Đề thi Olymic môn Toán lớp 7 (Có đáp án)

1) và (2) 	(1đ)
b)(2)
 (1) (Theo t/c DTSBN) (1đ)
Từ (1) (2) 	
Câu 2: (6 điểm)
a) x2 + 8x + 25 = x2 + 4x + 4x + 16 + 9 = x (x + 4) + 4 (x +4) + 9
 = (x + 4) (x + 4) + 9 = (x + 4)2 + 9 	(2đ)
Vì (x + 4)2 ³ 0 với " x Þ (x + 4)2 + 9 > 0 với "x 
Þ Đa thức x2 + 8x + 25 Vô nghiệm 	(1đ)
b) Vì 0£ x £ y £ z £ 1 Þ x - 1 £ 0, y - 1 £ 0
 Þ (x - 1) (y - 1) ³ 0 Þ xy + 1 ³ x + y Þ £ Þ £ 	(1) 	(1đ)
 Chứng minh tương tự : £ (2) 	; £ (3)
Cộng từng vế của (1) (2) (3) ta có :
 + + £ + + 	(4)	(0,5đ)
 Mà £ Þ £ 	
 Chứng minh tương tự £  ; £ 	(1đ)
 Þ + + £ £ 2	(5)	0,5đ)
Từ (4) (5) Þ đpcm
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất
Dấu “=” xảy ra Û (2x - 2) . (2013 - 2x) ³ 0Vậy min A = 2011 Û 1£ x£ 1006,5	(1đ)
Câu 4: (7 điểm)
 I	
 (Vẽ hình đúng 0,5đ) A	
	 B H M 	C
Gọi giao của AB và EI là F	
 r ABM = rDCM (cgc) Þ Þ BF//DI	D	(2đ )
 Þ = = 900 Þ ID ^ AC	(1đ)
 BF // DI Þ = 
 IE // AC Þ = 
Þ rCAI = r FIA (gcg) Þ IC = AF = AC 	(1,5đ)
 Mà = (đối đỉnh) Þ = (cùng phụ với )
 Þ = 	Þ r AFE = r CAB (gcg)	Þ AE = BC
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
Câu 1:( 5điểm): Cho chứng minh rằng:
a) b) 	b) 
Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết:
Câu 3:(4 điểm)a).Chứng minh rằng : .
	b) Tìm số nguyên a để: là số nguyên.
Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
Câu 5: (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=300, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tam giác ABD là tam giác đều.
b) AH = CE.
c) EH song song với AC.
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
Câu 1:( 5điểm)
a) Từ 
 b) Từ suy ra khi đó (0,5 điểm )= 	 ( 1 điểm)
 c) Theo câu b) ta có: 	từ 
 	hay 	 vậy 	
Câu 2: (2điểm)Tìm các số x;y biết.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 =>
=> -x = 5x -12=> x = 2. Thay x= 2 vào trên ta được 
 (0,5điểm)
=>1+ 3y = -12y=> 1 = -15y=> y = 	Vậy x = 2, y = thỏa mãn đề bài.
Câu 3:(4 điểm)a). 	§Æt : A = 
	Ta cã :
* A < = = (0,75điểm)
* A > .	 (0,75điểm)
Vậy: 	(0, 5điểm)
b.	 Ta cã : = =
= là số nguyên (1 điểm)
Khi đó (a + 3) là ước của 14 mµ ¦(14) = .
Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17. (1 điểm)
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A < 0 với mọi giá trị của x nên A đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất 
 ( 1 điểm)	
Vậy nhỏ nhất bằng khi x=0 	 (0,5 điểm)
Suy ra GTLN của A =khi x=0 	 (0,5 điểm) 
Câu 5: (7 điểm)
Vẽ hình ghi GT,KL (0,5điểm) 
 Chứng minh:
a) (2điểm)
 Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân ở A.Lại có : B = 900 – 300 = 600 nên tam giác ABD là tam giác đều.
b) (2 điểm)
 (cạnh huyền –góc nhọn)Do đó AH=CE
c) (2,5 điểm)
(cmt)nên HC=EA
cân ở D vì có 
 cân ở D.
Hai tam giác cân ADC và DEH có (hai góc đối đỉnh).
do đó Ở vị trí so le trong, suy ra EH // AC. 
 PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC - TT KIM BÀI
Câu 1 : (........................ điểm)	
(1) Cho tỉ lệ thức 
Cmr : ta có tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa)
a) 	b) 
(2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và . Biết là số nguyên tố và . Tìm 
Câu 2 : (........................ điểm)
1) Tìm x, y biết :
a) 
b) (x, y là số nguyên tố)
2) Chứng minh rằng đa thức f(x) = không có nghiệm.
Câu 3 : (........................ điểm)
Tìm xz để đạt GTLN. Tìm GTLN của A.
Câu 4 : (........................ điểm)
Cho ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D. Xác định I ; J sao cho AB là trung trực của DI, AC là trung trực của DJ ; IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng :
a) AIJ cân
b) DA là tia phân giác của góc LDK
c) BK AC ; CL AB
	d) Trực tâm của ABC chính là giao của 3 đường phân giác của DLK
	e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất.
- HẾT -
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC TOÁN 7
Câu 1 : (5 điểm)	
1) (2 điểm)
a) Chứng minh đúng	(1đ)
b) Chứng minh đúng	(1đ)
2) (3 điểm)
- Từ gt hoán vị các trung tỉ và áp dụng tính chất dày tỉ số bằng nhau có nên b2 = ac.
- Đo là 1 số nguyên tố có hai chữ số nên b 
- Đo ac = b2 ta xét các trường hợp :
b = 1	=> a = c = 1 (loại do a c)
b = 3	=> a.c = 9 = 1.9 (do ac) => (do 93 không là số nguyên tố)
có (chọn)
b = 7 và b = 9 điều bị loại do dẫn đến a = c
Vậy 
Câu 2 : (6 điểm)	
(1) (4 điểm)a) x = 2 hoặc x = 3	(2 điểm)
b) x = 5 ; y = 2	(2 điểm)
(2) Xét từng khoảng	(2 điểm)
+ Xét x 0 lập luận R dẫn đến f(x) 1 > 0
+ Xét 0 0
+ Xét x 1 lập luận dẫn đến f (x) > 0
 Trong cả ba khoảng trên đều có f(x) 0 nên đa thức f(x) không có nghiệm.
Câu 3 : (2 điểm)	Biến đổi A = 2 + . Để 
Xét 11 - x B < 0
Xét 11 - x > 0 => B > 0 	=> Bmax B > 0
Lập luận để có 11 - x là số nguyên dương nhỏ nhất.=> x = 10
A
=> GTLN của A bằng 12 khi và chỉ khi x = 10 
J
Câu 4 : (7 điểm)	
	 K
	 L
I
B
D
C
a) Do AB ; AC là trung trực của AB.	(1đ)
=> 	AI = AD
AD = AJ	 => AI = AJ => cân tại A.
	b) 	ALI = ALD (c.c.c) 	=> 
	TT : AKD = AKJ (c.c.c) 	=> 
	Mà AIJ cân (câu a) 	=> 	(1,5đ)
	=> 
	=> DA là tia p/g của 
	c) CMTT câu b : CL ; BK là p/g trong của ; trong DKL
	=> BK AC	(1,5 đ)
	 CL AB
	d) Từ câu c => trực tâm của ABC chính là giao của 3 đường phân giác trong DLK	(1 đ)
	e) . 	* CM được (không đổi)	(1 đ)
	* AIJ cân tại A có không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên AI nhỏ nhất.
	Ta có AI = AD AH (AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC)
	Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D H	(1đ)
	Vậy khi D là chân dường vuông góc hạ từ A xuống BC thì IJ nhỏ nhất.
A
I
J
C
D
H
B
----Hết----
PHÒNG GD& ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÌNH MINH
ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN 7
Năm học 2013-2014
Thời gian (120 phút)
Câu 1(5 điểm) Cho tỉ lệ thức với . Chứng minh:
	a) 	b)
Câu 2(6 điểm)
1)Tìm x thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a)	b)
2) Chứng minh đa thức sau không có nghiệm
Câu 3 (2 điểm)a) Chứng minh với mọi a,bQ ta có 
b) Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 4 (7 điểm)1) Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD=CE
	a) Chứng minh tam giác ADE cân.
	b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE.
	c) Từ B và C kẻ BHAD; CKAE . Chứng minh BH = CK.
	d) Chứng minh AM;BH;CK gặp nhau tại một điểm
	2) Cho tam giác ABC có AB = AC; góc A bằng 1000. Điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho góc MBC bằng 100; góc MCB bằng 200. Tình số đo góc AMB.
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu
Nội dung
Điểm
Câu1(5đ)
 1)
2)
Từ Kết luận
Từ
Từ 
1,5 đ
1,5 đ
2đ
Câu 2(6đ)
1)
2)
a) 
b)- lập luận có x>0
 - Với x>0 ta có x+3+x+7 =4x..x=5
 Xét đa thức C = x10 – x5 + x2 – x + 1
- Nếu x = 0 => C = 1 > 0
- Nếu x x10 + x2 + 1 > 0; - x5 – x > 0 => C > 0
- Nếu 0 0 
- Nếu x 1 ta có C = x5 ( x5 – 1) + x(x – 1) + 1 > 0
- Vậy C > 0 với mọi x => kết luận
2đ
0,5đ
1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 3(2đ)
a)
b)
Chứng minh đúng BĐT
Ta có B = dấu bằng xảy ra khi (x – 2)(8 – x) 0
 2x 8
Vậy Min B = 6 khi 2x 8
1đ
1đ
Câu 4(6đ)
 1a) 1b)
 1c)
1d)
2)
Vẽ hình ghi giả thiết, kết luận đúng
Chứng minh ABD = ACE (c.g.c) => Kết luận
Chứng minh MAD =MAE (c.c.c) => Kết luận
Chứng minh BHD = CKE (cạnh huyền. góc nhọn) => Kết luận
Gọi giao của BH và CK là O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc DAE. 
Mà AM là tia phân giác của góc DAE ( cmt) => Kết luận
Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB => góc BEC = góc BEC = 700 
- Chứng minh ABM = ABE (c.g.c) => góc AMB = góc AEB = 700
0,5đ
1,5đ
2đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trường THCS Thanh Văn Năm học 2013-2014 
 Câu 1. (5điểm )
 1. Cho c2=ab Chứng minh rằng: a ; 	b; = 
 2. Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các mẫu của chúng tỉ lệ vối 5;1;2 .Tìm ba phân số đó.
 Câu 2. (6 điểm ) 
 1. Cho đa thức:f(x) = x17- 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 +.+ 2000x – 1
 Tính giá trị của đa thức tại x = 1999.
 2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số:
A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn.
 Câu 3.(2 điểm ). Tìm số tự nhiên x để phân số có giá trị lớn nhất.
 Câu 4. (7 điểm ). 1. Cho tam giác ABC cân tại A, = 500.Gọi K là điểm trong tam giác sao cho =100, = 300.
 a, Chứng minh BA=BK	b, Tính số đo 
 2. Cho xAy = 600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay ,Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh :
a, K là trung điểm của AC	b, KMC là tam giác đều 
 c, Cho BK = 2 cm . Tính các cạnh AKM
 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM OLYMPIC 
 Môn: Toán 7( Năm 2013-2014)
 Câu 1 . (5đ)
 1.(2đ) a, Từ c2=a.b 
b, Theo câu a ta có ; 
 2 .(3 đ) Gọi các phân số phải tìm là : a ; b ; c ta có : a+b+c = 
Và a : b : c = = 6 : 40 : 25 .Suy ra a = ; b = ; c = 
 Câu 2.(6điểm ) 1. (3đ)
 f(x) =x17 – 1999x16 – x16 + 1999x15 + x15 – 1999x14 - x14++1999x + x – 1
f(1999) = 199917 - 199917 - 199916 + 199916 + 199915 - 199915- 199914++19992+1999 – 1
 = 1999 – 1 = 1998.
 2.(3đ)
 Ta xét hiệu (5m + n +1) – (3m – n + 4) = .. = 2m + 2n – 3
 Với m, n N thì 2m + 2n - 3 là một số lẻ . Do đó trong hai số 
 5m + n +1 và 3m – n +4 phải có một số chẵn. 
 Suy ra tích của chúng là một số chẵn .Vậy A là số chẵn.
 Câu 3 . (2 đ)
 .Đặt A=
Đặt B= Thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất 
 GTLN của A=6 khi và chỉ khi x=2
Câu 4;(7 đ)
1.(4đ)
a,-vẽ tia phân giác cắt CK ở I . .Ta có cân nên IB=IC
..(ccc)
nên =120o
Do đó (gcg)
b, ..Từ phần a ta tính được 
2.(3đ)
V ẽ h ình , GT _ KL 
a, ABC cân tại B do và BK là đường cao BK là đường trung tuyến K là trung điểm của AC 
b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = AC
 BH = AC
 Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = CK MKC là tam giác cân ( 1 )Mặt khác : = 900 và = 300 = 600 (2)
Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều
c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm
Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:
 AK = 
Mà KC = AC => KC = AK = 
KCM đều => KC = KM = 
Theo phần b) AB = BC = 4; AH = BK = 2; HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật)
=> AM = AH + HM = 6
	TRƯỜNG THCS KIM AN
Đề bài:
Câu 	1 (5 điểm)
 	a, Cho = . Chứng minh rằng: = (b +d 0)
 	b, Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 15; 60 và 8.
Câu 1 (3 điểm)
a, Tính giá trị của biểu thức: với = .
b, Tìm các số a, b, c biết ab = 2, bc = 6 và ac = 3.
Câu 3 (3 điểm)
a, Tìm các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho 3a + 5b = 8c.
b, Chứng minh đa thức x2 + 4x + 10 không có nghiệm.
Câu 4 (2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = với x là số nguyên.
Câu 5 (7 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.
a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.
ĐÁP ÁN CHẤM OLYMPIC TOÁN LỚP 7
Năm học: 2013 – 2014
Câu
Nội dung
Điểm
1.
(5điểm)
a, Từ = = = = = = = 
 = = = 
0,5đ
1,0đ
1,0đ
b, Gọi hai số phải tìm là a, b (a > b > 0), theo đầu bài ta có: 15(a + b) = 60(a – b) = 8ab.
 Hay: = = = k. Giải ra được k = 1. a = 5; b = 3
0,5đ
1,0đ
1,0đ
2.
(3điểm)
a, = = = .
1,0đ
b, Theo đề bài: ab = 2, bc = 6 và ac = 3
 ta có: ab . bc . ac = 2 . 6 . 3 a2b2c2 = 36 (abc)2 = 36 abc = 6
- Trường hợp 1:
 abc = 6 mà ab = 2, nên c = 3
 abc = 6 mà bc = 6, nên a = 1
 abc = 6 mà ac = 3, nên b = 2
- Trường hợp 2: 
 abc = - 6 mà ab = 2, nên c = - 3
 abc = - 6 mà bc = 6, nên a = - 1
 abc = - 6 mà ac = 3, nên b = - 2Vậy ; 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
3.
(3điểm)
a, 3a + 5b = 8c 3a - 3b = 8c – 8b 3(a – b) = 8(c – b)
Do đó 3(a – b) 8, từ đó a – b 8; Do ab nên a – b 
- Trường hợp: a – b = 8 cho c – d = 3, ta có:
 a = 8; b = 0; c = 3
 a = 9; b = 1; c = 4.
- Trường hợp: a – b = - 8 cho c – b = 3, ta có:
 a = 1; b = 9; c = 6.
Vậy tất cả có ba số thỏa mãn bài toán: 803, 914, 196.
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,75đ
b, x2 + 4x + 10 = x2 + 2x +2x +4 + 6= (x + 2)2 + 6 > 0 với mọi x.
Do đó đa thức x2 + 4x + 10 không có nghiệm.
0.75đ
0,25đ
4.
(2điểm)
Xét các trường hợp:+) x -2 thì A 0.
+) x = -1 thì A = 1.+) x 1 khi đó: A = = 1 + .
 A lớn nhất lớn nhất. 
Vì x là số nguyên dương, nên: lớn nhất x nhỏ nhất, tức là x = 1, khi đó A = 3.
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi x = 1
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
5.
(7điểm)
a, - Chứng minh DCHO = D CFO (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra: CH = CF. Kết luận D FCH cân tại C.
-Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh D FIG cân tại I.
- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK.
- Chứng minh D AHK = D IGK (g-c-g).- Suy ra AK = KI..
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b,
Vẽ OE ^ AB tại E. Tương tự câu a ta có: D AEH, D BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH.
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. 
Suy ra: D ABI cân tại B.
Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của D ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng.
 A
 E 	 H
 K
	 O	G
	B	 F I C
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
THCS CAO DƯƠNG
Câu 1 ( 5 điểm )
a)Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng : (a,b,c,d0; ab; cd)
b)cho 4 số a;b;c;d sao cho a+b+c+d 0
Biết Tính giá trị của ?
Câu 2 ( 3 điểm )Cho đa thức f(x) thỏa mãn : f(x) + x.f(-x) = x+1 với mọi giá trị của x
Tính f(1) = ?
Câu 3 (3 điểm )Cho đa thức f(x) = x2+mx+2
Xác định m để f(x) nhận -2 làm một nghiệm ?
Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị vừa tìm được của m ?
Câu 4 (2 điểm )Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 	A=
Câu 5 (7 điểm )Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC, kẻ HP vuông góc với AB và kéo dài để có PE = PH. Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có QE = QH.
Chứng minh rằng : 
Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng
Chứng minh rằng : BE // CF
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu 1 (5 điểm)
a) (2 điểm)
Xét tích 	Ta có : 	
b) (3 điểm)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
	Câu 2 (3 diểm)
Thay x=1 vào ta được :f(1)+f(-1)=2	
Thay x= -1 vào ta được :f(-1)-f(1)=0 f(1)+f(-1)+ f(-1)-f(1)=2+0	2f(1)=2f(1)=1	
Câu 3 (3 điểm)
f(x) nhận -2 làm một nghiệm (-2)2+m(-2)+2=0	m=3	b) f(x)=x2+3x+2, ta có : x2+3x+2=0	(x+1)(x+2)=0	x= -1 hoặc x= -2	
Câu 4 (2 điểm)
Để A có GTLN thì (2x-3)2+5 đạt GTNN	1 đ
Mà (2x-3)2+5 5 GTLN A= khi x=	1 đ
Câu 5 (7 điểm)
Vẽ đúng hình, ghi đúng giả thiết, kết luận	0,5 đ
 a) Chứng minh được 	1,5 đ	
	 	1,5 đ
Chứng minh được góc EAF = 1800	2 đ
Chứng minh được góc BEF=góc EFC = 900	1 đ
 EB // FC	0,5 đ
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7
Năm học: 2013- 2014.
Câu1: (6đ)
 a, Tính: B = 	
 b, Chứng minh : .
Câu 2: (5đ)
	a, Cho: . Chứng minh: .
 b, Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3 ?
Câu 3: (7đ)
 Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ Bh ^ Ay,CM ^Ay,
 BK ^ AC.
 Chứng minh rằng:
	 a, K là trung điểm của AC.
	 b, BH = 
	 c, đều
Câu 4: ( 2đ)
 Với giá trị nào của x thì biểu thức : P = -x2 – 8x +5 có giá trị lớn nhất.
 Tìm giá trị lớn nhất đó?
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Câu1: (6đ)
a, B = = = 
=> = => B = 
b, 	Đặt : A = 
Ta có:* A < = = 
 * A > .
Câu 2: (5đ)
a, Ta có (1) Ta lại có (2)Từ (1) (2) => .
b, Gọi a,b ,c là các chữ số của số có 3 chữ số cần tìm.
Vì mỗi chữ số không vượt quá 9 và không thể đồng thời bằng 0 nên
1 £ a+b+c £ 27
Mặt khác, số đó là bội của 18 nên a+b+c =9 hoặc a+b+c = 18 hoặc a+b+c=27
Theo giả thiết ta có: 
Do đó, ( a+ b + c ) 6. Nên: : a+b+c =18 Þ Þ a=3; b=6 ; c =9
Vì số phải tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số chẵn.
Vậy các số phải tìm là: 396, 936.
Câu 4: ( 7 đ)
Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận
Câu 5: (2đ)
Ta có P = -x2 –8x + 5 = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21
Do –( x+ 4)2 0 với mọi nên –( x +4)2 +21 21 với mọi x . Dấu (=) xảy ra khi x = -4
Khi đó P có giá trị lớn nhất là 21.
0,5đ
0,5đ
1đ
1đ
0,25đ
1 đ
0.75đ
1 đ
0.5đ
1 đ
1 đ
0.5đ
0.5 đ
0.5đ
0.5đ
0.5 đ
0.5đ
1 đ
0.5đ
0.5đ
0.5 đ
1.5 đ
1 đ
1 
1 đ
1 đ
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH CAO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7
Năm học : 2013- 2014
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1(5điểm) 
a, Chứng minh rằng : 
Nếu 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x ) 
Thì 
b, Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 30; 120; 16 
Câu 2(4điểm ). Cho f(x) = ax3 + 4x( x2 – 1 ) + 8
	g(x) = x3 -4x(bx + 1 ) + c -3 
Trong đó a , b , c là hằng. Xác định a, b, c để f(x) = g(x) .
Câu 3 (2 điểm). Chứng minh rằng đa thức :
f(x) = -4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 không có nghiệm nguyên .
Câu 4 (2 điểm). Tìm GTNN của biểu thức sau : 
khi x thayđổi .
Câu 5 (7 điểm). Cho tam giác ABC cântại A , có. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C saocho vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng :
a, Ba điểm C, A, M thẳnghàng.
b, Tam giác AOB cân.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1 
(5 điểm) 
1. a) 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x )=>
=>Biếnđổi : (1)
 (2) Từ (1) và (2) =>đpcm .
0,75 đ
1,25đ
0,5đ
b) Gọi 2 số đó là a , b . Ta có :
30( a +b ) = 120( a –b ) = 16ab
Từ điều kiện : 30( a +b ) = 120( a –b ) , tìm được
Từ điều kiện : 120( a –b ) = 16ab , tìm được
Từ đó tìm được : a = 5 ; b = 3 .
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
1 đ
Câu 2 
(4 điểm)
Biến đổi : 
f(x) = ( a + 4 )x3 – 4x + 8
g(x) = x3 – 4bx2 – 4x + c – 3 
f(x) = g(x) 
0,75đ
0,75đ
1,25 đ
0,75 đ
0,5 đ
Câu 3 
(2 điểm)
Nếu đa thứcf(x) = -4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 có nghiệm thì nghiệm đó là ước của -1 .
Mặt khác Ư(-1) = {} 
Ta có : f(-1) = -11 0	
 F(1) = -3 
Vậy đa thức đã cho không có nghiệm nguyên .
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
Câu 4 
(2 điểm)
Có ≥ 
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra (x – 2006 )( 2007 – x ) ≥ 0
 2006 
Vậy Amin = 1 2006 
0,75đ
0,75đ
0,5đ
Câu 5 
(7 điểm)
- Vẽ hình đúng
1đ
a, rABC cân tại A , 
=>
XétrBOC có
=>rBOC = rMOC ( c.g.c ) .=>
Mà nên hai tia CM và CA trùng nhau
Do đó 3 điểm C , O ,M thẳng hàng
0,5 đ
0,75đ
0,75
0,5đ
0,5đ
b,rCBM có CM = CB =>rCBM cân tại C ; 
=>
VậyrBAM cântại B 
=> BA = BM = BO=>rAOB cân tại B .
0,75đ
0,75đ,5đ
THCS ĐỖ ĐỘNGĐỀ THI HSG TOÁN 7 NĂM HỌC 2013-2014
Câu1: (5đ)
1. cho tỷ lệ thức 
Chứng minh rằnga. 	b. 
2. cho . Chứng minh rằng a=b=c
Câu 2: (4đ)1. chứng tỏ rằng với mọi x;y. Thì giá trị của biểu thức sau luôn luôn là số dươngM= 
2. So sánh hai biểu thức sauA = 	B = 
Câu 3: (2đ)
Tìm x biế
Câu 4(2đ)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP=
Câu 5 ( 7đ)Cho tam giác ABC vuông ở A. Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I. Gọi D;E;F là hình chiếu của điểm I xuống AB;AC;BC.
a. chứng minh rằng AD=AE
b. tính độ dài của đoạn AD,AE nếu biết AB=8cm; AC=15cm
c. trong trường hợp tam giác ABC cân tại A. Hãy chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác cân.
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN LỚP 7
NĂM HỌC 2013-2014
Câu 
hướng dẫn chấm
biểu điểm
câu 1
1.chứng minh được
a. b. 
2. 
2đ
2đ
1đ
câu 2
Từ (1)và (2) M>0
2. A= 
 B= 
Xét hiệu A- B =x+1-(x-1)= x+1-x+1=2>0
Vậy A>B
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5
0.5đ
0.5đ
0.75đ
0.25đ
câu 3
câu 4
vậy x=0 và x=1
P lớn nhất lớn nhất nhỏ nhất
 nhỏ nhất là = 2 khi x = y = 0
vậy P lớn nhất = 1+1/2=3/2 khi x= y= 0
0.5đ
0.75
0.25
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
câu 5
vẽ hình chứng minh đến câu a
AI là tia phân giác của góc A nên IAD=
2đ
 TRƯỜNG THCS THANH MAI 
C©u1: (5 ®iÓm)
T×m c¸c sè x, y, z biÕt: a. và 5x+y-2z =28 
b. 3x=2y; 7y=5z và x-y+z =32	c. và x+y+z =49
C©u2: (3 ®iÓm)TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc: 
a. A= lần lượt tại a= ; a= -2 b. B = tại và y= 
C©u3: (3 ®iÓm)
TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc: 
a. A = với 	b. B = với a - b =3 và b # 5; b # -4
C©u4: (2 ®iÓm)
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
C©u2: (7 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn c¹nh BC lÇn l­ît lÊy 2 ®iÓm M vµ N sao cho BM=MN=NC. Gäi H lµ trung ®iÓm BC. 
a. Chøng minh: AM=AN vµ AHBC
b. Chøng minh 
c. KÎ ®­êng cao BK. BiÕt AK=