Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm học 2014 - 2015

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN 8 NĂM HỌC 2014-2015
Bài 1: (6điểm)
Giải phương trình
Tìm các số nguyên a và b sao cho đa thức 
A(x) = x4 + ax2 + b 
Chia hết cho đa thức B(x) = x2 + x +1 
Bài 2 (4 điểm)
Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a + b + c =1
CMR: 
Bài 3 (4 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết
P = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
Giải bất phương trình
Bài 4: (6 điểm)
	Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm B, D lên AC. A, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
Tứ giác DFBE là hình gì? Vì sao?
Chứng minh CHK đồng dạng BCA
Chứng minh AC2 = AB.AH + AD.AK
ĐÁP ÁN
Bài 1
a(3đ)
b.(3đ)
Giải phương trình: 
ó
ó
ó
Vì 
ó 123-x=0
ó x=123
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S = {123}
Thực hiện được phép chia 2 đa thức đúng kết quả
A(x) =B(x) (x2-x+a)+ (1-a)x + b –a 
Lý luận (1-a)x + b –a = 0
 ó 
- Tìm được a = b = 1 
1đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
1.5đ
1đ
1đ
Bài 2 (4đ)
Áp dụng bài toán phụ
-> 
Nên ta có (vì a+b+c=1 (gt) (1)
 (2)
 (3)
Kết hợp (1)(2) và (3)
=> 
Hay (đpcm)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 3
a
b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết
P = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
P=[(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)]
P=(x2 + 6x – x – 6)(x2+3x+2x+6)
P=(x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6)
P = (x2 + 5x)2 – 62 = (x2 + 5x)2 – 36
Vì (x2 + 5x)2 với => (x2 + 5x)2- 36 với 
Hay P với 
Min P = -36 ó (x2 + 5x)2 =0
x2 + 5x = 0
x(x+5) = 0
ó
Giải bpt đk: x -1
ó 
ó
ó
ó ó
H
Vậy nghiệm của bất phương trình là 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
Bài 4:
a
b
c
C
B
F
E
K
A
D
DF//BE (vì cùng với AC
AFD = CEB (ch.gn) -> DF = BE
DFBE là hbh
BC//AK -> BCK = 900
ABC = 900 + BCH (góc ngoài CHB)
HCK = 900 + BCH 
ABC = HCK
Mà CDK = ACD + DAC (góc ngoài DKC)
HBC = BAC + BCA (góc ngoài HBC 
Mặt BCA = DAC; BAC = DCA
->CKD đồng dạng CHB ->
Hay 
->CHK đồng dạng BCA (c.g.c)
AEB đồng dạng AHC -> AHC -> 
Vì AFD đồng dạng AKC -> 
Từ (1) và (2) => AE.AC + AF.AC = AB.AH + AD.AK
AC(AE+AF) = AB.AH + AD.AK
AC.AC = AB.AH + AD.AK (do AF = CE)
AB.AH + AD.AK = AC2 vì AFD = CEB (cmt)