có phương trình đặc trưng: 2 4 1 0 2 3        . Vậy    2 3 ' 2 3
n n
na C C    
Do
   
   
1
1
2 2
2
2
1 1
1 2 3 ' 2 3 1
2 3
1 12 3 ' 2 3 44 '
2 3
a CC Cx
C Ca C
x
           
   
        
    1 2 3 2 3
2 3
n n
na     . Vậy 
   
2 3
; 1
2 3 2 3
n n n
x n  
  
Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AH, BE, CF của tam giác cắt 
đường tròn ngoạ tiếp tam giác tại các điểm tương ứng là M, N, K. 
a) Chứng minh rằng: 4
AM BN CK
AH BE CF
   
b) Nếu MH NE KF  thì tam giác ABC có đặc điểm gì? 
Giải 
a) 
CAM CBM (góc nt chắn cung CM) 
CAM CBN (cùng phụ góc ACB ) 
Suy ra CBM CBN . Chứng minh tương tự ta có MCB BKC 
BCM BCI   1BCM BCIS S S    
Tương tự ta cũng có 2ACN A ICS S S   3;S ABK IABS S   
Đặt ABCS S . Ta có 
 1 12.
. 2
S S S SAM AM BC
AH AH BC S S
 
   ; 
   2 22.AC
.AC 2
S S S SBN BN
BE BE S S
 
   ; 
 3SC
CF S
K S
 
3 1 2 31 2
3 4
4
S S S S S SS S S SAM BN CK S
AH BE CF S S S S S
    
         (đpcm) 
b) MH NE KF EI I IH F     . 
suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp đồng thời là trực tâm của ABC . Vậy ABC là tam giác đều. 
Câu 4 (3 điểm). Cho hàm số f(x) xác định trên  1; và thỏa mãn : 
1
(1)
3.2016
f  và 
 2(x 1) f(x) 2015(f(x)) ; 1;f x      . 
Tính 
(1) (2) ( )
lim ...
(2) (3) ( 1)
f f f n
f f f n
 
   
 
Giải 
 2( ) 0; 1. ( 1) f( ) 2015(f( )) 0; 1 ( )f n n f n n n n f n          là dãy số tăng 
Nếu  ( )f n bị chặn trên thì có giới hạn. gịả sử 2( ) a a a 2015a 0l mfi n a      (vô lý) 
Vậy ( )l mf ni   . 
+
2 2 ( ) 1 1 1( 1) f( ) 2015(f( )) 2015(f( )) ( 1) f( )
( 1) 2015 f( ) f( 1)
f n
f n n n n f n n
f n n n
 
          
  
(1) (2) ( ) 1 1 1 1 1 1 1
... ...
(2) (3) ( 1) 2015 (1) (2) (2) (3) ( ) ( 1)
1 1 1 1 1
3.2016
2015 (1) ( 1) 2015 ( 1)
f f f n
f f f n f f f f f n f n
f f n f n
 
           
  
   
      
    
(1) (2) ( ) 1 1 3.2016
lim ... lim 3.2016
(2) (3) ( 1) 2015 ( 1) 2015
f f f n
f f f n f n
   
         
    
Câu 5 (3 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 3 32 2n n   là số nguyên 
dương. 
Giải 
Xét hàm số   3 32 2 ; 1f x x x x     
TH1: 
             
1 1 2 2
3 3 3 3
33
1
1;2 ; 2 2 ' 2 2 0
3
(1) (x) (1) 3 1 (x) 4 (1)
x f x x x f x x x
f f f f
  
           
 
      
TH2: 
             
1 1 2 2
3 3 3 3
3
1
2; ; 2 2 ' 2 2 0
3
(2) (x) lim ( ) 4 (x) 0 (2)
x
x f x x x f x x x
f f f x f
 

 
            
 
     
Từ (1); (2) và 3 32 2n n   là số nguyên dương suy ra 
3 32 2 1 5n n n      (thỏa mãn ycbt) 
hoặc 3 32 2 2n n    (Không tồn tại n thỏa mãn ycbt). Vậy 5n  là giá tri cần tìm. 
Câu 6 (3 điểm) Gọi A là tập tất cả các số tự nhiên lẻ không chia hết cho 5 và nhỏ hơn 30. Tìm số 
k nguyên dương nhỏ nhất sao cho mỗi tập con của A gồm k phần tử đều tồn tại hai số, mà số này chia 
hết cho số kia. 
Giải 
Gọi P(A) là tập tất cả các tập con của A; T là tập tất cả các tập con của A tồn tại hai số, mà số này chia 
hết cho số kia. 
 1;3;7;9;11;13;17;19;21;23;27;29A  . 
Ta có:    7;11;13;17;19;21;23;27;29 ; 7;9;11;13;17;19;21;23;29B C  là các tập có số phần tử lớn 
nhất thuộc P(A) mà không thuộc T. Mặt khác:        3 ; 9 ; 3 ; 27B B C C T     . 
Vậy số nguyên dương k thỏa mãn ycbt là: )( (1 ) 1 10k n nB C    . 
(ThS. Nguyễn Quang Phục – GV Trường THPT Trường Chinh –EaH’leo ĐăkLăk)