Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 8 - Năm học 2014-2015 - Huyện Yên Dũng

UBND HUYỆN YÊN DŨNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (4 điểm) Cho biểu thức: A = 
1) Rút gọn A.
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
Câu 2 (5 điểm)
1) Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x2 - y2 + 12x - 8y +15 = 0
2) Chứng minh: Tổng lập phương của ba số nguyên dương liên tiếp chia hết cho 9.
3) Tìm đa thức H(x) có bậc là 3 thỏa mãn: H(1)=H(2)=H(3)=0 và với mọi x luôn có H(x) = x.f(x)+24 trong đó f(x) là đa thức bậc 2.
Câu 3 (4 điểm)	
1) Giải phương trình: 
2) Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Quãng đường từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động dài 80km. Lúc 7h 10 phút một xe máy đi từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động. Đi được quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại 32 phút để sửa, rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 5 km/h. Biết xe máy đến huyện Sơn Động lúc 10 h 30 phút cùng ngày. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ? 
Câu 4 (6 điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AM; BN; CP cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng: AMC đồng dạng với BNC và 
b) Chứng minh rằng: Tia MA là tia phân giác của góc NMP
c) Gọi I là giao điểm của BN và MP. Chứng minh HN.BI = HI.BN 
Câu 5 (1 điểm) 
Cho A = Với nN* 
Chứng minh rằng: A > 1
.................................... Hết ......................................
Họ và tên thí sinh: ........................................................, Số báo danh: .....................
UBND HUYỆN YÊN DŨNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
(Đáp án - thang điểm gồm 3 trang)
Bài
Nội dung
Điểm
Bài1
(4 điểm)
 1
A= 
ĐKXĐ x -1; x 0; x2
0.25
A = 
0.75
A= 
0.75
Vậy A= với x -1; x 0; x2
0.25
2
A= = 
0.75
Mà ó 2- Hay A
0.75
Dấu bằng xảy ra khi =0 x=1
0.25
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2, đạt được khi x=1
0.25
Bài 2
(5 điểm)
1
HS biến đổi về phương trình: (x+y+10)(x-y+2)=5
1
Do x,y nguyên nên x+y+10; x-y +2 nguyên
Mà 5= 5.1=1.5=-1.(-5)=-5(-1)
0.5
Tìm được (x;y) 
0.5
2
Goi ba số là a, a+1 và a+2 (a nguyên dương)
Ta có: a3 + (a+1)3 + (a+2)3 = 3a3 + 15a + 9a2+ 9
0.75
Xét 3a3 + 15a = 3a(a2 + 5)
Nếu a 3 thì 3a3 + 15a 9 khi đó: a3 + (a+1)3 + (a+2)3 9 (1)
0.5
Nếu a không chia hết cho 3 thì a2 chia 3 dư 1 => a2 + 5 3
=> 3a3 + 15a 9 khi đó: a3 + (a+1)3 + (a+2)3 9 (2)
0.5
Từ (1) và (2) suy ra a3 + (a+1)3 + (a+2)3 9 với mọi a nguyên dương
0.25
3
Do đa thức H(x) có bậc là 3 thỏa mãn: H(1)=H(2)=H(3)=0 
Nên H(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)
0.25
=> H(0)= -6a 
0.25
Lại có H(x) = x.f(x)+24 đúng với mọi x 
Chọn x=0 ta có: H(0)= 24
0.25
Nên -6. a=24 (Vì cùng bằng H(0)) => a=-4
Vậy H(x)=-4(x-1)(x-2)(x-3)
0.25
Bài 3
(4 điểm)
1
Hs chứng minh được: Nếu a+b+c=0 thì a3+b3+c3= a.b.c (*)
 0.75
 theo (*)
 0.25
 0.5
 x= 5/3 ; x=6 hoặc x=11/4
0.25
Kết luận.
0.25
2
Gọi vận tốc xe máy đi trong ¾ quãng đường đầu là x (km/h), x >5
0.25
=> vận tốc xe máy đi trong ¼ quãng đường cuối là x -5 (km/h)
0.25
Tính được hai đại lượng thời gian theo ẩn..
0.25
Ta có ¾ quãng đường từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động dài 60 km
Thời gian xe máy đi đến huyện Sơn Động (kể cả t/g dừng ) là 
10 h 30 phút - 7h 10 phút = 3h 20 phút = 10/3 h
0.25
Theo bài ra ta có pt: 
0.5
=> x= 30 hoặc x= 25/7 (loại)
0,25
Thời gian xe máy đi đến lúc hỏng xe là: 60:30= 2h
Vậy xe máy bị hỏng lúc 9giờ 10 phút.
0.25
Bài 4
(6 điểm)
1
 Xét AMC và BNC có:
Góc C chung
0.75
Góc M = góc N =900 
0.75
=> AMC đồng dạng với BNC (g.g) 
0.5
Theo câu a) AMC đồng dạng với BNC 
=> (cạnh tương ứng)
0.25
xétABC và MNC có
Góc C chung
=> ABC đồng dạng với MNC (c.g.c) => 
0.25
2
Ta có 
Chứng minh tương tự: 
 0.75
Chỉ ra được 
0.75
=> 
0.25
=>Tia MA là tia phân giác của góc NMP
0.25
3
Theo câu c) MH là đường phân giác trong của tam giác MNI
Mà MB MH nên MB là đường phân giác ngoài của tam giác MNI
1
=> (tính chất đường phân giác trong, ngoài tam giác)
=> HN. BI = HI.BN (đpcm)
0.5
Bài 5
(1 điểm)
Ta có với mọi a,b > 0 Dấu bằng xảy ra khi a=b
A = Với nN* 
Ta có A có 2n+1 hạng tử
Chứng minh được với mọi a,b > 0 Dấu bằng xảy ra khi a=b
Áp dụng BĐT trên với các cặp số đôi một khác nhau ta có
0.5
...........................
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
2A > (2n+1) ó A >1 (ĐPCM)
0.5