Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2017 - 2018
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề bài gồm: 5 câu, 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức: 
với x > 0, y > 0.
1) Rút gọn A.
2) Tính A với ; 
Câu 2 (2,0 điểm): 
1) Giải phương trình: 
2) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: xy + yz + xz = 1. Tính giá trị của biểu thức:
Câu 3 (2,0 điểm): 
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2) Chứng minh rằng số A = n6 - n4 + 2n3 + 2n2 (trong đó n N và n >1) không phải là số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm). 
	1) Cho hình vuông ABCD. Lấy M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD sao cho , tia AM cắt tia DC tại K.
	a) Chứng minh .
	b) Gọi BD cắt AN, AM thứ tự tại P và Q. MP cắt NQ tại H. Chứng minh AH MN.
	2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, lần lượt lấy hai điểm D và E chuyển động trên cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí của D và E để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5 (1,0 điểm). .
	Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
----------Hết--------
Họ tên học sinh:Số báo danh:
Chữ kí giám thị 1:  Chữ kí giám thị 2:
UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
2.0 điểm
1)
0.75 điểm
Với x > 0, y > 0 ta có:
0,25
= 
0,25
= = 
0,25
2) 
1.25 điểm
0,25
= 1
0,25
0,25
0,25
A= 
0,25
Câu 2
2.0 điểm
1)
1.0 điểm
 Giải phương trình: 
 ĐK: PT 
0,25
0,25
Giải (1): 
0,25
 Giải (2) vô nghiệm do 
Vậy phương trình có 1 nghiệm 
0,25
2)
1.0 điểm
Với x, y, z > 0 ta có xy + yz + xz = 1 x2 + xy + yz + xz = 1 + x2
 1 + x2 = (x + y)(x + z) 
Tương tự ta có 
1 + y2 = (y + x)(y + z); 1 + z2 = (z + x)(z + y)
0,25
0,25
0,25
P = 2(xy + yz + xz) = 2
0,25
Câu 3
2.0 điểm
1)
1.0 điểm
 [] – (
0,25
0,25
Do x, y nguyên nên ta có: và là ước của 7
Do đó ta có bảng sau:
3y + x + 1
1
-1

7
-7
y – x + 3
7
-7
1
-1
0,25
Giải các trường hợp, ta được: {(7; -3), (1; -3), (3; 1), (-3 ; 1)}
0,25
2)
1.0 điểm
Ta có 
 n6 - n 4 + 2n3 + 2n2
 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) 
= n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]
= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] 
= n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
0,25
= n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
0,25
Với nN, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
 (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2
0,25
 n2 - 2n + 2 không phải số chính phương.
 n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2) hay n6 - n4 + 2n3 + 2n2 không phải là một số chính phương.
0,25
Câu 4
3.0 điểm
Vẽ hình:
1a)
1.0 điểm
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt đường thẳng CD tại I.
Ta có và 
 .
0,25
Xét AID và AMB có ; AD = AB và 
 AID = AMB (g-c-g) AI = AM
0,25
XétAIK vuông tại A có AD là đường cao 
0,25
Mà AD = AB và AI = AM 
0,25
1b)
1.0 điểm
b) Gọi BD cắt AN, AM thứ tự tại P và Q. MP cắt NQ tại H. Chứng minh rằng AH MN.
Xét DPN và APQ có ; (đ.đ)
 DPN đồng dạng với APQ 
Xét APD và QPN (đ.đ) và 
 APD đồng dạng với QPN
Xét QAN có vuông tại Q 
Chứng minh tương tự ta được 
0,25
0,25
0,25
Xét AMN có MP AN và NQ AM, NQ cắt MP tại H nên H là trực tâm của AMN AH MN.
0,25
2)
Đặt AB = AC = a; (a > 0) , AE = BD = x ( )
1.0
điểm
Ta có AD = AB - BD = a - x
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ADE vuông tại A, ta có:
Dấu "=" xảy ra khi lần lượt là trung điểm AB, AC.
Vậy DE nhỏ nhất khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
1.0 điểm
Do xyz =1 nên ta có
Do x,y, z là các số dương thỏa mãn xyz =1 nên ta đặt 
Khi đó
0,25
Chứng minh bất đẳng thức : Với x,y,z dương ta có 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
0,25
Áp dụng ta được :
0,25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTNN của M là khi và chỉ khi 
0,25
Ghi chú:
 - Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm
 - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.