Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 9 (Có đáp án)

TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tính 
Câu 2: Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Câu 3: Tìm số nguyên dương n bé nhất để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125.
Câu 4: Biết rằng phương trình 3x2 -4x + mx =0 ( m là tham số) có nghiệm nguyên dương bé hơn 3. Khi đó giá trị của m là bao nhiêu ?
Câu 5: Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố.
Câu 6: Cho , tính giá trị của biểu thức:
Câu 7: Tam giác ABC, AB = 3cm, AC = 6cm, . Tinh độ dài đường phân giác AD của tam giác ABC.
Câu 8: Giải phương trình: .
Câu 9: Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng . Tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền là bao nhiêu.
Câu 10: Tính giá trị của A = biết và 
II. TỰ LUẬN
Câu 11: 
1. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: .
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 
2. Cho . So sánh A và B.
Câu 12: 
1. Cho a,b,c là ba số dương . Chứng minh rằng : 
2. Giải phương trình: 
Câu 13: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của BH, CH.
Chứng minh MD // NE.
Chứng minh trực tâm tam giác AMN là trung điểm đoạn thẳng OH.
Tam giác ABC có thêm điều kiện gì nữa để tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất?
--------------------------- Hết -----------------------
ĐÁP ÁN: 
I. TRẮC NGHIỆM: Mỗi câu 1 điểm
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Đáp án


4
1; -2
1
0
2cm
1


II.TỰ LUẬN
Câu
Hướng dẫn
Điểm
11
a
2.0
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 
Đặt Þ và .
Ta có: .
Do đó: .
Tương tự: .
 	.
Dấu đẳng thức xảy ra khi .Vậy khi .

0.5
0.25
0.5
0.5
0.25

b
1.5

Mà 
Nên hay A > B.

0.5
0.5
0.25
0.25
12
a
1.5
Với x, y, z > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có : 
(
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có :
Suy ra :
0.5
0.5
0.5

b
2.0
Giải phương trình: 
Đặt ta được phương trình:
y =<0 (loại); với y = 2 ta có
 hoặc (thỏa mãn phương trình đã cho)
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm: , 

0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
Câu 13
0.5

0.25
a
1.0
Tứ giác ADHE là HCN suy ra: D; O; E thẳng hang
HS chứng minh MD DE ( góc MDH = góc MHD; góc ODH = góc OHD)
Tương tự: NE DE 
Suy ra: MD // NE
0.25
0.25
0.25
0.25
b
1.0
Kẻ MK AN MK cắt OH tại G, tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao nên AH2 = HB.HC suy ra
. Vậy suy ra góc HBO = góc HAN mà góc HAN = góc HMK (góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên góc HBO = góc HMK suy ra BO // MK vì M là trung điểm BH suy ra G cũng là trung điểm OH.
0.25
0.5
0.25
c
0.75
Ta có
Vậy SAMN nhỏ nhất bằng 2R2 khi HB = HC hay tam giác ABC vuông cân
0.5
0.25