Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán

TR: THCS NGUYỄN CHÍ THANH
TỔ : TOÁN -LÝ
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 MÔN : TOÁN 
 THỜI GIAN: 120Phút
Câu 1 (2,0 điểm). 
Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = 
và .
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
Câu 2 : (2,0 điểm).
Cho A = (với n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.
Câu 3: (2,0 điểm).
Cho .Tính 
Câu 4 (2,0 điểm)
Giải phương trình: 
Câu 5 (2,0 điểm). 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu6: (2,0 điểm). Chứng minh rằng:
 với a, b 
Câu 7: (4,0 điểm).
 Cho tam giác ABC có góc B bằng 3 lần góc C và đường phân giác của góc A chia tam giác thành hai phần có diện tích gấp đôi nhau . Tính độ lớn các góc của tam giác .
Câu8:(4,0 điểm)
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD của hình chữ nhật ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH và CD. Chứng minh rằng 4 điểm A, P, Q và D cùng nằm trên một đường tròn.
 ..HẾT..
 ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM
Câu 1 : (2,0 điểm).
Với aZ thì a3-a =(a-1).a.(a+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. Mà (2.3)=1 (1đ)
a3- a6S – P = (1đ)
Vậy 
Câu 2: (2,0 điểm).
 (1đ)
với nN, n > 1 thì n2-2n+2=(n-1)2 +1 >(n-1)2 
và n2 – 2n+2= n2-2(n-1) < n2 (0,5đ)
Vậy(n -1)2 << không là số chính phương đpcm (0,5đ)
Câu 3: (2,0 điểm).
Ta có: (1,5đ) 
Suy ra : P = (8-8+1)2012 =1 (0,5đ)
Câu 4: (2,0 điểm).
Giải phương trình (1)
Điều kiện: 
(1) 
 (1,5đ)
 thỏa mãn điều kiện (0,5đ)
Câu 5: (2,0 điểm).
Tìmgiá trị nhỏ nhất của 
Ta có: (1đ)
Dấu "=" xảy ra 
Vậy khi x = -2 (1đ)
Câu 6: (2,0 điểm).
(2đ)
Câu 7: (4,0 điểm)
Lời giải
	Ta có dt(DADC) = 2dt(DABD) (gt) , mà hai tam giác có đường cao hạ từ D bằng nhau 
(vì AD là phân giác của góc A nên D cách đều hai cạnh AB và AC)
 .Cho nên AC = 2.AB . 
	Ta có và cho nên (2đ)
	Gọi N là trung điểm của AC , ta có DABN là tam giác cân Þ 
Mà . Cho nên DNBC là tam giác cân Þ NB = NC 
	Từ đó suy ra AN = NC = BN Þ DABC vuông tại B , nên (2đ)
Câu 8: (4,0 điểm)
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh IP AD từ đó suy ra I là trực tâm của tam giác APD. Suy ra DI AP (1). (2đ)
	Chứng tỏ được tứ giác DIPQ là hình bình hành, suy ra DI // PQ (2). (2đ)
	Từ (1) và (2) suy ra AP PQ , suy ra đ.p.c.m.