Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM 2017 - 2018 
Môn: Toán - Lớp 8 
(Thời gian làm bài 120 phút) 
Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 1) 5 x
3
 + 15x
2
 +10x 3) 
4 2 2 4
4 x 2 1x y y 
 2) 
 
22
9 x 9 0 x 2 2 5 x 7           
2
4) 4 x 5 x 6 x 10 x 12 3x     
 Câu 2. (6 điểm) 
1) Tính giá trị của biểu thức: 
2 3 2 0 1 6
1 2 3 2 0 1 6
P ....
2 2 2 2
     
2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: 2 2x y 1  . Tìm giá trị bé nhất của biểu thức 
6 6
P x y  
3) Tìm x nếu : 2 3 2 3 3( x 4 x 1) ( x x 1) (3 x 2 )       
4) Với a và b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số chia hết cho 6. 
Chứng minh rằng số 
a
4 a b  cũng chia hết cho 6. 
Câu 3. (4 điểm) 
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x và y thì : 
        
2 2
1 x 1 y 4 x y 2 x y 1 x y      là số chính phương 
2) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức f ( x ) ( x a )( x 4 ) 7    phân tích thành thừa 
số được f ( x ) ( x b )( x c )   
Câu 4. (4,0 điểm) 
Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của AD, C là trung điểm 
của BE, A là trung điểm của CF. Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM của 
tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF. I và K lần lượt là trung 
điểm vủa GA và GD. Chứng minh rằng: 
1) Tứ giác MNIK là hình bình hành 
2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau. 
Câu 5: (2 điểm) 
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia BA, 
CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng 
song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng 
AB = CK. 
----------- Hết ----------- 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Câu Hướng dẫn giải Điểm 
Câu 
1 
(4,0) 
 3 2 21) 5 x 1 5 x 10 x 5 x ( x 3 x 2 ) 5 x ( x 1)( x 2 )        1đ 
2) 
   
2 22 2
9 x 9 0 x 2 2 5 x 7 9 ( x 5 ) x 7 (3 x 1 5 x 7 )(3 x 1 5 x 7 )
( 4 x 8 )( 2 x 2 2 ) 8 ( x 2 )( x 1 1)
              
      
1đ 
4 2 2 4 4 4 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3) 4 x 2 1x y y 4 x y 4 x y 2 5 x y
( 2 x y ) (5 x y ) ( 2 x y 5 x y )( 2 x y 5 x y )
     
       
1đ 
       
2
2 2 2
4 ) 4 x 5 x 6 x 1 0 x 1 2 3 x
4 ( x 1 7 x 6 0 )( x 1 6 x 6 0 ) 3 x A
    
       
 Đặt 
2
x 1 6 x 6 0 t   thì 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
A 4 t ( t x ) 3 x 4 t 4 tx 3 x 4 t 4 tx x 4 x
( 2 t x ) 4 x ( 2 t 3 x )( 2 t x ) ( 2 x 3 5 x 1 2 0 )( 2 x 3 1x 1 2 0 )
( 2 x 3 5 x 1 2 0 )( 2 x 1 5 )( x 8 )
         
          
    
1đ 
Câu 
2 
(6,0) 
1) Tính giá trị của biểu thức: 
2 3 2 0 1 6
1 2 3 2 0 1 6
P ....
2 2 2 2
     
+) Số hạng tổng quát: 
k k 1 k
k k 1 k 2
2 2 2

 
  với mọi k nguyên dương. 
+) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được: 
k=1 thì 
1
1 2 3
2 1 2
  
k=2 thì 
2 1 3
2 3 4
2 2 2
  
k=3 thì 
3 2 3
3 4 5
2 2 2
  
k=4 thì 
4 3 4
4 5 6
2 2 2
  
. 
K=2016 thì 
2 0 1 6 2 0 1 5 2 0 1 6
2 0 1 6 2 0 1 7 2 0 1 8
2 2 2
  
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có 
2 3 2 0 1 6 2 0 1 6 2 0 1 5
1 2 3 2 0 1 6 2 0 1 8 1 0 0 9
P .... 2 2
2 2 2 2 2 2
         
1,5đ 
 2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: 2 2x y 1  . Tìm giá trị bé nhất của 
biểu thức 6 6P x y  . 
1,5đ 
6 6 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
4 2 2
2 2
2 2
P x y ( x y )( x x y y ) 1 .( x x y y )
( x y ) 3 x y 1 3 x y 1 3 x (1 x )
1 1
3 x 3 x 1 3 x
2 1 2
1 1 1 1
3 x d o 3 x 0 x R
2 4 4 2
        
       
  
       
   
   
          
   
Dấu = xảy ra 2
1 1
x x
2 2
     và 
1
y
2
  
KL: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
P m in ( x ; y ) ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; )
4 2 2 2 2 2 2 2 2
       
 3) Tìm x nếu : 2 3 2 3 3( x 4 x 1) ( x x 1) (3 x 2 )       
Đặt 
2
2
x 4 x 1 a
3 x 2 b a
x x 1 b
   
   
  
 ta được: 
3 3 3 3 3 3 2 2 3
2 2
2
2
a b ( b a ) a b b 3a b 3a b a
3a b 3a b 0 3a b (a b ) 0
x 2 3
a 0 x 4 x 1 0
1 5
b 0 x x 1 0 x
2
a b 3 x 2 0
2
x
3
        
     

 
    
        
 
     
 

Kl 
1,5đ 
 4) Với a và b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số 
chia hết cho 6. Chứng minh rằng số a4 a b  cũng chia hết cho 6. 
a a
4 a b ( 4 2 ) (a 1) ( b 2 0 1 9 ) 2 0 2 2         
+) a( 4 2 ) chia hết cho 2 
+) a a a 1 a 24 2 ( 4 1) 3 ( 4 1)( 4 4 ... 1) 3           nên chia hết cho 3. 
Vậy a4 a b  chia hết cho 6 
1,5đ 
Câu 
3. (4 
điểm) 
1) 
       
   
   
       
 
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
1 x 1 y 4 x y 2 x y 1 x y
1 x x y y 4 x y 2 x y 1 x y
( x y 2 x y ) (1 x y 2 x y ) 2 x y 1 x y
x y 1 x y 2 x y 1 x y
x y 1 x y
     
       
        
      
   
2đ 
Là số chính phương với mọi x và y nguyên. 
2)Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức f ( x ) ( x a )( x 4 ) 7    phân 
tích thành thừa số được f ( x ) ( x b )( x c )   . 
Ta phải tìm a,b,c nguyên sao cho: 
2 2
( x a )( x 4 ) 7 ( x b )( x c ) x
x (a 4 ) x 4 a 7 x ( b c ) x b c x
a 4 b c a 4 b c
4 a 7 b c 4 a 7 b c
a b c 4
( b 4 )( c 4 ) 3 9
      
         
      
  
      
  
 
   
. 
KL: (a; b;c) = (-42;-43;-3); (-42;-3;-43); (34;35;-5); (34;-5;35); (6;-7;9) 
;(6;9;-7); );(-14;-1;-17) (-14;-17;-1) 
2đ 
Câu 
4. 
(4,0 
điểm 
Câu 4. Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của 
AD, C là trung điểm của BE, A là trung điểm của CF. Gọi G là giao 
điểm của đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường 
trung tuyến DN của tam giác DEF. I và K lần lượt là trung điểm vủa 
GA và GD. Chứng minh rằng: 
1) Tứ giác MNIK là hình bình hành 
2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau. 
K
I
G
N
M
F
E
D
CB
A
1)Tứ giác MNIK là hình bình hành 
+) Giải thích AN// = BM suy ra tứ giác ANMB là hình bình hành 
  MN // = AB 
2 đ 
+) Giải thích IK//= AB 
 Suy ra tứ giác MNIK là hình bình hành 
2)Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau. 
+) G nằm trên trung tuyến AM của tam giác ABC. 
+)AI= IG (Do I là trung điểm vủa GA) 
GI=GM ( Do tứ giác MNIK là hình bình hành 
 AI= IG= GM 
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC 
Chứng minh tương tự G là trọng tâm của tam giác DEF 
2 đ 
Câu 
5: (2 
điểm) 
Câu 5: (2 điểm) 
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia 
đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm 
của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác 
của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = 
CK. 
x
1
22
2
1
1
11
M
K
O
E
D
CB
A
+)Vẽ hình bình hành ABMC  AB = CM (1) 
+) BM//AE  góc E1 = góc B2. 
CB = CE CBE cân tại C  góc E1 = góc B1. 
 góc B1 = góc B1. 
 BO là phân giác của tam giác MBC 
2 đ 
Tương tự CO là phân giác của tam giác MBC 
 MO là phân giác của tam giác MBC 
 MO là phân giác của góc BMC của hình bình hành ABMC. 
+) Chỉ ra MO // phân giác Ax của góc BAC 
 M, O, K thẳng hàng 
+) Chỉ ra tam giác CMK cân tại C  CK = CM (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra AB = CK.