Đề thi chọn học sinh olimpic lớp 8 năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH OLIMPIC LỚP 8
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: Toán 
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6đ)
1. Cho biểu thức A = với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm giá trị của x để A < 0.
2. Giải phương trình: 
Câu 2: (4đ)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
5x2 + 9y2 – 12xy + 8 = 24( 2y – x – 3 )
 2. Tìm số tự nhiên n biết:
	A= n3 – n2 + n - 1 là một số nguyên tố.
Câu 3: (3đ)Tìm các giá trị của x để biểu thức :
	P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Câu4: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Câu 5: (1đ)
	Tìm số nguyên n để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
-----------Hết-----------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO THANH OAI 
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
ĐÁP ÁN CHẤM THI OLIMPIC TOÁN 8
Năm học: 2014 – 2015
Câu
ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
 (6đ)
1
a) Với x khác -1 và 1 thì :
 A=
1,0
 =
1,0
 = = 
1,0
b)Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1)
1,0
Vì với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi KL:..
1,0
1,0
2
 (*)
1,0
Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0	ð(*) (x - 5)(x + 6) = 0 
1,0
 Kết luận nghiệm
0,5
0,5
2
 (4đ)
1
Giải phương trình nghiệm nguyên 
 5x2 + 9y2 – 12xy + 8 = 24( 2y – x – 3 ) 
 5x2 + 9y2 – 12xy + 8 +24x – 48y +72 = 0 
0,5
4x2 + 9y2 + 64 – 12xy – 48y + 32x +x2 – 8x +16 = 0 
 ( 2x – 3y + 8 )2 + ( x – 4 )2 = 0 
0,5
suy ra x – 4 = 0 và 2x – 3y + 8 = 0 =>x =4 và y = 16/ 3.
0,5
 Vậy phương trình không có nghiệm nguyên
0,5
2
Ta có	A= n3 – n2 + n - 1= (n-1)(n2+1)
0,75
A là một số nguyên tố
0,75
Vậy n=0 hoặc n=1 thì A là số nguyên tố
0,5
3
(3đ)
P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 	 0	 0
1,0
Ta thấy (x2+5x)20 nên P=(x2+5x)2-36 -36 
 Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
1,0
 Từ đó ta tìm được x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36
1,0
4
(6đ)
a
+ Hai tam giác ADC và BEC có: 
 Góc C chung. 
 (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. 
Suy ra: 
2,0
b
Ta có: (do )
mà (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên (do )
Do đó (c.g.c), suy ra: 
2,0
c
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.Suy ra: , 
mà 
1,0
Do đó: 
1,0
5
(1đ)
Ta có: n5 + 1 n3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1
(n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)
n – 1 n2 – n + 1
n(n – 1) n2 – n + 1Hay n2 – n n2 – n + 1
(n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1 1n2 – n + 1
0,5
Xét hai trường hợp:
+ n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 
n = 0, n = 1 thử lại thấy thoả mãn đề bài
+n2–n+1 =-1n2–n+2=0,không có giá trị nào của m thoả mãn.
Vậy với n=0 hoặc n=1thì n5+1 chia hết cho n3+1
0,5