Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
(Đề thi có 01 trang) 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 
NĂM HỌC: 2016 - 2017 
PHẦN THI CÁ NHÂN 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút 
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) 
Câu 1. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ bên. 
Câu 2. Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây 1; 1; 2; 5; 29; .... 
Câu 3. Có 5 đôi giày màu xanh và 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung trong một cái hộp. Hỏi phải lấy 
ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu 
và đi được. 
Câu 4. Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được 1
9
 tổng số cá câu được, 
bạn câu được nhiều nhất câu được 1
7
 tổng số cá câu được. Biết rằng số cá câu được của mỗi bạn 
là khác nhau. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người. 
Câu 5. Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức 2 2 2 3.  x y 
Câu 6. Giải phương trình 33 32 4 2x x    . 
Câu 7. Giải hệ phương trình  
2 2
2 2 3
.
2 2
x x y y
x xy y
    

   
Câu 8. Cho các số , 0x y  thỏa mãn 4 1x
y
  . Tìm giá trị lớn nhất của 2 2
( 2 )( 2 ) .x y y xP
x y
 


Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM, CE đồng quy 
tại điểm K nằm trong tam giác ( , )D BC E AB  . Biết AKE và EBK có diện tích lần lượt là 
210m và 220m . Tính diện tích ABC . 
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác trong CD 
đồng quy. Tính AB
AC
. 
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 
Câu 11. Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn .aba b
a b
 

Câu 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song. Gọi F 
là giao điểm của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các 
đoạn thẳng AC và BD. Đường phân giác góc BED cắt GH tại điểm I. 
 a) Chứng minh rằng . .IH BD IG AC
 b) Cho độ dài CD = 2AB. Tìm tỉ số diện tích IAB
ICD
S
S


. 
Câu 13. Cho hình tròn (C) có bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao 
cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình tròn (C) thì luôn tồn tại hai điểm trong 
k điểm đó thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. 
--------- HẾT--------- 
Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay; 
- Giám thị không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.......................................................................... Số báo danh:............................. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN 
Hướng dẫn chấm 
Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải. 
 - Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng. 
Câu Đáp án Điểm 
Câu 1 Đáp số: Số hình chữ nhật là (1+2+3+4+5).(1+2+3+4) =150 Cách tính: Xét các hình chữ nhật kích thước m.n 
Câu 2 
Đáp số: 750797 
Quy luật 2 22 1n n na a a   với 1,n n  
Suy ra  22 2 2 2 27 6 5 5 4 5 750797     a a a a a a 
Câu 3 Đáp số: 16. 
Câu 4 
Đáp số: 8 
Giả sử có n bạn và số cá của các bạn là 1 2 ... na a a   . 
Ta có 1 2 1 1 19 .. 7 9 ; 7 8n n n na a a a a a na a na n          
Câu 5 Đáp số: 
16,
2
x y  
Câu 6 Đáp số: 2; 4x x  Cách giải: Đặt ẩn phụ 
Câu 7 
Đáp số      ; 1; 1 ; 3;7x y    
Đặt 2 0t x y   . Ta có phương trình 2 2 3 0 1t t t     
Câu 8 
Đáp số: max
594
257
P 
4 11 4
16
x xx
y y y
     ; 
2 2
2 2
2 2 5 52   
 
x y xyP x yx y
y x
255 1 255 2572.
256 256 16 16 16
x y x y y
y x y x x
      
5.16 5942
257 257
   P 
Câu 9 
Đáp số: 275ABCS m  
Ta có 
1
2
AKE
BKE
S AE
S BE


  , suy ra 2BCE ACES S  
M trung điểm AC nên 
, 30 25ABM CBM AKM CKM BCK ACES S S S S S           . Vậy 
275ABCS m  
Câu 10 Đáp số: 
1 5
2
AB
AC


Sử dụng định lý Ceva và hệ thức lượng trong tam giác vuông 
Do ab
a b
 là số hữu tỉ và a b là số nguyên dương nên từ 
aba b a b
a b
   

là số chính phương 
 Câu 11 
Do 18 1;4;9;16a b a b     
Thử lại các trường hợp ta có 2; 7a b  suy ra số cần tìm là 27 
a) Ta có EBD
và EAC đồng 
dạng nên các đường trung tuyến 
tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. 
Suy ra: 
 EG BD DG DE
EH AC CH EC
   
F
I
E
C
G
H
B
A
D
Ta có  EDG ECH (cùng nhìn cung AB) EDG 
và ECH đồng dạng. 
Kéo theo  DEG CEH , suy ra EI là phân giác góc GEH 
Câu 
12a 
Do đó . .BD EG GI IH BD IG AC
AC EH HI
    (đpcm). 
Ta có FBD
và FCA đồng dạng 
 FGD và FHA đồng dạng   GFD HFA . 
   
FG GD BD IG
FH HA AC IH
FI là phân giác góc GFH 
Suy ra FI là phân giác góc AFD 
Gọi M, N là chân đường vuông góc hạ từ I lên các đường thẳng AB, CD. 
Khi đó IM = IN 
Câu 
12b 
Ta có 
1 . 12
1 2.
2
IAB
ICD
IM ABS
S IN CD


  . 
Xét k =7, vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6 điểm trên đường tròn tạo thành 
lục giác đều. Lúc đó khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ bằng 1. Suy ra 8k  
A
BO
Với k =8, luôn tồn tại ít nhất 7 điểm không trùng tâm đường tròn. 
Ta kẻ các bán kính đi qua 7 điểm đó. 
Khả năng 1: Nếu có 2 điểm thuộc cùng một bán kính thì khoảng cách giữa 
hai điểm đó nhỏ hơn 1 (vì không có điểm nào trùng tâm) 
Câu 13 
Khả năng 2: Không có 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đó có 7 bán 
kính, suy ra có hai bán kính tạo với nhau một góc nhỏ hơn 600. 
Giả sử hai bán kính đó chứa A và B. Vì góc AOB không là góc lớn nhất của 
tam giác OAB nên  max , 1AB OA OB  
Vậy trường hợp k = 8 thỏa mãn. 
Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8. 
--------- HẾT --------- 
SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH 
------------------ 
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG 
ĐỘI 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
MÔN TOÁN - KHỐI 9 THCS 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
--------------------------- 
Thời gian làm cả 5 bài là 50 phút 
BÀI 1 
Họ và tên: .................................................Phòng GDĐT ........................................ 
Số báo danh ............................................................................................................ 
Đề ra: 
1. Cho các số thực ,a b thỏa mãn: 3 3 32017, 2017a b a b    . Tính 4 4P a b  
2. Tính giá trị biểu thức
   4 4
1 1
2 3 2 2 3 2
N  
 
Đáp số: 
Giám khảo 
(Ký, ghi rõ họ tên) 
 Điểm 
 Bằng số Bằng chữ 
SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH 
------------------ 
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
MÔN TOÁN - KHỐI 9 THCS 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
--------------------------- 
Thời gian làm cả 5 bài là 50 phút 
BÀI 2 
Họ và tên: .................................................Phòng GDĐT ........................................ 
Số báo danh ............................................................................................................ 
Đề ra 
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn 3 3( 2 ) ( 2 ) 2017x x y y y x    
Đáp số: 
Giám khảo 
(Ký, ghi rõ họ tên) 
 Điểm 
 Bằng số Bằng chữ 
SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH 
------------------ 
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
MÔN TOÁN - KHỐI 9 THCS 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
--------------------------- 
Thời gian làm cả 5 bài là 50 phút 
BÀI 3 
Họ và tên: .................................................Phòng GDĐT ........................................ 
Số báo danh ............................................................................................................ 
Đề ra: Cho tứ giác ABCD, các điểm M, N, P, Q thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA 
thỏa mãn 0AM BN CP DQ k
MB NC PD QA
     . Tìm k biết diện tích tứ giác MNPQ bằng 
52% diện tích tứ giác ABCD. 
Đáp số: 
Giám khảo 
(Ký, ghi rõ họ tên) 
 Điểm 
 Bằng số Bằng chữ 
SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH 
------------------ 
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
MÔN TOÁN - KHỐI 9 THCS 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
--------------------------- 
Thời gian làm cả 5 bài là 50 phút 
BÀI 4 
Họ và tên: .................................................Phòng GDĐT ........................................ 
Số báo danh ............................................................................................................ 
Đề ra: Cho các số thực ,x y thỏa mãn 2 2 2017.x y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức P xy x y   . 
Hướng dẫn: 
Giám khảo 
(Ký, ghi rõ họ tên) 
 Điểm 
 Bằng số Bằng chữ 
SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH 
------------------ 
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
MÔN TOÁN - KHỐI 9 THCS 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
--------------------------- 
Họ và tên: .................................................Phòng GDĐT ........................................ 
Số báo danh ............................................................................................................ 
Thời gian làm cả 5 bài là 50 phút 
BÀI 5 
Bông tuyết Vôn Kốc 
Bông tuyết đầu tiên là tam giác đều cạnh 1, ký hiệu là K1. Ta xây dựng bông 
tuyết K2 như sau: chia mỗi cạnh tam giác đều K1 thành 3 phần bằng nhau, trên mỗi 
đoạn thẳng ở giữa ta dựng tam giác đều nằm phía ngoài tam giác K1 và bỏ cạnh 
nằm trên cạnh của tam giác K1 (chỉ giữ lại các cạnh nằm phía ngoài tam giác K1). 
Cứ tiếp tục như thế ta xây dựng được dãy các bông tuyết theo nguyên tắc: Từ bông 
tuyết Kn để có bông tuyết Kn+1 ta chia mỗi cạnh của Kn thành 3 đoạn thẳng bằng 
nhau và thay đoạn ở giữa bởi hai đoạn thẳng bằng nó sao cho chúng cùng với đoạn 
thẳng đã bị thay thế tạo thành một tam giác đều ở phía ngoài Kn. Hình vẽ dưới đây 
là dãy K1, K2, K3, K4. Gọi , , ,n n n nc a p S lần lượt là số cạnh, độ dài cạnh, chu vi và 
diện tích của bông tuyết Kn. Tính 4 4 4 4, , ,c a p S . 
Đáp số: 
Giám khảo 
(Ký, ghi rõ họ tên) 
 Điểm 
 Bằng số Bằng chữ 
SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH 
------------------ 
PHẦN THI TIẾP SỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
MÔN TOÁN - KHỐI 9 THCS 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
--------------------------- 
ĐÁP ÁN 
Lưu ý: Mỗi bài có kết quả đúng thì được 6 điểm, nếu đúng mỗi ý thì được trung 
bình cộng số điểm theo số lượng các ý của bài. 
Bài 1. 
 1. P = 20174 hoặc P = - 20174 
 2. 4
1544 193
14 4802
N   
Bài 2. 
1009
1008
x
y



Bài 3. 2 3;
3 2
k k  
Bài 4. GTLN: 2017 4034
2
 khi 2017
2
x y  ; 
GTNN: -1009 khi 
1 4033 1 4033;
2 2
1 4033 1 4033;
2 2
x y
x y
    
 

    
 

Bài 5. 4 4 4 4
1 64 94192; ; ; 3
27 9 243
c a p S   