Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học: 2015 – 2016 môn: Toán

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2015 – 2016 
Môn: Toán
Ngày thi: 4 tháng 12 năm 2015
(Thời gianlàm bài: 150 phút - Đề thi có 01 trang) 
Bài 1(3 điểm):
 a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x + xy + y = 9.
 b) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 5 thì chia hết cho 5.
Bài 2(4 điểm):
 a) Cho . 
Tính với .
 b) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn: và . 
Chứng minh rằng: 
Bài 3 (4 điểm ): 
 a) Giải phương trình: 
 b) Giải hệ phương trình sau : 
Bài 4 (7 điểm ): 
Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.
 a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
 b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng.
 c) Chứng minh tỷ số không đổi.
 d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó. 
Bài 5 (2 điểm ): 
 Cho x;y;z dương sao cho 
 Tìm giá trị lớn nhất của .
--------HẾT--------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 NĂM HỌC 2015-2016
M«n To¸n 9
C©u
Néi dung
Chia điểm
I.a
a.1,5 điểm 
- Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; vì 10 = 1.10 = 2.5
- Vì x,y N 
- Lập bảng ta tìm được 4 nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) 
0,75
0,75
I.b
b.1,5 điểm 
- Ta có :
 ( Vì 5 là số nguyên tố) 
- Ta có: (đpcm)
0,5
0,25
0,5
0,25
II
Câu a(2 điểm)
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu b(2 điểm)
Ta cã: nªn 
Tõ ®ã: 
KL:
1
1
III
Câu a(2 điểm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
§K: 
+ Sö dông bÊt ®¼ng thøc c« si hoÆc Bu nhi a ®¸nh gi¸ VT 2
+ §¸nh gi¸ VP 
Do ®ã: PT 
KL.
0,5
0,75
0,75
III
Câu b(2 điểm)
Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 ó(x-y)(3x+2y)=0 ó x=y hoặc x = y
- Nếu x = y thay vào (1) ta được x = 1 ;x = -1
- Nếu x = y Thay vào hệ ta được hệ vô nghiệm
KL : Hệ phương trình có 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1).
1
1
IV
IV
Câu a(1 điểm)
XÐt tam gi¸c vu«ng ABH cã HEAB
 AB.AE = AH2 (1)	
XÐt tam gi¸c vu«ng ACH cã HFAC
 AC.AF = AH2 (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra AE.AB = AF.AC.
0,5
0,5
IV
 Gãc IAH b»ng 2 lÇn gãc BAH
Gãc KAH b»ng 2 lÇn gãc CAH
Suy ra gãc IAH + gãc KAH =2( gãc BAH + gãc CAH) = 1800
Suy ra I, A vµ K th¼ng hµng
IV
Câu c(2 điểm)
Ta có: AH2 = BH.CH Þ AH4 = BH2 .CN2 = BE.BA.CF.CA = BE.CF.AH.BC Þ AH3 = BE.CF.BC Þ = 1
IV
Câu d(2 điểm)
SPQFE = . Mà FEPQ hay FE Þ SPQFE Dấu đẳng thức xảy ra khi A là điểm chính giữa của nửa đường tròn tâm O, đường kính BC.
V
(2 điểm)
HD Áp dụng BĐT 1a + 1b ≥ 4a+b với a; b là các số dương. Ta có:
 13x+3y+2z = 12x+y+z+(x+2y+z)≤14 ( 12x+y+z + 1x+2y+z) = 14(1x+y+(x+z) + 1x+y+(y+z))
 ≤14 [14( 1x+y + 1x+z)+ 14( 1x+y + 1y+z)] = 116 ( 2x+y + 1y+z+1x+z)
Tương tự
13x+2y+3z ≤116 ( 1x+y + 1y+z+2x+z)
12x+3y+3z ≤116 ( 1x+y + 2y+z+1x+z)
Cộng từng vế của bất đẳng thức ta được:
13x+3y+2z+13x+3y+2z+13x+3y+2z ≤116 2x+y + 1y+z+1x+z+116 ( 1x+y + 1y+z+2x+z) +116 ( 1x+y + 2y+z+1x+z) = 14(1x+y + 1y+z + 1z+x) = 32