Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Thạch Hà (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ 
ĐÀO TẠO THẠCH HÀ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
MÔN TOÁN LỚP 8 
Thời gian làm bài: 150 phút - Ngày thi: 14/4/2017 
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) 
Câu 1. Giải vô địch bóng đá quốc gia Việt Nam 2016-2017 có 14 đội tham gia. Mỗi đội 
phải thi đấu cới các đội còn lại 1 trận ở sân nhà và một trận ở sân khách. Kết thúc mùa giải 
có tất cả bao nhiêu trận đấu? 
Câu 2. Trong 1 hộp có 60 viên bi màu, gồm 25 bi màu đỏ, 20 bi màu xanh, và 15 bi màu 
vàng. Cần lấy ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để có 3 viên bi 
khác màu? 
Câu 3. Tìm tập nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: 3 3 2 0 1 7x y x y    
Câu 4. Cho các số thực a; b; c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức sau: 
3 3 3
( ) ( ) ( )
(a b ) (b c ) (c a )
a b a b a c c a b c b c
P
    

    
Câu 5. Tìm số hạng thứ 8 của dãy số: 1; 2; 5; 10; 17;. 
Câu 6. Tìm nghiệm nguyên dương (x; y) của phương trình: 4 ( ) 1 1x y xy   
Câu 7. Tìm tập nghiệm của phương trình: 2 2 0 1 6 .2 0 1 7x x  
Câu 8. Cho dãy số 
2
2 3
3 3 1
( )
n
n n
a
n n
 


với mọi 1,n n  . Tính 
1 2 2 0 1 5 2 0 1 6
. . .S a a a a     ? 
Câu 9. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O 
vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N. Biết AB = 6cm, 
CD = 10cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN 
Câu 10. Cho tam giác đều ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên các cạnh AB, AC 
thứ tự lấy các điểm M, N sao cho góc MDN bằng 600. Tính tỉ số 
2
.B M C N
A B
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 
Câu 11: a) Giải phương trình: 
1 1 1 1 1 1
( ... ) . ...
1 .1 0 1 2 .1 0 2 1 0 .1 1 0 1 .1 1 2 .1 2 1 0 0 .1 1 0
x       
b) Cho 3 số thực x; y; z thỏa mãn đồng thời: 3 3 36; ( 1) ( 2 ) ( 3 ) 0x y z x y z         
Tính giá trị của biểu thức: P = 2 0 1 7 2 0 1 7 2 0 1 7( 1) ( 2 ) ( 3 )x y z     
Câu 12. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi D, E thứ tự là chân các đường cao hạ từ 
các đỉnh B, C của tam giác ABC. 
a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC. 
b) Chứng minh rằng: BE.AB + CD.AC = BC2 
Câu 13. Ký hiệu S(a) là tổng các chữ số của số tự nhiên a. Tìm a, biết: S(a-5) + a = 122 
Câu 14. Cho một lưới ô vuông có kích thước 5x5 ô. Người ta điền vào mỗi ô của lưới một 
trong các số -1; 0; 1. Xét tổng của các số theo từng cột, theo từng hàng và theo từng hàng 
chéo. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau. 
----------------Hết---------------- 
Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. 
SƠ LƯỢC GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 
MÔN: TOÁN LỚP 8 
 Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đáp án và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng. 
Câu Đáp án Điểm 
Câu 1 Đáp số: 182 trận 1 
Câu 2 Đáp số: 46 viên bi 1 
Câu 3 
Đáp số: S   
3 3 3 3
2 0 1 7 2 0 1 7
(x 1) x (x 1) (y 1) y(y 1) 2 0 1 7 (1)
x y x y x x y y        
      
Vố lý, vì PT (1) có vế trái chia hết cho 3, còn vế phải không chia hết cho 3. 
1 
Câu 4 Đáp số: 
1
3
P   1 
Câu 5 
Đáp số: 50 
Ta có: 2
1
1

 
n
a n (n = 0; 1; 2; 3;...) 
1 
Câu 6 
Đáp số: (x, y) = (9;5); (5;9) 
(Đúng 1 nghiệm được 0,5) 
1 
Câu 7 
Đáp số: S = {-2016; 2017} 
2
2 0 1 6 .2 0 1 7x x   (x-2016)(x-2017)=0 
(Đúng 1 nghiệm được 0,5) 
1 
Câu 8 
Đáp số: 
3
1
1
2 0 1 7
 
Ta có: 
3 3
1 1
(n 1)
n
a
n
 

1 
Câu 9 
Đáp số: 7,5 cm 
Ta có: 
2
O M O D N C O N M N
O M O N
A B B D B C A B
      
; 1
2 1 1
2 .
O M O D O N O B O M O N
A B B D C D B D A B C D
M N A B C D
A B C D
M N
A B C D
    
  
 

O
NM
D C
BA
1 
Câu 10 Đáp số: 
1
4
1 
N
M
D CB
A
2 tam giác MBD và DCN đồng dạng (g-g) 
Suy ra 
2 2
2
. 1
. .
4 4 4
B M B D B C A B B M C N
B M C N B D C D
C D C N A B
       
Câu 
11a 
Đáp số: x = 10 
Đặt: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... (1 .. . )
1 .1 0 1 2 .1 0 2 1 0 .1 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 2 1 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1
(1 ... . . . )
1 0 0 2 1 0 1 0 1 1 0 2 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... (1 .. . )
1 .1 1 2 .1 2 1 0 0 .1 1 0 1 0 1 1 2 1 2 1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1
(1 ... . . . )
1 0 2 1 0 1 0 1 1 0 2 1 1 0
A
B
          
       
          
       
Vậy phương trình có nghiệm x = 10 
2 
Câu 
11b 
 Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc. 0,5 
Từ giả thiết suy ra: (x – 1) + (y – 2) + (z – 3) = 0 (*) nên: 
3 3 3
1 0
(x 1) (y 2 ) (z 3 ) 0 3 (x 1)(y 2 )(z 3 ) 0 2 0
3 0
x
y
z
 

             

  
+ Nếu x – 1 = 0. Từ 2 0 1 7 2 0 1 7(* ) 2 ( 3) (y 2 ) (z 3) 0y z          
 Suy ra P = 0 
+ Tương tự cho 2 trường hợp còn lại 
Vậy: P = 0 
Lưu ý: Học sinh có thể nhầm x = 1, y = 2, z = 3 rồi thay vào P. 
1,5 
Câu 12 
H
E
D
F CB
A
a) Tam giác ADB và tam giác AEC đồng dạng vì có: 
0
9 0A D B A E C    , B A C chung. 
 suy ra: 
A D A E
A B A C
 . 
Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng vì: 
A D A E
A B A C
 , B A C chung. 
b) Gọi H là trực tâm và AF là đường cao còn lại, ta có: 
Tam giác ABF và tam giác CBE đồng dạng vì có góc ABC chung, 
0
9 0A F B C E B    , suy ra: . A B . (1)
B F A B
B E B F B C
B E B C
   
Tương tự, tam giác AFC và tam giác BDC đồng dạng, suy ra: 
 . . ( 2 )
C F A C
C D A C C F B C
C D B C
   
Từ (1) và (2) suy ra: BE.AB + CD.AC = BC(BF + CF) = BC2. 
1,5 
1,5 
Câu 13 
Từ S(a-5) + a = 122, suy ra a < 122, tức là số a có 2 hoặc 3 chữ số 
Nếu a có 2 chữ số thì a  99; S(a - 5)  18 S(a - 5) + a  107, suy ra a có 3 chữ 
số 
Đặt a m n q , vì a < 122 m 1  và n = 0, 1, 2 a 1 0 q ; 1 1q ; 1 2 q  (1) 
* Với a 1 0 q 
 - Nếu q 5 S ( a 5 ) S (1 0 q 5 ) 5 S ( a 5 ) a 1 2 2          (loại) 
 - Nếu q 4 thì S (1 0 q 5 ) 1 0 q 1 2 2 9 (1 0 q ) 5 1 0 0 q 1 2 2          q 4  (TM) 
* Với a 1 1q 
 - Nếu q 5 S (1 1q 5 ) 1 1q 1 2 2 1 1 (q 5 ) 1 1 0 q 1 2 2 2 q 1 5              (loại) 
 - Nếu q 4 thì S (1 1q 5 ) 1 1q 1 2 2 1 0 (1 0 q ) 5 1 1 0 q 1 2 2 q 3             (TM) 
* Với a 1 2 q 
 - Nếu q 5 a 1 2 q 1 2 2    (loại) 
 - Nếu q 4 thì S (1 2 q 5 ) 1 2 q 1 2 2 1 1 (1 0 q ) 5 1 2 0 q 1 2 2           2 q 5   (loại) 
Vậy a = 104; 113. 
2 
Câu 14 
Lưới ô vuông kích thước 5x5 ô có 5 hàng ngang, 5 cột dọc và 2 đường chéo (theo 
các ô), nên có 12 tổng. Do các số được điền vào ô là một trong các số: -1; 0; 1 nên 
giá trị mỗi tổng thuộc tập hợp  5; 4; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3; 4; 5     . Như vậy, có 12 tổng 
là các số nguyên, nhưng nhận nhiều nhất 11 giá trị khác nhau, nên có ít nhất hai 
tổng nhận cùng một giá trị (đpcm). 
1 
 Tổng 20 
--------- Hết ---------