Đề thi olympic lớp 6 năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
§Ò chÝnh thøc
Thanh oai
§Ò thi olympic líp 6
N¨m häc 2012 - 2013
M«n thi : To¸n
Thêi gian lµm bµi : 120 phót 
(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò )
Câu 1 ( 6 điểm ) Tìm x thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
	1. 
	2. 
	3. | x | + x = 0
Câu 2 ( 5 điểm )
Tìm a, b là số tự nhiên biết: 
Hai số tự nhiên x và 2x đều có tổng các chữ số bằng y. 
 Chứng minh rằng: x chia hết cho 9.
Chứng minh rằng : 
Câu 3 ( 3 điểm )
	Cùng một công việc nếu mỗi người làm riêng thì 3 người A, B, C hoàn thành công việc trong thời gian lần lượt là 6 giờ, 8 giờ, 12 giờ. Hai người B và C làm chung trong 2 giờ sau đó C chuyển đi làm việc khác, A cùng làm với B tiếp tục hoàn thành công việc cho đến xong. Hỏi A làm trong mấy giờ?
Câu 4 ( 5 điểm )
	Cho: xoy = 1200, xoz = 500. Tính xom biết rằng om là tia phân của góc yoz.
Câu 5 ( 1 điểm )
	Tìm số tự nhiên x biết tổng các chữ số của x bằng y, tổng các chữ số của y bằng z và x + y + z = 60.
__________________________________________________________
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
§Ò chÝnh thøc
Thanh oai
§Ò thi olympic líp 7
N¨m häc 2012 - 2013
M«n thi : To¸n
Thêi gian lµm bµi : 120 phót 
(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò )
Câu 1 ( 6 điểm )
	1. Tìm x thỏa mãn một trong các điều kiện sau :
	a, 
	b, , | x – 5 | = 5- x 
	2. Chứng minh đa thức x2 + 2x + 2 không có nghiệm.
Câu 2 ( 4 điểm )
	Cho: . Chứng minh: 
	a, 	b, 	c, 
Câu 3 ( 4 điểm )
Chứng minh rằng với mọi a,b Q ta có : | a + b | ≤ | a | + | b |
So sánh 12723 và 51318
Câu 4 ( 5 điểm )
	Cho tam giác ABC vuông ở C, đường cao CD. Các tia phân giác của các góc ACD và DCB cắt cạnh huyền AB theo thứ tự ở K và M.
	a, Chứng minh: ∆ ACM cân.
	b, Chứng minh điểm cách đều 3 đỉnh của ∆KCM thì cũng cách đều ba cạnh của ∆ABC.
Câu 5 ( 1 điểm )
	Cho các số nguyên dương a, b, c, d, e, f biết :
	 và af – be = 1
	Chứng minh : d ≥ b + f
__________________________________________________________
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
§Ò chÝnh thøc
Thanh oai
§Ò thi olympic líp 8
N¨m häc 2012 - 2013
M«n thi : To¸n
Thêi gian lµm bµi : 120 phót 
(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò )
Câu 1 ( 6 điểm ) 
Giải phương trình: 
a, | 2x - 3 | = - x + 21
b, 9x2 + 6x – 8 = 0 
2. Chứng minh bất đẳng thức 
Câu 2 ( 5 điểm ) 
	1. Tìm các hằng số a, b để :
 x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho x2 – x – 2 với mọi x є Q.
 	2. Giải phương trình nghiệm nguyên 
	x2 +2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0
Câu 3 ( 2 điểm ) 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của :
	A= a3 + b3 + c3 biết a, b, c lớn hơn -1 và a2 + b2 + c2 = 12
Câu 4 ( 7 điểm )
	Cho tam giác ABC. Gọi P là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP, cắt CA và CB theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
	a, ∆ AMP ~ ∆ APB
	b, 
	c, BC . AP2 + CA. BP2 + AB. CP2 = AB . BC. CA
__________________________________________________________
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
H­íng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2012 - 2013
M«n thi : To¸n Líp 6
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(6 điểm)
1. 
 -> x = -1
2. 
 -> x= - 1
3. / x / = -x -> x 0
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
2,0đ.
Câu 2
(5 điểm)
1. 
 -> b( 3a - 2 ) = 30
 -> 3a – 2 Ư(30)
 Do 3a – 2 chia 3 dư 1 -> 3a – 2 = 1 hoặc 10
 -> (a, b) = ( 4, 3); (1, 30).
2. Do 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9. Do đó hiệu của chúng chia hết cho 9
 Ta có 2x – y 9 và x – y x
 => ( 2x – y ) – ( x – y) 9
 -> x 9
3. S = 
 = 
 = 
 Do 
 = 
 -> S < 
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
Câu 3
(3 điểm)
 Trong 1 giờ mỗi người A, B, C lần lượt làm được , , , B và C làm được 
 2 giờ B và C làm được 
 A và B làm được 
 1 giờ A và B cùng làm được: 
 Thời gian A cùng làm với B là: giờ. 
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
Câu 4
(5 điểm)
2 trường hợp :
a, Trường hợp 1 : 2 tia oy, oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ ox
 xoz = 500 oz nằm giữa ox và oy.
 yoz = xoy – xoz = 1200 – 500 = 700
 zom = = 350
 xom = xoz + zom =500+ 350 = 850
b, Trường hợp 2 : 2 tia oy và oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ ox.
 Từ đầu bài -> 0x nằm giữa 2 tia oy và oz.
 yoz = 1200 + 500 = 1700
 zom = 850
 xom = 850 – 500 = 300 
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ
Câu 5
(1 điểm)
Từ đầu bài ta có x là số có 2 chữ số. Đặt x = 
x = 10a + b -> y = a + b, z có 2 trường hợp :
* Nếu y = a + b 9 -> z = a + b ta có :
 ( 10a + b) + ( a + b ) + ( a + b ) = 60 -> 4a + b = 20
 b 4 -> b = 0; 4; 8 -> a = 5, 4, 3 loại a = 3, b = 8 ( do a + b > 9)
* Nếu y = a + b 10 -> z = a + b – 9
 Ta có : ( 10a + b ) + ( a + b ) + ( a + b – 9 ) = 60
 -> 4a + b = 23 -> a = 4 , b = 7
 -> = 44, 47, 50.
0,5đ.
0,5đ.
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
H­íng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2012 - 2013
M«n thi : To¸n Líp 7
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(6 điểm)
1. a, ( 2x + 3)2 = 
 => x = hoặc x= 
 b, | x – 5| = 5 – x = - ( x – 5 )
 x – 5 ≤ 0 x ≤ 5
 2. x2 + 2x + 2 = x2 + x + x +1 + 1
 = (x + 1)2 + 1 > 0 -> đpcm
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
Câu 2
(4 điểm)
 Chứng minh câu a, câu b mỗi câu cho 1 điểm
 c, -> 
 => 
2,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
Câu 3
(4 điểm)
1. a, Nếu a +b ≥ 0 -> | a + b| = a + b
 Do: a ≤ |a| ; b ≤ | b| ( a,b є Q )
 -> | a+ b | = a + b ≤ | a | + | b| (1)
 b, Nếu a + b | a+b | = - a – b
 mà – a ≤ | a | , - b ≤ | b |
 -> | a+b | = - a - b ≤ | a | + | b | . (2)
 Từ (1), (2) -> đpcm dấu = xảy ra ó ab ≥ 0
2. 12723 < 12823 = (27)23 = 2161
 51318 > 51218 = (29)18 = 2162 -> 51318 > 12723
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
Câu 4
(5 điểm)
1, AMC = , ACM = ACD + 
 Do = , = ACD -> ACM = AMC
 -> ∆ACM cân.
2. CM tương tự ta có BC = 8K.
 Vậy đường thẳng chứa tia phân giác của góc A cũng là đường trung trực của CM. 
 Và đường thẳng chứa tia phân giác của góc B cũng là trung trực của CK.
 => Giao điểm 3 đường trung trực của ∆KCM trùng với giao điểm 3 đường phân giác của ∆ABC -> đpcm
2,5đ.
2,5đ.
Câu 5
(1 điểm)
 d = d( af – be ) = adf – bed
 = ( adf – bcf ) + ( bcf – bed )
 = f( ad – bc ) + b ( cd – ed )
 ≥ f.1 + b.1 = f + b
0,5đ.
0,5đ.
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
H­íng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2012 - 2013
M«n thi : To¸n Líp 8
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(6 điểm)
1. a, | 2x -3 | = - x + 21
 x = 8 , x = - 18 
 b, 9x2 + 6x – 8 = 9x2 – 6x + 12x – 8 
 = ( 3x – 2)( 3x + 4) = 0
 -> x = , x = 
 2. Xét hiệu : 
 Do x2 - x + 1 > 0 -> -> đpcm
2,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
Câu 2
(5 điểm)
1. x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b = ( x2 – x – 2). Q(x) "(x)
 = ( x + 1)(x – 2 ). Qx
 Với x = -1 có: -a + b = -31
 x = 2 có: 2a + b = - 28
 -> a = 1, b= -30
2. Pt ( x + y)( x + 2y – 1) = -3 = 1.(-3) = 3. ( -1)
Xét 4 trường hợp ta có :
 (x ; y) = ( -8 ; 5), ( -6 ;5), (6 ;-3), (4 ;-3) 
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,5đ.
1,0đ.
Câu 3
(2 điểm)
( a3 +1) - 3(a2 – 1) = (a + 1)( a2 – a + 1) – 3( a - 1)( a +1)
= ... = ( a + 1)( a – 2)2 ≥ 0 ( do a > - 1 )
-> a3 – 3a2 ≥ - 4 , tương tự b3 – 3b2 ≥ - 4, c3 – 3c2 ≥ - 4
-> ( a3 + b3 + c3 ) – 3( a2 + b2 + c2 ) ≥ - 12
-> B – 36 ≥ -12
-> B ≥ 24 ->GTNN B = 24 a = b = c= 2
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
Câu 4
(7 điểm)
a, AMP = 900 + 
 APB = 900 + 
 BNP = 900 + 
 -> ∆ AMP ~ ∆ APB
b, CM tương tự : ∆ APB ~ ∆PNB
 => ∆AMP ~ ∆ APB ~ ∆PNB
 => => 
 => ( do MP = NP )
c, Do ∆AMP ~ ∆PNB => 
 => AM.NB = MP.PN = MP2
 => AM.NP = CM2 – CP2 = ( CA–AM )(CB–BN ) – CP2
 = CA.CB – CA.BN – AM.CB + AM.BN – CP2
 => AM.CB + BN.CA+ CP2 = CA.CB
 => AM.CB.AB + BN.CA.AB + CP2.AB = AB.BC.CA (1)
 Từ câu (b) có : -> AM.AB = AP2 (2)
 -> BN.AB = BP2 (3)
 Từ (1), (2), (3) ->đpcm 
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.