Đề thi học sinh giỏi thị xã môn Toán Lớp 9 - Đề 01+02 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Hồng Lĩnh (Có đáp án)

PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang. Đề số: 01
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9
NĂM HỌC: 2018 - 2019
PHẦN THI CÁ NHÂN 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Tính giá trị biểu thức A = 
Câu 2: Giả sử (*) là phép toán thõa mãn với mọi số nguyên x, y ta có: x*y = x.y +x+y (với phép toán nhân (.), phép cộng (+) thông thường). Tìm các số nguyên không âm x, y biết: x*y = 9
Câu 3. Tìm (x, y), biết: 
Câu 4. Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn: a100 + b100 = a101+ b101 = a102 + b102. Tính giá trị biểu thức: B = a2018 + b2019
Câu 5. Cho . Tính tổng các chữ số của C
Câu 6. Cho dãy số Tìm số hạng thứ 12 của dãy
Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 8. Cho là góc nhọn thỏa mãn: tan + cot = 3. Giá trị của D = sin. cos là bao nhiêu ?
Câu 9. Tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 16cm; AB = 12cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC ở D và E. Tính DE
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác các góc B và C cắt nhau ở I, gọi H là hình chiếu của I trên BC. Giả sử BH = 5cm; CH = 7cm. Tính diện tích tam giác ABC.
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. 
a) Tính giá trị biểu thức: 
b) Giải phương trình: 
c) Chứng minh rằng nếu: thì 
Câu 12. Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.
a) Chứng minh AB2 = 4.AC.BD;
b) Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM;
c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH.
Câu 13. Hai phụ nữ An, Chi và hai người đàn ông Bình, Danh là các vận động viên. Một người là vận động viên bơi lội, người thứ hai là vận động viên trượt băng, người thứ ba là vận động viên thể dục dụng cụ và người thứ tư là vận động viên cầu lông. Có một ngày nọ họ ngồi xung quanh một cái bàn vuông (mỗi người ngồi một cạnh). Biết rằng:
(i)   Chi và Danh ngồi cạnh nhau.
(ii)  Vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình.
(iii) Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An.
(iv) Một phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng.
   Hãy cho biết mỗi người là vận động viên chơi môn gì ?
--------- HẾT---------
Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......................................................................... Số báo danh:.............................
Hướng dẫn chấm (Đề: 01)
Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải.
 - Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.
Câu 
Đáp án

Câu 1
A = 7

Câu 2
(x;y) = (1;4), (4,;1), (0;9),(9;0)

Câu 3
(x,y) = (1;2)

Câu 4
B = 0; 1; 2

Câu 5
Ta có: 
=
Vậy tổng các chữ số của C bằng 9.2018=18 162

Câu 6
Số hạng thứ 12 của dãy là 

Câu 7
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: bằng 1
Min P=1 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x =1 


Câu 8


Câu 9
DE = 30 cm

Câu 10
Diện tích tam giác ABC =5.7 = 35 (cm2)

Câu 11
a) Tính giá trị biểu thức: Với mọi số nguyên k, ta có
Cho k =1,2,3,..., 99, ta được
b) Điểu kiện 
Ta viết lại phương trình: 
Đặt . Khi đó phương trình đã cho trở thành:
Nếu 
Nếu 
Dể có phương trình (*) vô nghiệm vì: 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1

c) Đặt 
Ta có: 
Hay 

Câu 12

a) Chứng minh: )
 (đpcm)

b) Theo câu a ta có: 
Mà 
+) Chứng minh: 
+) Chứng minh: (đpcm)

c) Ta có OC là trung trực của AM
ÞOC ^ AM.
Mặt khác OA = OM = OB Þ∆AMB vuông tại M
ÞOC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI
Chứng minh được C là trung điểm của AI
Do MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:
Mà IC = AC Þ MK = HK ÞBC đi qua trung điểm MH (đpcm)


Câu 13
Vì Chi và Danh ngồi cạnh nhau nên ta giả sử Chi và Danh ngồi trên hai cạnh liên tiếp của hình vuông ABCD.
Khi đó ta có 4 trường hợp: 
Trường hợp 1: Hình 1
+ Vì vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình nên Danh là vận động viên thể dục dụng cụ(TDDC);
+ Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An nên Bình là vận động viên bơi lội;
+ Khi đó Chi và An là hai vận động viên bạn nữ trượt băng hoặc cầu lông, điều này trái với mệnh đề “Một phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng”
Trường hợp 2: hình 2
+ Vì vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình nên Chi là vận động viên thể dục dụng cụ (TDDC) và Chi cũng là vận động viên ngồi bên trái An nên không thõa mãn “Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An”;
Trường hợp 3. Hình 3:
+ Vì vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình nên Chi là vận động viên thể dục dụng cụ (TDDC) nên Danh là vận động viên TDDC và vận động viên bên trái An cũng là Danh không thõa mãn với “vận động viên bơi lội ngồi bên trái An”;
Trường hợp 4. Hình 4:
+ Vì vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình nên Chi là vận động viên thể dục dụng cụ (TDDC)
+ Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An nên Bình là vận động viên bơi lội;
+ Một phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng nên trong trường hợp này Danh là vận động viên trượt băng. Do đó An là vận động viên cầu long.
Vậy:
+ An là vận động viên cầu lông
+ Bình là vận động viên bơi lội
+ Chi là vận động viên TDDC
+ Danh là vận động viên trượt băng
(Mỗi trường hợp đúng 0,5 điểm)


Mọi đáp án khác đúng đều cho điểm tối đa theo thang điểm
--------- HẾT ---------
PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang. Đề số: 02
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9
NĂM HỌC: 2018 - 2019
PHẦN THI CÁ NHÂN 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) 
Câu 1: Tính giá trị biểu thức A = 
Câu 2: Giả sử (*) là phép toán thõa mãn với mọi số nguyên x, y ta có: x*y = xy +x+y (với phép toán nhân (.), phép cộng (+) thông thường). Tìmm các số nguyên không âm x, y biết: x*y = 13
Câu 3. Tìm (x, y), biết: 
Câu 4. Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn: a200 + b200 = a201+ b201 = a202 + b202. Tính giá trị biểu thức: B = a2019 + b2020
Câu 5. Cho . Tính tổng các chữ số của C
Câu 6. Cho dãy số Tìm số hạng thứ 13của dãy
Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 8. Cho là góc nhọn thỏa mãn: tan + cot = 4. Giá trị của D = sin. cos là bao nhiêu ?
Câu 9. Tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 8cm; AB = 6cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC ở D và E. Tính DE
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác các góc B và C cắt nhau ở I, gọi H là hình chiếu của I trên BC. Giả sử BH = 6cm; CH = 8cm. Tính diện tích tam giác ABC.
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. 
a) Tính giá trị biểu thức: 
b) Giải phương trình: 
c) Chứng minh rằng nếu: thì 
Câu 12. Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.
	a) Chứng minh AB2 = 4 AC.BD;
	b) Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM;
	c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH.
Câu 13. Hai phụ nữ An, Chi và hai người đàn ông Bình, Danh là các vận động viên. Một người là vận động viên bơi lội, người thứ hai là vận động viên trượt băng, người thứ ba là vận động viên thể dục dụng cụ và người thứ tư là vận động viên cầu lông. Có một ngày nọ họ ngồi xung quanh một cái bàn vuông (mỗi người ngồi một cạnh). Biết rằng:
(i)   Chi và Danh ngồi cạnh nhau.
(ii)  Vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình.
(iii) Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An.
(iv) Một phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng.
   Hãy cho biết mỗi người là vận động viên chơi môn gì ?
--------- HẾT---------
Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......................................................................... Số báo danh:.............................
Hướng dẫn chấm (Đề: 02)
Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải.
 - Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.
Câu 
Đáp án
Điểm
Câu 1
A = 

Câu 2
(x;y) = (1; 6), (6; 1), (0; 13),(13; 0)

Câu 3
(x,y) = (2; 3)

Câu 4
B = 0; 1; 2

Câu 5
Tổng các chữ số của C bằng 9.2019 =18 171

Câu 6
Số hạng thứ 13 của dãy là 

Câu 7
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: bằng 1
Min P =1 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x =1 


Câu 8


Câu 9
DE = 15cm

Câu 10
Diện tích tam giác ABC =6.8 = 48 (cm2)

Câu 11
a) Tính giá trị biểu thức: Với mọi số nguyên k, ta có
Cho k =1,2,3,..., 80, ta được
b) Điểu kiện 
Ta viết lại phương trình: 
Đặt . Khi đó phương trình đã cho trở thành:
Nếu 
Nếu 
Dể có phương trình (*) vô nghiệm vì: 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

c) Đặt 
Ta có: 
Hay 

Câu 12

a) Chứng minh: )
 (đpcm)

b) Theo câu a ta có: 
Mà 
+) Chứng minh: 
+) Chứng minh: (đpcm)

c) Ta có OC là trung trực của AM
ÞOC ^ AM.
Mặt khác OA = OM = OB Þ∆AMB vuông tại M
ÞOC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI
Chứng minh được C là trung điểm của AI
Do MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:
Mà IC = AC Þ MK = HK ÞBC đi qua trung điểm MH (đpcm)


Câu 13
Vì Chi và Danh ngồi cạnh nhau nên ta giả sử Chi và Danh ngồi trên hai cạnh liên tiếp của hình vuông ABCD.
Khi đó ta có 4 trường hợp: 
Trường hợp 1: Hình 1
+ Vì vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình nên Danh là vận động viên thể dục dụng cụ(TDDC);
+ Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An nên Bình là vận động viên bơi lội;
+ Khi đó Chi và An là hai vận động viên bạn nữ trượt băng hoặc cầu lông, điều này trái với mệnh đề “Một phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng”
Trường hợp 2: hình2
+ Vì vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình nên Chi là vận động viên thể dục dụng cụ (TDDC) và Chi cũng là vận động viên ngồi bên trái An nên không thõa mãn “Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An”;
Trường hợp 3. Hình 3:
+ Vì vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình nên Chi là vận động viên thể dục dụng cụ (TDDC) nên Danh là vận động viên TDDC và vận động viên bên trái An cũng là Danh không thõa mãn với “vận động viên bơi lội ngồi bên trái An”;
Trường hợp 4. Hình 4:
+ Vì vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình nên Chi là vận động viên thể dục dụng cụ (TDDC)
+ Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An nên Bình là vận động viên bơi lội;
+ Một phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng nên trong trường hợp này Danh là vận động viên trượt băng. Do đó An là vận động viên cầu long.
Vậy:
+ An là vận động viên cầu lông
+ Bình là vận động viên bơi lội
+ Chi là vận động viên TDDC
+ Danh là vận động viên trượt băng
(Mỗi trường hợp đúng 0,5 điểm)

Mọi đáp án khác đúng đều cho điểm tối đa theo thang điểm
--------- HẾT ---------