Đề thi olympic lớp 8 năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán 8

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
Trường THCS Tam Hưng
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8
Năm học 2014 - 2015
Môn thi : Toán 8
Thời gian làm bài : 120 phút 
(Không kể thời gian giao đề)
Bài I: (6,0 điểm)
1) Cho biểu thức: 
Q = 
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
2) Giải phương trình: 
Bài II: (4,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 2) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức B = là số nguyên tố.
Bài III: (3,0 điểm). Cho a + b + c = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = 
Bài IV:(6 điểm)
 Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Tính tổng : .
Chứng minh : BH.BE + CH.CF = BC.
Chứng minh : H cách đều ba cạnh tam giác DEF.
Trên các đọan HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM = CN. 
Chứng minh đường trung trực của đoạnn MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài V: :(1 điểm)Tìm số tự nhiên n để chia hết cho 25 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án
Điểm
Bài I
a
(2điểm)
Rút gọn Q = 
2,0
1)b
(2điểm)
ĐKXĐ: x 
0,5
Q = = 
0,5
Tìm và KL: x 
1,0
2
(2điểm)
0,5
0,25
Đặt Phương trình trở thành y2 + 3y – 40 = 0
0,25
ó 
0,25
Với y + 8 = 0 giải và KL pt x2 – 6x + 13 = 0 vô nghiệm
0,25
Với y - 5 = 0 giải pt x2 – 6x = 0 ó x = 0; x = 6.
0,25
KL : S = 
0,25
Bài II
1)
(2điểm)
 ó 
0,5
Trường hợp 1: => Không có gt 
Trường hợp 2: => Không có gt 
Trường hợp 3: => Không có gt 
Trường hợp 4: ó. ó 
1,0
Kết luận: Nghiệm nguyên của phương trình là: (x;y) = (2; -1); (-2; -1)
0,5
Bài II
2)
(2điểm)
 = 
0,5
Để B là số nguyên tố thì một trong hai thừa số phải bằng 1 và thừa số còn lại là số nguyên tố.
0,25
Xét n – 3 = 1 ó n = 4. Khi đó B = 103 là số nguyên tố
0,5
Xét ó ......không tìm được số tự nhiên n thỏa mãn
0,5
Vậy n = 4 là giá trị cần tìm.
0,25
Bài III
(3điểm)
Từ a + b + c = 5 Suy ra 
Mặt khác 
Do đó 
Suy ra 
=> => 
Kết luận min A = a = b = c = 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài IV
a)
(2điểm)
Trước hết chứng minh: = 
Tương tự có: ; 
 Nên = 
 = 1
0,5
0,5
0,5
0,5
b)
(1,5điểm)
 Trước hết chứng minh BDHBEC 
 BH.BE = BD.BC
 Vµ CDHCFB CH.CF = CD.CB.
 BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (đpcm)
0,5
0,5
0,5
c)
(1,5điểm)
 Trước hết chứng minh AEF ABC 
 Và CDECAB 
 mà EBAC nên EB là phân giác của góc DEF.
 Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE.
 Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF 
 nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
0,5
0,5
 0,5
d)
(1điểm)
 Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đọan MN và HC, ta có OMH = ONC (c.c.c) .(1)
 Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên:.(2)
 Từ (1) và (2) ta có: HO là phân giác của góc BHC
 Vậy O là giao điểm của trung trực đọan HC và phân giác của góc BHC nên O là điểmm có định. 
 Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O.
0,25
0,25
O,25
0,25
Bài V
(1điểm)
= = 
0,5
Nếu n lẻ thì Chia hết cho 25 => A chia hết cho 25
0,25
Nếu chẵn thì 9n tận cùng bằng 1, còn 16n tận cùng bằng 6 suy ra tận cùng băng 7 => tận cùng bằng 4 =. A không chia hết cho 25.
Vậy n lẻ thì A chia hết cho 25
0,25