Đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 - Năm học 2012-2013 - Tiền Hải

PHềNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 201 2-2013
 TIỀN HẢI mÔN: TOÁN 7
(Thời gian làm bài 120 phỳt)
Bài 1 (5,5 điểm)
a) Cho biểu thức
yx
xyxxA 
 2
223 425,03
Tính giá trị của A biết
2
1x ; y là số nguyên âm lớn nhất.
b) So sánh 2555 và 5722
c) Cho biểu thức M = 2 3 4 10
1 1 1 1 11 .......2 2 2 2 2      . So sánh M với 11
1
2
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết: 11 33  xxxx
b) Cho
d
c
b
a  và 0 db . Chứng minh rằng 6
6
66
66
)(
)(
3
3
db
ca
db
ca



Bài 3 (3,5 điểm)
a) Cho hàm số
3
2)( 2 abxaxxfy 
Tính tổng f(1) + f(-1) + f(0). Chứng tỏ f(1), f(-1), f(0) không thể cùng dương hoặc
cùng âm .
b) Tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c và ba đường cao tương ứng là ha, hb, hc. Biết
8:7:5)(:)(:)(  accbba hhhhhh thì a, b, c lần lượt tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 4 (6,0 điểm)
 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ), M là trung điểm của BC. Gọi H và K lần lượt là
chân đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AM.
a) Chứng minh rằng: CH // BK
b) Kẻ AI vuông góc với BC )( BCI  . Chứng minh điểm M nằm giữa hai điểm I và C.
c) Giả sử điểm M di chuyển trên đoạn BC, tìm vị trí của điểm M sao cho tổng
BH + CK là: + Lớn nhất.
+ Nhỏ nhất.
Bài 5 (1,0 điểm)
Tìm một số chính phương có bốn chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc
hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
-------------------- Hết --------------------
Họ và tờn thớ sinh: ........................................................................................................
Số bỏo danh: ...................................................................................................................
PHềNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI
Năm học 2012-2013
BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 7
Bài Tóm tắt đáp án Điểm
Bài 1
(5.5điểm)
a) Cho biểu thức
yx
xyxxA 
 2
223 425,03
 Tính giá trị của A biết
2
1x ; y là số nguyên âm lớn nhất.
b) So sánh 2555 và 5722
c) Cho biểu thức M = 2 3 4 10
1 1 1 1 11 .......2 2 2 2 2      . So sánh M với 11
1
2
y là số nguyên âm lớn nhất 1 y
+ Thay 1;
2
1  yx vào biểu thức A ( thay đúng) 0.75
+ Tính được
3
20A 1.0
a)
(2.0điểm)
+ Kết luận: Vậy với 1;
2
1  yx thì giá trị của biểu thức A là
3
20 0.25
Ta có 125.6255.)5(5 633634255  0.5
32.5122.)2(2 635639572  0.5
b)
(1.5điểm)
Lập luận được 125.62563 > 32.51263  2555 > 5722 0.5
c)
(2.0điểm)
Xét M = 10432 2
1
.......
2
1
2
1
2
1
2
11 


  10432 2
1
.....
2
1
2
1
2
1
2
11 0.25


 
1024
1
512
1
.......
8
1
4
1
4
1
2
1
2
111 0.75
1110 2
1
2
1
1024
1
1024
111 

  0.75
Kết luận: Vậy 11
1M 2 ( đpcm) 0.25
Bài 2
(4.0điểm)
a) Tìm x, biết: 11 33  xxxx
b) Cho
d
c
b
a  và 0 db . Chứng minh rằng 6
6
66
66
)(
)(
3
3
db
ca
db
ca



Từ 11 33  xxxx
11 33  xxxx (đk: 013  xx )
 11 33  xxxx hoặc )1(1 33  xxxx
0.5
+ TH1: 11 33  xxxx 1 x 0.5
+ TH2: )1(1 33  xxxx 0 x 0.5
Thử lại ta thấy x = 0 ( thoả mãn) ; x = - 1 ( loại) 0.25
a)
(2.0điểm)
Vậy x = 0 0.25
Từ
666










db
ca
d
c
b
a
db
ca
d
c
b
a
d
c
b
a 1.0

 6
6
6
6
6
6
)(
)(
db
ca
d
c
b
a
6
6
6
6
6
6
)(
)(
3
3
db
ca
d
c
b
a

 0.5b)(2.0điểm)
 6
6
66
66
)(
)(
3
3
db
ca
db
ca


 (đpcm) 0.5
Bài 3
(3.5điểm)
 a) Cho hàm số
3
2)( 2 abxaxxfy 
 Tính tổng f(1) + f(-1) + f(0). Chứng tỏ rằng f(1); f(-1); f(0) không thể cùng
dương hoặc cùng âm.
 b) Tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c và ba đường cao tương ứng là ha, hb, hc.
Biết 8:7:5)(:)(:)(  accbba hhhhhh thì a, b, c lần lượt tỉ lệ với ba số nào ?
+ Tính được
3
2)1( abaf  ;
3
2)1( abaf  ;
3
2)0( af  0.75
+ Tính được 0)0()1()1(  fff 0.75
a)
(2.0điểm)
+ Vì 0)0()1()1(  fff  f(1); f(-1); f(0) không thể cùng dương
hoặc cùng âm. 0.5
Từ 8:7:5)(:)(:)(  accbba hhhhhh
a b b c c ah h h h h h
5 7 8
     = k ( k là hệ số tỉ lệ) 0.25
+ Suy ra khh ba 5 ; khh cb 7 ; khh ac 8 và khhh cba 10)( 
+ Suy ra khc 5 ; kha 3 ; khb 2 0.25
+ Ta có baABC hbhaS .2
1
.
2
1 
3
2
3
2 
k
k
h
h
b
a
a
b 0.25
+ Tương tự ta có
3
5
c
a 0.25
+ Suy ra được 6:15:10:: cba 0.25
b)
(1.5điểm)
+ Kết luận: Vậy a, b, c lần lượt tỉ lệ với 10, 15, 6. 0.25
Bài 4
(6.0điểm)
 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ), M là trung điểm của BC. Gọi H và K lần
lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AM.
 a) Chứng minh rằng: CH // BK
 b) Kẻ AI vuông góc với BC )( BCI  . Chứng minh điểm M nằm giữa 2 điểm I
và C.
c) Giả sử điểm M di chuyển trên đoạn BC, tìm vị trí của điểm M sao cho tổng
BH + CK là:
hc
hb
ha
a
bc
CB
A
 + Lớn nhất.
 + Nhỏ nhất.
Vẽ hình sai, không chấm điểm.
+ Chứng minh đượcBHM =CKM  MH = MK 0.75
+ Chứng minh đượcCMH =BMK  MBK = MCH. 0.75a)
(2.0điểm) + Lập luận: Vì MBK = MCH, mà hai góc này ở vị trí so le trong
 CH // BK 0.5
Lập luận : BI là hình chiếu của AB trên BC
 CI là hình chiếu của AC trên BC
mà AB < AC (gt)  BI < CI
0.75
Từ BI < CI , BI + CI = BC  BI <
2
BC  BI < BM 0.75
b)
(2.0điểm)
Suy ra được M nằm giữa I và C. 0.5
Ta có )(
22
.
2
. CKBHAMCKAMBHAMSSS AMCAMBABC  1.0
Do ABCS có giá trị không đổi nên:
*) BH + CK có giá trị lớn nhất khi AM nhỏ nhất, mà AM  AI nên AM
nhỏ nhất khi M trùng với I. 0.5
c)
(2.0điểm)
*) BH + CK có giá trị nhỏ nhất khi AM lớn nhất, do AB < AC nên AM
lớn nhất khi AM trùng với AC, khi đó M trùng với C. 0.5
 Tìm một số chính phương có bốn chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố,
căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Gọi số phải tìm là abcd
( a, b, c, d nguyên và 1 a 9  ; 0 b,c,d 9 
Vì abcd là số chính phương  d = 0, 1, 4, 5, 6, 9 mà d là số nguyên tố
nên d = 5 0.25
Đặt 2abcd k 10000 32 k 100    
 k là một số có hai chữ số mà d = 5 nên k có tận cùng bằng 5. 0.25
Tổng các chữ số của k là một số chính phương do đó k = 45 và
abcd 2025 0.25
Bài 5
(1.0điểm)
Vậy số cần tìm là 2025 0.25
*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm.
*) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất.
*) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.
M
K
C
H
IB
A