Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 (Có hướng dẫn chấm)

 UBND huyện Kinh môn
Phòng giáo dục và đào tạo
đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Môn Toán lớp 9
Năm học 2012 – 2013
( Thời gian làm bài 150 phút )
Câu 1: ( 2,0 điểm)
 1) Chứng minh rằng là một số vô tỉ .
 2) Cho 
 Hãy tính giá trị của biểu thức .
Câu 2: ( 2,0 điểm)
 1) Giải phương trình : 
 2) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
Câu 3: (2,0 điểm)
 1) Cho , với .
 Chứng minh giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào x và y. 
 2) Cho biết với n là số tự nhiên.
Chứng minh rằng trong hai số và có một và chỉ một số chia hết cho 5.
Câu 4: ( 3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho CM = DN.
Cho , chứng minh chu vi tam giác CMN bằng 2a;
Tính giá trị đúng của trong trường hợp ;
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN. 
Câu 5: ( 1,0 điểm)
 Chứng minh rằng với a, b, c là các số dương.
Hướng dẫn chấm Toán 9
Câu
Phần
Nội dung trình bày
Điểm
Câu1
2,0
điểm
1
1.0điểm
Giả sử 
Rút ra được 
Ta có là số vô tỉ (**). Mà m là số hữu tỉ nên là số hữu tỉ dẫn đến (*) và (**) mâu thuẫn nhau. 
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
0.25
0,25
0,25
0.25
2.
1,0điểm
=
Thay vào tính được A = 1.
0, 5
0,5
Câu2
2,0
điểm
1.
1,0điểm
 ĐK: 
 (1)
* Nếu x>2 thì phương trình (1) 
không thuộc khoảng đang xét ( loại)
* Nếu thì phương trình (1) luôn đúng với 
Vậy phương trình có nghiệm 
0.25
0,25
0,25
0,25
2
1,0điểm
(1) ĐK 
Biến đổi phương trình ta có: 
(2)
Nếu thì phương trình (2) có dạng: 0x = 2 (vô nghiệm)
Nếu thì phương trình (2) có nghiệm: 
Để phương trình (1) vô nghiệm thì 
Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi m = 3 hoặc m = 1.
0,25
0.25
0,25
0,25
Câu 3
2,0
điểm
1
1,0điểm
+ Nếu , vì nên x và y cùng dấu 
Lại có 
Suy ra 
Nếu vì nên x và y cùng dấu 
Lập luận tương tự như trên ta có
Vậy A = 0 không phụ thuộc vào x, y.
0,25
0,25
0,25
0,25
2
1,0điểm 
Ta có 
Ta thấy có số tận cùng bằng 6, nêncó chữ số tận cùng bằng 4.
Suy ra có chữ số tận cùng bằng 5. Vậy chia hết cho 5
Suy ra trong hai số có ít nhất một số chia hết cho 5.
Mặt khác =
Ta thấy có chữ số tận cùng bằng 4 hoặc bằng 6 suy ra có chữ số tận cùng bằng 6 hoặc bằng 8 nên không chia hết cho 5. Do đó trong hai số vàcó một số không chia hết cho 5.
Vậy trong hai số trên có một và chỉ một số chia hết cho 5.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu4
3,0
điểm
1
1,0điểm
Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM
 và 
Do đó (c.g.c)
Vì vậy : Chu vi tam giác CMN là 
MN + CN+ CM = CN + KN + CM = 
= CD + KD + CM = CD + BM + CM = 2a .
0.25
0.25
0.25
0.25
2
1,0điểm 
Gọi I là giao điểm của AN và DM
Chứng minh được 
mà . Nên hay 
Đặt DN= CM = x ( )
Tính được 
 vuông tại D , có đường cao DI nên ta có 
 vuông tại I nên ta có 
Do đó 
0.25
0.25
0.25
0.25
3
1,0điểm
Ta có 
Do 
 lần lượt là trung điểm của BC ,CD
Vậy lần lượt là trung điểm của BC , CD
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 5
1,0
điểm
Ta có a,b,c dương. áp dụng BĐT Côsi ta có:
. Do đó .
Tương tự 
Cộng từng vế 
Xảy ra dấu đẳng thức khi: không thoả mãn a, b, c > 0 nên đẳng thức không xảy ra.
Vậy với a, b, c > 0.
0.25
0,25
0,25
0,25